高考考点完全题数学文专题突破练习题 专题突破练5 立体几何的综合问题 Word版含答案.docx

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高考考点完全题数学文专题突破练习题专题突破练5立体几何的综合问题Word版含答案

专题突破练（）　立体几何的综合问题

一、选择题

．已知直线⊂平面α，直线⊂平面β，则“∥”是“α∥β”的（　　）

．充分不必要条件．必要不充分条件

．充要条件．既不充分又不必要条件

答案　

解析　“∥”不能得出“α∥β”，反之由“α∥β”也得不出“∥”．故选.

.如图，三棱柱－中，⊥平面，＝＝，＝，＝，若规定正视方向垂直平面，则此三棱柱的侧视图的面积为（　　）

．

．．

答案　

解析　在△中，＝＋＝，∴⊥.

作⊥于，则为侧视图的宽，且＝＝，∴侧视图的面积为＝×＝.

．平行六面体－中，既与共面也与共面的棱的条数为（　　）

．．

．．

答案　

解析　如图，既与共面也与共面的棱有、、、、，共条．

．在四边形中，＝＝＝，＝，⊥.将四边形沿对角线折成四面体′－，使平面′⊥平面，则下列结论正确的是（　　）

．′⊥

．∠′＝°

．′与平面′所成的角为°

．四面体′的体积为

答案　

解析　∵＝＝，＝，∴⊥.

∴′⊥′.∵平面′⊥平面，⊥，

∴⊥平面′，∴⊥′，∴′⊥平面′，

∴′⊥′，即∠′＝°.

.如图，在三棱锥－中，不能证明⊥的条件是（　　）

．⊥，⊥

．⊥，⊥

．平面⊥平面，⊥

．⊥平面

答案　

解析　由⊥，⊥可推出⊥平面，∴⊥，故排除；由平面⊥平面，⊥可推出⊥平面，∴⊥，故排除；由⊥平面可推出⊥，故排除，选.

．如图所示，已知在多面体－中，，，两两垂直，平面∥平面，平面∥平面，＝＝＝，＝＝，则该多面体的体积为（　　）

．．

．．

答案　

解析　如图所示，将多面体补成棱长为的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为＝×＝.

．设，，，是半径为的球面上的四点，且满足⊥，⊥，⊥，则△＋△＋△的最大值是（　　）

．．

．．

答案　

解析　由题意知＝＋＋，△＋△＋△＝（·＋·＋·）≤＋

＝（＋＋）＝.

．已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（　　）

．ππ

ππ

答案　

解析　如图所示，为组合体的轴截面，记的长度为，由相似三角形的比例关系，得＝，则＝，圆柱的高为－，所以圆柱的表面积为＝π＋π·（－）＝－π＋π，则当＝时，取最大值，＝π.

．在正方体－中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，，分别为，边的中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足＝λ的实数λ的值有（　　）

．个　　　．个　　　．个　　　．个

答案　

解析　本题可以转化为在上找点使綊，可知只有点与，重合时满足条件，所以选.

．四棱锥－的底面是边长为的正方形，若＋＝，则三棱锥－的体积的最大值是（　　）

．．

．．

答案　

解析　∵三棱锥－体积＝三棱锥－的体积，又正方形的边长为，△＝××＝，又空间一动点满足＋＝，点的轨迹是椭球，当＝时，点到距离最大，＝＝，∴三棱锥－的体积的最大值为＝△＝××＝，∴三棱锥－体积的最大值为，故答案为.

．在一个棱长为的正方体内，最多能放入的直径为的球的个数（　　）

．．

．．

答案　

解析　根据球体的特点，最多应该是放层，第一层能放个；第层放在每个小球中间的空隙，共放个；第层继续往空隙放，可放个；第层同第层放个；第层同第、层能放个，所以最多可以放入小球的个数：

＋＋＋＋＝（个），故答案为.

