第15章-短面板.docx
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©陈强,《高级计量经济学及Stata应用》课件，第二版，2014年，高等教育出版社。
第15章 短 面 板
15.1面板数据的特点
面板数据（paneldata或longitudinaldata），指的是在一段时间内跟踪同一组个体（individual）的数据。
它既有横截面的维度（n个个体），又有时间维度（T个时期）。
一个T=3的面板数据结构如表15.1。
表15.1 面板数据的结构
y
x1
x2
x3
Individual1:
t=1
Individual1:
t=2
Individual1:
t=3
LL
Individualn:
t=1
Individualn:
t=2
Individualn:
t=3
31
如果面板数据T较小，而n较大，在使用大样本理论时让n趋于无穷大。
这种面板数据被称为“短面板”（shortpanel）。
反之，如果T较大，而n较小，则被称为“长面板”（longpanel）。
在面板模型中，如果解释变量包含被解释变量的滞后值，则称
为“动态面板”（dynamicpanel）；反之，则称为“静态面板”（static
panel）。
如果在面板数据中，每个时期在样本中的个体完全一样，则称为“平衡面板数据”（balancedpanel）；反之，则称为“非平衡面板数据”（unbalancedpanel）。
面板数据的优点：
（1）解决遗漏变量问题：
遗漏变量常由不可观测的个体差异或“异质性”（heterogeneity）造成。
如果个体差异“不随时间而改变”（timeinvariant），则面板数据可解决遗漏变量问题。
（2）提供个体动态行为的信息：
例：
考虑区分规模效应与技术进步对企业生产效率的影响。
对于截面数据，没有时间维度，无法观测到技术进步。
对于时间序列，无法区分生产效率的提高究竟有多少由于规模扩大，有多少
由于技术进步。
例：
对于失业问题，截面数据能告诉在某个时点上哪些人失业，时间序列数据能告诉某个人就业与失业的历史，但这两种数据均无法告诉是否失业的总是同一批人（低流转率），还是失业的人群总在变动（高流转率）。
（3）样本容量较大：
同时有截面维度与时间维度，面板数据的样本容量更大，可提高估计精度。
面板数据也会带来问题，比如，数据通常不满足独立同分布的假定，因为同一个体在不同期的扰动项一般存在自相关。
面板数据的收集成本通常较高，不易获得。
15.2面板数据的估计策略
一个极端策略是将其看成是截面数据而进行混合回归（pooledregression），要求样本中每位个体拥有相同的回归方程。
此策略忽略个体间不可观测或被遗漏的异质性（heterogeneity），而该异质性可能与解释变量相关，导致估计不一致。
另一极端策略则是，为每位个体估计一个单独的回归方程。
此策略忽略了个体的共性，可能没有足够大的样本容量。
实践中常采用折衷的估计策略，即假定个体的回归方程拥有相同的斜率，但可有不同的截距项，以此来捕捉异质性。
个体效应模型（individual-specificeffectsmodel）
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+ui
+eit
（i=1,L,n;t
=1,L,T）
zi为不随时间而变（timeinvariant）的个体特征，比如性别；
xit可随个体及时间而变（time-varying）；
扰动项由（ui
+eit）两部分构成，称为“复合扰动项”（compositeerror
term）；不可观测的随机变量ui是代表个体异质性的截距项。
eit为随个体与时间而改变的扰动项。
假设{eit}为iid，且与ui不相关。
如果ui与某个解释变量相关，则称为“固定效应模型”（FixedEffectsModel，简记FE）。
此时，OLS不一致。
如果ui与所有解释变量（xit,zi）均不相关，则称为“随机效应模型”
（RandomEffectsModel，简记RE）。
15.3混合回归
如果所有个体拥有一样的回归方程，则方程可写为
yit
=a+
xi¢tb
+zi¢d
+eit
xit不包括常数项。
把所有数据放在一起，像对待横截面数据那样进行OLS回归，称为“混合回归”（pooledregression）。
应使用聚类稳健的标准误（cluster-robuststandarderrors），聚类
（cluster）由每位个体不同期的所有观测值所组成。
15.4个体固定效应模型
对于固定效应模型，给定个体i，将方程两边对时间平均：
yi=
xi¢b
+zi¢d
+ui
+ei
将原方程减去平均后的方程可得：
yit
-yi
=（xit
