三角函数公式及推导公式.docx

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三角函数公式及推导公式

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三角函数公式及推导公式（总11页）

三角函数公式

定义式：

锐角三角函数

任意角三角函数

图形

直角三角形

任意角三角函数

正弦（sin）

余弦（cos）

正切（tan或tg）

余切（cot或ctg）

正割（sec）

余割（csc）

函数关系

倒数关系：

商数关系：

平方关系：

诱导公式

公式一：

设

为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：

设

为任意角，

与

的三角函数值之间的关系：

公式三：

任意角

与

的三角函数值之间的关系：

公式四：

与

的三角函数值之间的关系：

公式五：

与

的三角函数值之间的关系：

公式六：

及

与

的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a（k∈z）的三角函数值．

（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；

（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：

奇变偶不变，符号看象限：

记忆方法二：

无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．

以诱导公式四为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．

诱导公式的应用：

运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：

特别提醒：

三角函数化简与求值时需要的知识储备：

①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

基本公式

和差角公式

二角和差公式

证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可．cot（α+β）推导只需把角α对边设为1，过程与tan（α+β）相同．

证明正切的和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

和差化积

口诀：

正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．

积化和差

倍角公式

二倍角公式

三倍角公式

证明：

sin3a

=sin（a+2a）

=sin^2a·cosa+cos^2a·sina

=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos（2a+a）

=cos^2acosa-sin^2asina

=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a

=3sina-4sin^3a

=4sina（3/4-sin^2a）

=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]

=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[60°+a）/2]

=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

cos3a

=4cos^3a-3cosa

=4cosa（cos^2a-3/4）

=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]

=4cosa（cosa-cos30°）（cosa+cos30°）

=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

上述两式相比可得：

tan3a=tana·tan（60°-a）·tan（60°+a）

四倍角公式

sin4a=-4*[cosa*sina*（2*sina^2-1）]

cos4a=1+（-8*cosa^2+8*cosa^4）

tan4a=（4*tana-4*tana^3）/（1-6*tana^2+tana^4）

五倍角公式

n倍角公式

应用欧拉公式：

.

上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以，

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以，

n倍角的三角函数

半角公式

（正负由

所在的象限决定）

万能公式

辅助角公式

证明：

由于

，显然

，且

故有：

三角形定理

正弦定理

详见词条：

正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有：

正弦定理变形可得：

余弦定理

详见词条：

余弦定理

在如图所示的在△ABC中，有

余弦定理

或