．如图所示，正方体－′′′′的棱长为，，分别是棱′，′的中点，过直线，的平面分别与棱′、′交于，，设＝，∈，给出以下四个命题：

①平面⊥平面′′；

②当且仅当＝时，四边形的面积最小；

③四边形周长＝（），∈是单调函数；

④四棱锥′－的体积＝（）为常函数．

以上命题中假命题的序号为（　　）

．①④．②

．③．③④

答案　

解析　①连接，′′，则由正方体的性质可知⊥平面′′，所以平面⊥平面′′，所以①正确．②连接，因为⊥平面′′，所以⊥，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即＝时，此时长度最小，对应四边形的面积最小，所以②正确．

③因为⊥，所以四边形是菱形．当∈时，的长度由大变小，当∈时，的长度由小变大，所以函数＝（）不单调，所以③错误．

④连接′，′，′，则四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以′为底，以，分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形′的面积是常数．，到平面′的距离是常数，所以四棱锥′－的体积＝（）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题，选.

二、填空题

．如图，在正方体－中，为棱的中点，则与所在直线所成角的余弦值等于．

答案　

解析　连接，，则∠就是所求的角．设＝，则＝＝，＝，∴∠＝.

.如图，已知球的面上有四点、、、，⊥平面，⊥，＝＝＝，则球的体积等于．

答案　π

解析　如图，以，，为棱长构造正方体，设正方体的外接球球的半径为，则正方体的体对角线长即为球的直径，所以

＝＝，所以＝，故球的体积＝＝π.

.如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是．

答案　

解析　由于圆柱的侧面展开图为矩形（如图所示），则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程应为＋，设点与点关于直线对称，因为两点之间线段最短，所以为与的交点时有最小值，即最小值为＝.

．棱长为的正方体－中，若与平行的平面截正方体所得的截面面积为，则的取值范围是．

答案　

解析　如图，过的平面为，其中，分别是，的中点，由于＝，＝＝，⊥，即⊥，所以过与，的截面的面积为＝·＝，因此的取值范围是.

三、解答题

．在边长为的菱形中，∠＝°，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，得到如图所示的五棱锥－.

（）求证：

⊥；

（）求点到平面的距离．

解　（）证明：

因为四边形为菱形，所以⊥.

因为为△的中位线，所以∥，

故⊥，即翻折后⊥.

因为平面⊥平面，平面∩平面＝，⊂平面，所以⊥平面.

因为⊂平面，所以⊥.

又⊥，∩＝，⊂平面，⊂平面，所以⊥平面.

因为⊂平面，所以⊥.

（）连接，因为四边形为菱形，且∠＝°，故∠＝°，＝，＝，＝，

△＝△＝×××＝，

＝＝.

因为＝＝，故△为直角三角形，∠＝°，＝＝，＝＝，△＝△＝×·＝.

因为－＝－，所以·△＝·△，

所以＝＝＝.

故点到平面的距离为.

．如图，在四棱锥－中，底面是正方形，点是棱的中点，平面与棱交于点.

（）求证：

∥；

（）若＝，且平面⊥平面，试证明：

⊥平面；

（）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得⊥平面？

（直接给出结论，不需要说明理由）

解　（）证明：

因为底面是正方形，所以∥.

又因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面.

又因为，，，四点共面，且平面∩平面＝，所以∥.

（）证明：

在正方形中，⊥.

又因为平面⊥平面，且平面∩平面＝，所以⊥平面.

又因为⊂平面，所以⊥.

由（）知∥，又因为∥，所以∥.

由点是棱的中点，可知点是棱的中点．

在△中，因为＝，所以⊥，又因为∩＝，所以⊥平面.

（）不存在．

．一个多面体的直观图和三视图如下：

（其中，分别是，中点）

（）求证：

∥平面；

（）求多面体－的体积．

解　（）证明：

由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且＝＝＝，＝＝，∠＝°.

取中点，连接，，由于，分别是，中点，则∥，∵∥，又∵∥，∴∥，∴面∥面，∴∥面.

（）作⊥于，由于三棱柱－为直三棱柱，∴⊥面，且＝，

∴－＝·＝×××＝.

.如图，在四棱锥－中，⊥底面，底面是直角梯形，∥，⊥，＝，＝，＝＝，是上一点．

（）若∥平面，求的值；

（）若是中点，过点作平面α∥平面，平面α与棱交于，求三棱锥－的体积．

解　（）连接交于，在△中，过作∥交于，

∵⊂平面，⊄平面，

∴∥平面，

∵＝，＝，∴＝＝＝.

（）过作∥交于，过作∥交于，

则平面即为平面α，

则平面α与平面的交线与平行，即过作∥交于，

∵是的中点，＝，∴＝，则＝＝，

又＝，∴＝，则＝，

∵＝＝，∴到平面的距离为，

则－＝－＝.