-xi）¢b
+（eit
-ei）
定义y%it
ºyit
-yi，x%it
ºxit
-xi，e%it
ºeit
-ei，则
y%it
=x%i¢tb
+e%it
上式已将ui消去，只要e%it与x%it不相关，可用OLS一致地估计b，称为“固定效应估计量”（FixedEffectsEstimator），记为bˆFE。
bˆFE主要使用了每个位体的组内离差信息，也称“组内估计量”
（withinestimator）。
即使个体特征ui与解释变量xit相关，组内估计量也一致。
在作离差转换时，zi¢d也被消掉，无法估计d，故FE无法估计不随时间而变的变量之影响。
为保证（eit
-ei）与（xit
-xi）不相关，要求第i个观测值满足严格外
生性，即E（eit
xi1,L,
xiT）=0，因为xi中包含了所有（xi1,L,
xiT）的信
息。
扰动项须与各期解释变量均不相关（不仅仅是当期解释变量）。
在原方程中引入（n-1）个虚拟变量（如果没有截距项，则引入n
个虚拟变量）来代表不同的个体，可得到同样结果。
FE也称为“最小二乘虚拟变量模型”（LeastSquareDummyVariableModel，简记LSDV）。
正如线性回归与离差形式的回归在某种意义上是等价的。
比如，
yi=a
+bxi
+ei Û
yi-y
=b（xi
-x）+（ei
-e）
使用LSDV的好处是可以得到个体异质性ui的估计。
LSDV法的缺点是，如果n很大，须在回归方程中引入很多虚拟变量，可能超出计量软件所允许的解释变量个数。
15.5时间固定效应
引入时间固定效应，可解决不随个体而变（individualinvariant）但随时间而变（timevarying）的遗漏变量问题。
假设模型为
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+gSt
+ui
+eit
St不可观测。
定义ltºgSt，则
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+lt
+ui
+eit
将lt视为第t期独有的截距项，并将其解释为“第t期”对y的效应，故l1,L,lT称为“时间固定效应”（timefixedeffects）。
使用LSDV法来，对每个时期定义一个虚拟变量，把（T-1）个时间虚拟变量包括在回归方程中：
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+g2D2t
+L+gTDTt
+ui
+eit
其中，时间虚拟变量D2t
以此类推。
=1，如果t=
2；D2t
=0，如果t¹2；
此方程既考虑个体固定效应，又考虑时间固定效应，称为“双向固定效应”（Two-wayFE）。
为节省参数，可引入时间趋势项，替代（T-1）个时间虚拟变量：
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+gt+ui
+eit
上式隐含较强假定，即每个时期的时间效应相等，每期均增加g。
15.6一阶差分法
对于固定效应模型，可对原方程两边进行一阶差分，以消去个体效应ui（同时把zi¢d消掉了），
yit
-yi,t-1
=（xit
-xi,t-1）¢b
+（eit
-ei,t-1）
对此方程使用OLS，即得到“一阶差分估计量”（FirstDifferencingEstimator），记为bˆFD。
只要（eit
-ei,t-1）与（xit
-xi,t-1）不相关，则bˆFD一致。
此一致性条件比严格外生性假定更弱，这是bˆFD的主要优点。
可以证明（参见习题），如果T=2，则bˆFD=bˆFE。
对于T>2，如果{eit}为iid，则bˆFE比bˆFD更有效率，故实践中主要使用bˆFE。
对于动态面板（第16章），严格外生性假定无法满足，用差分法。
15.7随机效应模型
对于方程yit=xi¢tb+zi¢d+ui+eit，随机效应模型假设ui与解释变
量{xit,zi}均不相关，故OLS一致。
但扰动项由（ui
+eit）组成，不是球型扰动项，故OLS不是最有效
率的，应进行FGLS估计。
假设不同个体之间的扰动项互不相关。
由于ui的存在，同一个体不同时期的扰动项之间仍存在自相关，
ìs2, 若t¹s
Cov（ui
+eit,ui
+eis）=í u
s2+s2, 若t=s
î u e
s2为u的方差，s2为e的方差。
u i e it
当t¹s时，其自相关系数为
rºCorr（ui
+eit,
2
s
s
i is
u+e）= u
e
u
2+s2
自相关系数不随时间距离（t-s）而改变。
越大，则复合扰动项（ui
+eit）中个体效应的部分（ui）越重要。
同一个体扰动项的协方差阵为
æs2
+s2 s2
...
