届高三数学月考试题理.docx
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届高三数学月考试题理
2017—2018学年第一学期高三年级十月份考试
理科数学试卷
本试卷分必考部分和选考两部分
必考部分
1、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
2.已知
（是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.执行如图的程序框图,若输出的值为6,则判断框内可填入的
条件是（）
A.
B.
C.
D.
4.已知等比数列
，且
，则
的值为（）
A.B.
C.
D.
5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C．4
πD.
π
6.已知函数
满足
，且
的导函数
，则
的解集为（）
A.
B.
C.
D.
7.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（）＝1，∈
，则
＝（ ）
A．±
B．
C．－
D.
8.已知向量a，b满足a⊥b，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为
，则t的值为（ ）
A．1B.
C．2D．3
9.如图所示，已知二面角
的平面角为，PA⊥，PB⊥，A、B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到棱的距离分别为x、y，当变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（）
10.若变量
满足约束条件
，且
，则
仅在点
处取得最大值的概率为（）
A.
B.
C.
D.
11.已知点A（－2，3）在抛物线C：
y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知定义在上的函数
满足①
②
③在[-1,1]上表达式为
则函数
与函数
的图象在区间[-3,3]上的交点个数为（）
A.5B.6C.7D.8
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.等比数列
的公比
，已知
，
，则
的前4项和
_____
14.设
，若
的最小值为
15.若随机变量服从正态分布
，
，
，设
，且
则
16.已知数列
的首项
，其前项和为，且满足
，若对
，
恒成立，则的取值范围是_______．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．
（1）求道路BE的长度；
（2）求道路AB，AE长度之和的最大值．
18.一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验。
记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表：
（Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近。
试估计“出现数字之和为7”的概率，并求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：
每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元。
某人摸球3次，设其获利金额为随机变量元，求的数学期望和方差.
19.如图，在四棱锥
中，
，
平面
，
.
（1）设点为
的中点，求证：
平面
；
（2）线段
上是否存在一点，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
？
若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
20.如图，设椭圆
的左、右焦点分别为
，点在椭圆上，
，
，
的面积为
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？
若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
21．若存在实常数和，使得函数
和
对其定义域上的任意实数分别满足：
和
，则称直线
为
和
的“隔离直线”．已知
，
为自然对数的底数）．
（1）求
的极值；
（2）函数
和
是否存在隔离直线？
若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
选考部分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，已知圆：
（为参数），点在直线：
上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求圆和直线的极坐标方程；
（2）射线
交圆于，点在射线
上，且满足
，求点轨迹的极坐标方程．
23.选修4-5不等式选讲
若函数
的最小值为2．
（1）求实数的值；
（2）若
，且
，证明：
．
2017—2018学年第一学期高三年级十月份考试
理科数学试卷答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
A
D
C
C
D
C
D
D
13.
14.
15.216.
17.（Ⅰ）如图，连接
在
中，由余弦定理得：
又
所以在
中，
;
（Ⅱ）设
在
中，由正弦定理，得
，
，
，
，
当
，即
时，
取得最大值
，
即道路
长度之和的最大值为
.
18.
（1）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为
2分
，A事件包含两种结果，则有
，
5分
（2）设表示3次摸球中A事件发生的次数，则
8分
则
10分
12分
（注：
（2）问也可以利用分布列去计算数学期望和方差）
19.
（注：
（1）问也可建系来证明）
（2）过作
，交
于，又
平面
知以为原点，
分别为
轴建系如图：
则
设平面PAC的法向量
，
由
有
取
设
，则
，
∴
∴
∴
∴
．
∴线段
上存在一点，为
中点
20.
（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆
相交，
是两个交点，
，
是圆的切线，且
由圆和椭圆的对称性，易知
，由
（1）知
，所以
，再由
得
，由椭圆方程得
，即
，解得
或
.当
时，
重合，此时题设要求的圆不存在.
当
时，过
分别与
垂直的直线的交点即为圆心，设
由
得
而
故
圆的半径
综上，存在满足条件的圆，其方程为：
21.21.
（1）
，
．
当
时，
．------2分
当
时，
，此时函数
递减；
当
时，
，此时函数
递增；
∴当
时，
取极小值，其极小值为．------4分
（2）解：
由
（1）可知函数
和
的图象在
处有公共点，因此若存在
和
的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为，则直线方程为
，即
．
由
，可得
当
时恒成立．
，
由
，得
．------8分
下面证明
当
时恒成立．
令
，则
，当
时，
．
当
时，
，此时函数
递增；
当
时，
，此时函数
递减；
∴当
时，
取极大值，其极大值为．
从而
，即
恒成立
∴函数
和
存在唯一的隔离直线
．------12分
22.解：
（Ⅰ）圆的极坐标方程
，直线的极坐标方程＝
.…………5分
（Ⅱ）设
的极坐标分别为
，因为
又因为
，即
，
………………10分
23.（Ⅰ）解：
当
时，
最小值为
，
………………2分
当
时，
最小值为
，
（舍）
综上所述，
.………………5分
（Ⅱ）证明：
∵
………………8分
∴
………………10分
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