初中数学几何全等基本辅助线与模型练习含答案解析.docx
《初中数学几何全等基本辅助线与模型练习含答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学几何全等基本辅助线与模型练习含答案解析.docx（77页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初中数学几何全等基本辅助线与模型练习含答案解析
初中数学几何全等基本辅助线与模型练习
1．（2015•深圳模拟）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
不能确定
2．（2014•宁德）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：
①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．
①③
B．
②④
C．
①②③
D．
①②④
3．（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE+DF=AF+DE．
其中正确的是（ ）
A．
②③
B．
②④
C．
①③④
D．
②③④
4．（2013•朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③
；④EF一定平行BC．其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
②③④
C．
①③④
D．
①②③④
5．（2015春•濉溪县期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（ ）
A．
3.8cm
B．
7.6cm
C．
11.4cm
D．
11.2cm
6．（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（ ）
A．
45°
B．
50°
C．
60°
D．
不确定
7．（2013秋•硚口区校级期中）在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，则下列结论：
①AB+BD=CD；②S△ABE：
S△AEC=AB：
AC；③AC﹣AB=BE；④∠B=4∠DAE
其中正确的是（ ）
A．
①②③④
B．
①③④
C．
②③④
D．
①②③
8．（2014•泰安模拟）已知：
如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①③④
C．
①②④
D．
①②③④
9．（2012•义乌市模拟）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC于M，连CD．下列结论：
①AC+CE=AB；②
；③∠CDA=45°；④
=定值．
其中正确的有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
10．（2014秋•万州区校级期中）如图，在不等边△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，MP=3，△AMP的面积是6，下列结论：
①AM＜PQ+QN，②QP∥AM，③△BMP≌△PQC，④∠QPC+∠MPB=90°，⑤△PQN的周长是7，其中正确的有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
11．（2011秋•汉阳区期中）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P点作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：
①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S△ACD：
S△ABD=AC：
AB，
其中结论正确的序号是（ ）
A．
①③
B．
①②③④
C．
①②③
D．
②③
12．（2014•亭湖区一模）如图，点A的坐标为（6，0），点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
PB的长度随点B的运动而变化
13．（2013•齐齐哈尔）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：
①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
14．（2014秋•梁子湖区期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点A，D，C在同一直线上，直线CE交BD于F，连接AF，点M，N分别是BD，CE的中点，有下列说法：
①BD=CE；②CF⊥BD；③AF平分∠DFC；④△AMN是等腰直角三角形．其中正确的结论有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
15．（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
16．（2015春•深圳期末）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
其中正确的有（ ）
A．
①③⑤
B．
①③④⑤
C．
①②③⑤
D．
①②③④⑤
17．（2011秋•道里区期末）如图，△ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：
①BE=CD；②FA平分∠EFC；③FE=FD；④FE+FC=FA；其中一定正确的结论有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
18．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：
①BE=CD；②FA平分∠EFC；③FE=FD；④FE+FC=FA．
其中正确的结论有 ．
19．（2012春•黄陂区校级期中）如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DFE是等边三角形，ED的延长线交AB于H，则下列结论：
①∠AHD+∠AFD=180°，②AF=
BC，③CF+CE=CD，④
为定值，其中正确的是（ ）
A．
①③
B．
②③
C．
①②③
D．
①②④
20．（2014秋•姜堰市期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，BD=AC，以BC为底边作等腰直角△BEC，连接AE并延长交BD于F点，下列结论：
①△AEC≌△DEB；②AE⊥DE；③DE=DC；④S△AEB=S△CDE．其中正确的有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
21．（2014秋•丹阳市期中）如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP，其中正确的有（ ）
A．
②③
B．
①②④
C．
③④
D．
①②③④
22．（2009秋•江岸区期末）如图，将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：
①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①②④
C．
②③④
D．
①②③④
23．（2011秋•江岸区期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：
①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①②④
C．
②③④
D．
①②③④
24．（2015春•龙口市期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（ ）
A．
AD=CE
B．
MF=
CF
C．
∠BEC=∠CDA
D．
AM=CM
25．（2012秋•武昌区期中）如图：
△ABD是等边三角形，以BD为边向外作等边三角形△DBC，点E，F分别在AB，AD上且AE=DF．连接BF于DE相交于点G，连接CG，证明下列结论：
①△AED≌△DFB；
②CG=DG+BG．
26．（2013秋•硚口区校级期中）已知：
如图1：
点A（5，0）B（0，2），AB=AC，∠BAC=90°．
（1）求点C的坐标．
（2）以AB为斜边作等腰直角△ABD，请直接写出点D的坐标 ；
（3）如图2，若E、F分别在BC、AB上，∠AEC=75°，FE⊥BC．求证：
BF=AE．
参考答案与试题解析（题号不对应）
1．（2015•深圳模拟）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