s2 ö
ç u e u u ÷
s2 s2
+s2
... s2
Σ=ç
u u e u ÷
ç M M O M ÷
ç s2 s2 ... s2+s2÷
è u u u
eøT´T
整个样本的协方差阵为块对角矩阵（blockdiagonalmatrix），
æS 0ö
W=ç O ÷
ç ÷
ç0 S÷
è ønT´nT
由于OLS是一致的，且其扰动项为（ui+eit），故可用OLS的残差
来估计（s2+s2）。
u e
另一方面，FE也一致，且其扰动项为（eit
e
来估计s2。
-ei），故可用FE的残差
然后，用FGLS估计原模型，得到“随机效应估计量”（RandomEffectsEstimator），记为bˆRE。
具体来说，用OLS来估计以下“广义离差”（quasi-demeaned）模型：
yit
-qˆyi
=（xit
-qˆxi）¢b
+（1-qˆ）zi¢d
+é（1-qˆ）ui+（eit-qˆei）ù
ë144424443û
误差项
其中，qˆ是q
º1- se
的一致估计量。
（Ts2+s2）12
u
e
可以证明，此扰动项不再有自相关。
对于随机效应模型，如果进一步假设扰动项服从正态分布，可进行MLE估计。
15.8组间估计量
对于随机效应模型，还可使用“组间估计量”。
如果个体数据较不准确，可对每位个体取时间平均值，然后用平均值来回归：
yi=
xi¢b
+zi¢d
+ui
+ei
（i=1,L,n）
对上式用OLS，可得“组间估计量”（BetweenEstimator），记bˆBE。
由于{xi,
zi}中包含了{xit,
zi}的信息，如果ui与解释变量{xit,
zi}相
关，则bˆBE不一致。
故不能在固定效应模型下使用组间估计法。
15.9拟合优度的度量
在有常数项的情况下，线性模型的R2等于被解释变量y与预测
值yˆ之间相关系数的平方，即R2
=[corr（y,
yˆ）]2。
对于面板模型，如使用混合回归，可直接用混合回归的R2。
如使用固定效应、随机效应或组间回归，拟合优度略复杂。
给定估计量（bˆ,dˆ），Stata提供了以下三种R2。
首先，对应于原模型，称[Corr（y,x¢bˆ+z¢dˆ）]2为“整体R2”
it it i
（R2overall），衡量估计量（bˆ,dˆ）对原模型的拟合优度。
其次，对应于组内模型，称[Corr（y%,x%¢bˆ）]2为“组内R2”
it it
（R2within），衡量估计量（bˆ,dˆ）对组内模型的拟合优度。
再次，对应于组间模型，称[Corr（y,x¢bˆ+z¢dˆ）]2为“组间R2”
i i i
（R2between），衡量估计量（bˆ,dˆ）对组间模型的拟合优度。
对于固定效应模型，建议使用组内R2，即组内方程的R2。
对于组间回归模型，建议使用组间R2，即组间方程的R2。
对于随机效应模型，这三种R2都只是相应的相关系数平方，而非随机效应方程的R2。
15.10非平衡面板
非平衡面板数据并不影响计算离差形式的组内估计量（withinestimator），固定效应模型的估计可照样进行。
对于随机效应模型而言，非平衡面板数据也没有实质性影响，只要在做广义离差变换时让
（Ts2+s2）12
i u
e
s
qiº1- e
其中，Ti为个体i的时间维度，就可照常进行FGLS估计。
