初二上动点问题.docx

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初二上动点问题

初二上动点问题

1．如图，已知△ABC中，∠B=90º，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求线段PQ的长？

（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间？

2．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．

（1）求AB的长；

（2）当t为多少时，△ABD的面积为15cm2？

（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）

3．

（1）如图1：

在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

∠BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

4．（12分）在等腰△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,点O、点P分别在射线AD、BA上的运动，且保证∠OCP=60°，连接OP.

（1）当点O运动到D点时，如图一，此时AP=______,△OPC是什么三角形。

（2）当点O在射线AD其它地方运动时，△OPC还满足

（1）的结论吗？

请用利用图二说明理由。

（3）令AO=x，AP=y，请直接写出y关于x的函数表达式，以及x的取值范围。

图一图二

5．探究题

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB﹦1100，∠BOC﹦a，将△BOC绕点C按顺时钟方向旋转60O得△ADC，连接OD.

（1）求证：

△COD是等边三角形；

（2）当a﹦150O时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：

当仅为多少度时，△AOD是等腰三角形？

6．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），

证明：

△ACF≌△ABD

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；

（3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．

7．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想并证明；

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）填空：

∠CAM=__________度；

（2）若点D在线段AM上时，求证：

△ADC≌△BEC；

（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？

并说明理由．

9．

（1）如图

（1），已知：

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明①:

△ABD≌△ACE②DE=BD+CE

（2）如图

（2），将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=

其中

为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?

如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

10．如图①，等腰直角三角形

的顶点

的坐标为

，

的坐标为

，直角顶点

在第四象限，线段AC与x轴交于点D.将线段DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式.

（2）如图②，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过点P作与x轴平行的直线PG，交直线DE于点G，求与△DPG的面积S与运动时间t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围.

（3）如图③，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FE以每秒

个单位的速度运动到E后停止.当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？

若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1．

（1）

；

（2）t=83；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.

【解析】

（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）设出发t秒后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）当点Q在CA上运动上，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：

①当CQ=BQ时（图1）则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；

②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；

③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求得BE、CE，即可得出t.

解：

（1）BQ=2×2=4cm，BP=AB−AP=8−2×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ=

；

（2）BQ=2t，BP=8−t，2t=8−t，解得：

t=83；

（3）①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒.

②当CQ=BC时（如图2），

则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒

③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，

则BE=

，

所以CE=BC2−BE2，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，

△BCQ为等腰三角形.

“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.

2．

（1）5

；

（2）2或8；（3）2或10．

【解析】试题分析：

（1）运用勾股定理直接求出；

（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．

试题解析：

（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，

∴2AB2=BC2，∴AB=

=5

cm；

（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，

则AF=

BC=5cm，

∵S△ABD=15cm2，∴AF×BD=30，∴BD=6cm．

若D在B点右侧，则CD=4cm，t=2s；若D在B点左侧，则CD=16cm，t=8s．

（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．

理由如下：

（说理过程简要说明即可）

①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．

∵CE=2t，BD=10﹣3t

∴2t=10﹣3t

∴t=2

证明：

在△ABD和△ACE中，

∵

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．

∵CE=2t，BD=3t﹣10,

∴2t=3t﹣10,

∴t=10

证明：

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE．

点睛：

本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定以及面积的计算；本题综合性强，有一定的难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的运用.

3．问题背景：

EF＝BE＋DF；

探索延伸：

EF＝BE＋DF仍然成立，理由见解析；

实际应用：

此时两舰艇之间的距离是210海里．

【解析】解：

问题背景：

EF＝BE＋DF；

探索延伸：

EF＝BE＋DF仍然成立．

证明如下：

如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，

∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF；

实际应用：

如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EAF＝∠AOB，

又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，

∴结论EF＝AE＋BF成立，即EF＝1.5×（60＋80）＝210海里．

答：

此时两舰艇之间的距离是210海里．

4．

（1）1，等边三角形；

（2）理由见解析；（3）当

时，y=2-x；当

时，

y=x-2

【解析】试题分析：

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°，求得∠ACP=30°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过C作CE⊥AP于E，根据等边三角形的性质得到CD=CE，根据全等三角形的性质得到OC=OP，由等边三角形的判定即可得到结论；（3）分两种情况解决，在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，根据求得解实现的性质得到PA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到结论．

试题解析：

（1）AD=AP=1,

∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

∴∠B=∠ACB=30°，

∵∠OCP=60°，

∴∠ACP=30°，

∵∠CAP=180°﹣∠BAC=60°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAC=60°，

在△ADC与△APC中，

，

∴△ACD≌△ACP，

∴CD=CP，

∴△PCO是等边三角形；

（2）△OPC还满足

（1）的结论，

理由：

过C作CE⊥AP于E，

∵∠CAD=∠EAC=60°，