用极坐标与全参数方程解高考题型及解题策略.docx
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用极坐标与全参数方程解高考题型及解题策略
用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略
高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。
高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。
其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。
常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。
因此，对常见题型及解题策略进行探讨。
一、极坐标与直角坐标的互化
1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：
对于简单的我们可以直接代入公式pcos0=x,psin0=y,p2=x2+y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以p等.
2.直角坐标（x,y）化为极坐标（p,0）的步骤：
（1）运用p=-'x2+y2,tane=丫仪工0）;
X
y
（2）在［0,2n内由tane=_（x^0）求e时，由直角坐标的符号特
x
征判断点所在的象限（即e的终边位置）.
解题时必须注意：
1确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.
2平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定p>0,03进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：
I•注意P，e的取值范围及其影响.
n•重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.
例如、（2015年全国卷）在直角坐标系xOy中。
直线Ci：
x2,圆C2:
x12y221,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I）求C1,C2的极坐标方程；
（II）若直线C3的极坐标方程为R，设C2与C3的交点为
M,N，求VC2MN的面积
解:
（I
）因为xcos,y
sin,
所以G
的极坐标方程为
cos2
C2
的极坐标方程为2
2cos
4sin
40
（n）
将
代入22cos
4
4sin
40,
得
2
3,240，解得
12
2.2,
故
1
22，即|MN|.
2
由于C2的半径为1，所以5N的面积为1
二、简单曲线的极坐标方程及应用
1.求曲线的极坐标方程，就是找出动点M的坐标P与B之间的关系,然后列出方程f（p,9）=0,再化简并检验特殊点.
2.极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解三角
形•
3.
xtcosytsin
极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解，然后再转化为极坐标方程，注意方程的等价性.
例如、（2015全国卷）在直角坐标系xOy中，曲线Ci:
（t为参数，t工0），其中0Wa2sin,C3:
2屁os。
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值。
解：
（I）曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0,曲线C3的直角坐
、3
标方程为x2y22、_3x0.
x2y22y0,
x2y22.3x0
所以C2与C3交点的直角坐标为（0,0）和（f冷）
（H）曲线Ci的极坐标方程为（R,0），其中0
因此A的极坐标为（2sin,），B的极坐标为（2、3cos,）
所以|AB||2sin2、、3cos|4|sin（-）|
3
当—时，|AB|取得最大值，最大值为4
6
三、简单参数方程及应用
1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参，消参过程注
意两点:
1准确把握参数形式之间的关系；
2注意参数取值范围对曲线形状的影响.
2.已知曲线的普通方程求参数方程时，选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.
3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.
例如、（2014年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线C:
t71，直线l:
x22t（七为参数）.
（I）写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；
（H）过曲线C上任一点P作与I夹角为30。
的直线，交I于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解：
（I）曲线C的参数方程为％2C0S，（为参数）
y3sin,
直线I的普通方程为2xy60
（H）曲线C上任意一点P（2cos,3sin）到I的距离为
则|PA|do—5|5sin（）6|，其中为锐角，且tan-
sin3053
当sin（）1时，|PA|取得最小值，最小值为红5
5
四、参数方程与极坐标方程的综合应用
第一步:
消去参数,将曲线C1的参数方程化为普通方程；
第二步:
将曲线C1的普通方程化为极坐标方程；
第三步:
将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
第四步:
将曲线C1与曲线C2的直角坐标方程联立，求得交点的直角坐标；
第五步:
把交点的直角坐标化为极坐标.
例如、（2017年全国卷）在直角坐标系xOy中，直线I1的参数
x2m,
方程为％（t为参数），直线I2的参数方程为m（m为参数）.
ykt,y?
C.
设l1与l2的交点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
13:
p（cose+sine）-2=0,M为|3与C的交点，求M的极径.
解：
⑴将参数方程转化为一般方程
li：
ykx2①
i2：
yx2……②
k
①②消k可得：
x2y24即P的轨迹方程为x2y24；⑵将参数方程转化为一般方程
l3:
xy20③
3.2
解得
2
_2
2
xcos匚L
由ysin解得5
即M的极半径是5.
五、极坐标方程解圆锥曲线问题
如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程
为极坐标方程往往能避开繁杂的计算
是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点RRR使
/P1FP2/F2FP3/P3FP11200.
解：
以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
9，设点Pl对应的极角为，则点P2与P3对应的极角分别为
2cos
1200、1200，Pi、巳与P3的极径就分别是
而在三角函数的学习中，我们知道
coscos（120°）cos（120°）0
六、参数方程解圆锥曲线问题
1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义
和取值范围。
2.消去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。
1（a>、一3）的右焦点为F,
22例如、（2016年天津卷）设椭圆务丄
a3
其中O为原点，e为椭圆的离心率.
（I）求椭圆的方程；
（H）设过点A的直线I与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直
于I的直线与I交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOA<
MAO，求直线I的斜率的取值范围.
解：
（I）
设f（c'0），由詣氏
生，即1
|FA|c
3c可a（ac）'
得a2c23c2,
又a2c2b23,
所以c2
1，因此a2
所以椭圆的
2
方程为—
4
2
y_
3
设直线I的斜率为k
（k
0），
则直线I的方程为
yk（x2）.
设B（Xb，Yb），由方程
2
x
4
y
2
y
3
k（x
2）
（4k23）x216k2x16k2
12
0.
消去y,
整理得
解得x2，或x
8k2
2
6
4k23，
由题意得
Xb
yB
12k
4k23
由（I）知，F（1,O），设H（0,Yh），有FH
9
1，Yh）,bf（
4k2
4k23
12k）
4k23
由BFHF，得BFHF0,
2
94k
所以時匚
4k3
洗0，解得Yh
94k2
12k
因此直线MH的方程为y
94k2
12k
设M（Xm，Ym）,
由方程组
1
x
k
k（x
94k2
12k
2）
20k29
M2
12（k21）
MAO中,
MOA
MAO
|MA||MO|
22
（XM2）yM
22
XMyM
化简得Xm
2
1，即答卫
12（k21）
1，解得k
所以，直线I的斜率的取值范围为（
.6.6
）.
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