非平衡面板的最大问题是，那些原来在样本中但后来丢掉的个
体，如果“丢掉”的原因是内生的（即与扰动项相关），则会导致样本不具有代表性（不再是随机样本），从而导致估计量不一致。
比如，低收入的人群更易从面板数据中丢掉。
15.11究竟该用固定效应还是随机效应模型
检验原假设“H0:
ui与xit,zi不相关”（即随机效应模型为正确模型）。
无论原假设成立与否，FE都是一致的。
如果原假设不成立，则RE不一致。
如果H0成立，则FE与RE估计量将共同收敛于真实的参数值，故
（bˆFE
-bˆ ）¾p¾®0。
如果二者的差距过大，则倾向于拒绝原假设。
RE
豪斯曼检验（Hausman,1978）的统计量为
ˆ ˆ ¢é·ˆ
·ˆ ù-1 ˆ ˆ d 2
（bFE
-bRE）
êëVar（bFE）-Var（bRE）ûú
（bFE
-bRE）¾¾®c
（K）
其中，K为bˆFE的维度。
上述检验假设在H0成立的情况下，bˆRE最有效率。
如果存在异方差，则bˆRE并非最有效率的估计量，故不适用异方差的情形。
解决方法之一，通过自助法计算Var（bˆFE-bˆRE），参见第19章。
解决方法之二，进行以下辅助回归（Wooldridge,2010），
yit
-qˆyi
=（xit
-qˆxi）¢b
+（1-qˆ）zi¢d
+（xit
-xi）¢g
+é（1-qˆ）ui
+（eit
-qˆei）ù
使用聚类稳健标准误检验原假设“H0:
g
的情况下也适用。
ë û
=0”，此检验在异方差
由于总可以把原模型变换为随机效应的方程：
yit
-qˆyi
=（xit
-qˆxi）¢b
+（1-qˆ）zi¢d
+é（1-qˆ）ui+（eit-qˆei）ù
ë144424443û
误差项
故在上面的辅助回归中，g=0。
如果随机效应模型成立，则OLS一致，故plimgˆ=g
n®¥
=0。
如果固定效应模型成立，扰动项é（1-qˆ）ui+（eit-qˆei）ù与（xit
-xi）
ë û
相关（因为u与x相关），OLS不一致，即plimgˆ
=g*¹g
=0。
i it
n®¥
拒绝“H0:
g
=0”，则意味着拒绝随机效应，接受固定效应。
i
对于非平衡面板，则以qˆ替代方程中的qˆ即可。
15.12个体时间趋势
个体异质性还可能表现为个体的不同时间趋势。
比如，在跨国面板中，各国的经济增长率可能不同。
考虑以下模型：
yit
=xi¢tb
+zi¢d
+git+ui
+eit
git为个体时间趋势。
一般将gi视为来自某分布的随机变量（从该分布随机抽出一个观测值后，就不再随时间而变）。
此模型称为“随机趋势模型”（randomtrendmodel）。
如果yit取对数形式（比如lnGDPit），则gi可解释为在给定（xit,
zi）条件
下的平均增长率（即¶E（lnGDPit）/¶t），故也称“随机增长模型”（randomgrowthmodel）。
首先对方程两边做差分，去掉ui：
Dyit
=Dxi¢tb
+gi
+Deit
在形式上，此方程与标准的个体效应模型一样。
如果gi与解释变量Dxit不相关，可用RE估计此方程。
如果gi与解释变量Dxit相关，可用FE或FD估计此方程。
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