不能确定
考点：
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=
AC即可．
解答：
解：
过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中
，
∴△PFD≌△QCD，
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=
AC，
∵AC=3，
∴DE=
，
故选B．
点评：
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
2．（2014•宁德）如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：
①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．
①③
B．
②④
C．
①②③
D．
①②④
考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论．
解答：
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠GCF，
∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．
在△DEB和△FGC中，
，
∴△DEB≌△FGC（AAS），
∴BE=CG，DE=FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，
，
∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE．
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1．故④正确．
正确的有①②④，
故选D．
点评：
本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
3．（2015•德州）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE+DF=AF+DE．
其中正确的是（ ）
A．
②③
B．
②④
C．
①③④
D．
②③④
考点：
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．
③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．
④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．
解答：
解：
如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴④正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴③正确．
综上，可得
正确的是：
②③④．
故选：
D．
点评：
（1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．
4．（2013•朝阳）如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③
；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
②③④
C．
①③④
D．
①②③④
考点：
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面积公式求解即可得③
．
解答：
解：
①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正确；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确；
③∵S△BFD=
BF•DF，S△CDE=
CE•DE，DF=DE，
∴
；故正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故错误．
故选A．
点评：
此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2015春•濉溪县期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（ ）
A．
3.8cm
B．
7.6cm
C．
11.4cm
D．
11.2cm
考点：
角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．
解答：
解：
∵∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，
又∵AD平分∠CAB，
∴DC=DE=3.8，
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．
故选C．
点评：
本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．
6．（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（ ）
A．
45°
B．
50°
C．
60°
D．
不确定
考点：
全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．
解答：
解：
如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，
∵E是BF的垂直平分线EM上的点，
∴EF=EB，
∵E是∠BCD角平分线上一点，
∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，
Rt△BHE和Rt△EIF中，
，
∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），
∴∠HBE=∠IEF，
∵∠HBE+∠HEB=90°，
∴∠IEF+∠HEB=90°，
∴∠BEF=90°，
∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB=45°．
故选：
A．
点评：
本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．
7．（2013秋•硚口区校级期中）在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.
求证：
①AB+BD=CD；②S△ABE：
S△AEC=AB：
AC；③AC﹣AB=BE；④∠B=4∠DAE
考点：
等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
根据每一个题目的结果，作出适当的辅助线，进一步利用三角形全等，角平分线的性质，三角形的面积以及三角形的内角和逐一分析得出答案．
解答：
解：
①如图，
在BC上截取DF=BD，
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
又AD=AD
∴△ABD≌△AFD
∴AB=AF
∠B=∠AFD=∠FAC+∠C=2∠C
∴AF=FC
∴AB+BD=FC+DF=CD．
②如图：
作EG⊥AB，EH⊥AC分别交AB、AC于点G、H，
∵AE平分∠BAC，
∴EG=EH
∴S△ABE：
S△AEC=
AB•EG：
（
AC•EH）=AB：
AC．
③如图：
在AC上截取AM=AB，
∠BAE=∠EAM
AE=AE
∴△ABE≌△AME
∴BE=ME
∠AME=∠B=∠C+∠MEC=2∠C
∴∠MEC=∠C
∴MC=ME=BE=AC﹣AM=AC﹣AB．
④∠DAE=
∠BAC﹣∠BAD
=
（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）
=90°﹣
∠B﹣90°+∠B
=
∠B
∴∠B=4∠DAE．
综上所知①②③④都是正确的．
故选：
A．
点评：
此题综合考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点．
8．（2014•泰安模拟）已知：
如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（ ）
A．
①②③
B．
①③④
C．
①②④
D．
①②③④
考点：
全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
常规题型．
分析：
易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即③正确，根据③可求得④正确．
解答：
解：
①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△AB
升级会员 