解析几何第四版习题答案第四章.docx
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解析几何第四版习题答案第四章
。
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
（x1）2
（y3）2
（z2）2
25
x
y
z
2
0
且
（1）母线平行于x轴；
（2）母线平行于直线
x
y,z
c，试求这些柱面的方程。
解：
（1）从方程
（x1）2
（y3）2
（z2）2
25
xyz20
中消去x，得到：
（z
y
3）2
（y
3）2
（z
2）2
25
即：
y2
z2
yz6y5z
3
0
2
此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点M
（
x,
y
z
），过M
且平行于直线
x
y
的直线方程为：
0
0
0
0
0
z
c
x
x0
t
x0
x
t
y
y0
t
y0
y
t
z
z0
z0
z
而M0在准线上，所以
（x
t
1）2
（y
t
3）2
（z
2）2
25
xyz2t20
上式中消去t后得到：
x2
y2
3z2
2xy
8
x8y
8z
26
0
此即为要求的柱面方程。
2
而M0在准线上，所以：
x
t
y2
（z2t）2
x
t
2（z
2t）
消去t，得到：
4x2
25
y2
z2
4
xz
20
x
10z
0
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线
x
y
z,x
1
y
z
1,与x
1
y
1
z2的圆柱面方程。
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。
解：
过
又过准线上一点M1（x1,y1,z1），且方向为1,1,1的直线方程为：
xx1tx1xt
yy1ty1yt
zz1tz1zt
将此式代入准线方程，并消去t得到：
5（x2y2z2xyyzzx）2x11y13z0
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为（u）x（u）,y（u）,z（u），母线的方向平行于矢量SX,Y,Z，
试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
xY（u）vS
与
xx（u）Xv
yy（u）Yv
zz（u）Zv
式中的u,v为参数。
证明：
对柱面上任一点M（x,y,z），过M的母线与准线交于点M（x（u）,y（u）,z（u）），则，
MMvS
即
1、求顶点在原点，准线为x22z10,yz10的锥面方程。
解：
设为锥面上任一点M（x,y,z），过M与O的直线为：
XYZ
xyz
设其与准线交于（X0,Y0,Z0），即存在t，使X0xt,Y0yt,Z0zt，将它们代入准线
方程，并消去参数t，得：
x22z（zy）（zy）20
即：
x2y2z20
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为（3,1,2），准线为x2y2z21,xyz0，试求它的方程。
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解：
设M（x,y,z）为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
X
3
Y
1
Z
2
x
3
y
1
z
2
令它与准线交于（X
0
Y,Z
0
），即存在
t
，使
0
X0
3
（x
3）t
Y0
1
（y
!
）t
Z0
2
（z
2）t
将它们代入准线方程，并消去
t得：
3x2
5y2
7z2
6xy
2yz
10xz
4x4y4z40
此为要求的锥面方程。
4、求
对锥面上任一点
M（x,y,z），过M与顶点O的母线为：
X
Y
Z
x
y
z
令它与准线的交点为
（X0,Y0,Z0），即存在t，使X0xt,Y0
yt,Z0zt，将它们代入
准线方程，并消去
t得：
xy
yzzx
0
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为（1,2,4），轴与平面2x2yz0垂直，且经过点（3,2,1）的圆锥面的方程。
解：
轴线的方程为：
x1y2z4
221
过点（3,2,1）且垂直于轴的平面为：
2（x
3）
2（y
2）
（z1）
0
即：
2x
2y
z
11
0
该平面与轴的交点为
（
11
20
37），它与（3,2,1）
的距离为：
9
9
9
d
（11
3）2
（20
2）2
（37
1）2116
9
9
9
3
要求圆锥面的准线为：
的径矢为0
x0,y0,z0
，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
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。
r
uuuur
uur
v（u）
（1
v）0
与
x
vx（u）
（1
v）x0
y
vy（u）
（1
v）y0
z
vz（u）
（1v）z0
式中，u,v为参数。
uuuur
r
证明：
对锥面上任一点M（x,y,z），令OM
，它与顶点A的连线交准线于
M
uuuuruuuur
（x（u）,y（u）,z（u）），即OM
（u）。
uuuur
uuuuur
uuuuur
0（顶点不在准线上）
QAM//AM，且AM
uuuur
uuuuur
AM
vAM
r
uur
uuuur
uur
即
0
v（
（u）
0）
r
uuuur
uur
亦即
v（u）
（1
v）
0
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：
{x,y,z}v{x（u）,y（u）,z（u）}（1v）{x0,y0,z0}
x
vx（u）
（1
v）x0
y
vy（u）
（1
v）y0
z
vz（u）（1v）z0
此为锥面的坐标式参数方程，
u,v为参数。
§4.3
旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；x1
y1z1绕x
y
z1旋转
1
1
2
1
1
2
（2）；xy
z1绕x
y
z1旋转
2
1
1
1
1
2
（3）x
1
y
z绕z轴旋转；
1
3
3
（4）空间曲线
z
x2
绕z轴旋转。
x2
y2
1
解：
（1）设M1（x1,y1,z1）是母线x
1
y
1z
1上任一点，过
M1的纬圆为：
1
1
2
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（x
x1）
（y
y1）
2（z
z1）
0
（1）
x2
y2
（z1）2
x12
y1
2
（z11）2
（2）
因M1在母线上，
x1
y1
z1
1
（3）
2
1
1
从
（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
5x2
5y2
23z2
12xy
24yz
24xz
24x24y
46z230
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