例说二项式定理的常见题型及解法.docx
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例说二项式定理的常见题型及解法
例说二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式
1•“（ab）n”型的展开式
例1•求（3x
）°的展开式;
解：
原式二
1
=Xa[C4（3x）C4（3x）C4（3x）C4（3x）C4]
1
=p（81x484x354x212x1）
x
121
=81x284x254
xx
但是题目解决过程中的这种“先化简在展
1）]4的形式然后按照二项展开式的格式展
■-X
小结：
这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到,开”的思想在高考题目中会有体现的。
2.“（ab）n"型的展开式
例2•求sy的展开式;
分析：
解决此题，只需要把（3、•.X1）°改写成[3\x
Vx
开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力
3.二项式展开式的“逆用”
例3•计算13&9C227C3....
（1）七匕：
；
解：
原式二C：
C1n（3）1C2（3）20：
（3）3…C（3）n（13）n（
2）
小结：
公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
二、通项公式的应用
1.确定二项式中的有关元素
例4•已知（…x）9的展开式中疋的系数为％常数a的值为
x\24
xI2
3令・r93,即r8
2依题意，得
C：
（1）824a98
4
2•确定二项展开式的常数项
3解：
TnC：
（a）9r（..x）rc；
（1）r22a9rxAr9
9,解得a1
例5.（•..丄厂展开式中的常数项是
\x
5解：
Tn4（*）10r（J）r（FC；oX
5
令55r0,即r6o
6
所以常数项是
（1）6C：
o210
3•求单一二项式指定幕的系数
例6.&全国）（x22x>9展开式中x9的系数是
r2\9r,1.rr182A1x1、rr182rr・\r厂1r183x
（*）3
解：
「|C9（X）（6）=Ch）=CgX
（2）（;）=Cd2）X
令183x9,则r3,从而可以得到x?
的系数为：
。
9
三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数
例7.（x1）（x1）2（x1）3（x1）4（x1）5的展开式中，x2的系数等于
解：
X?
的系数是四个二项展开式中4个含胖的，则有
c；
（1）0c3
（1）1c：
（1）2c；
（1）3（c；c3C:
C|）
20
例8.（02全国）（xJ）（x2）7的展开式中，X?
项的系数是；
解：
在展开式中，X3的来源有：
1第一个因式中取出则第二个因式必出x,其系数为C7
（2）6；
2第一个因式中取岀1,则第二个因式中必出X3,其系数为C：
（2）4x3的系数应为：
C6
（2）&
C：
（2）41008,填1008o
四、利用二项式定理的性质解题
1.求中间项
例9•求（・X3〔）的展开式的中间项;
Jx
解：
TriCi；cX）10r（J）r＞展开式的中间项为CoCX）.J）5Vx
5
即：
252x6o
ninlnl门1n1n1
当n为奇数时，（ab）n的展开式的中间项是cA2aTb-和C；八a_bv
n;
当n为偶数时，（ab）n的展开式的中间项是C]a2bPo
2.求有理项
例10•求C.X31）10的展开式中有理项共有项；
勺X
解：
TnCioffi*）cdi）上7
当r0,3,6,9时，所对应的项是有理项。
故展开式中有理项有4项。
1当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；
2当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。
3.求系数最大或最小项
（1）特殊的系数最大或最小问题
例11.（00上海）在二项式（x1）11的展开式中，系数最小的项的系数是;
解：
TnC；X11r
（1）r
要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Ch为最大，由此得r5,从而可知最小项的
系数为Csi
（1）5462
（2）一般的系数最大或最小问题
例12•求C,x，）8展开式中系数最大的项；
解：
记第r项系数为「，设第k项系数最大，则有
Tk1
^8
C；2
Cs
8!
8!
（k1）L（9K）!
8!
（K2）!
.（10K）!
（K1）L（9K）!
K!
（8K）!
K1K2
21
9KW解得3k4,
57
系数最大的项为第3项Ta7乂和第4项T47X2
（3）系数绝对值最大的项
例13•在（xy）7的展开式中，系数绝对值最大项是；
解：
求系数绝对最大问题都可以将“（ab）n”型转化为“（ab）n”型来处理，故此答案为第4项C：
x3y4,和第5项C；x2y5°
五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和
例14.若（2x,3）4aoaixa2X2a3X3a4X4,
解：
（2x
・3）4a。
aiXa2X2
3
asX
令X
1,有（2
、3）4a,ai
a2
令X
1,有（2
3尸（a。
a2
贝ij（a°aaa4）2佝玄彳）2』勺值为
4
a4X
故原式=（a。
aia2a3a4）.[（a。
a?
a4）（aja3）]
=（2・・3）4.（2・3尸
4
=
（1）1
在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：
1,1,0特殊值在解题过
程中考虑的比较多。
例15.设（2x1）6a6x6a5x5...aixa。
，
贝Ua。
&a2.・・aA；
分析：
解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。
解：
TnC；（2x）6r
（1）r
a0a1a2...a6a0a1a2a3a4a5a6
=（a°a2%a6）（aia3a5）
六、利用二项式定理求近似值
例16•求0.9986的近似值，使误差小于0.001:
分析：
因为0.9986=（10.002）6,故可以用二项式定理展开计算
解:
0.9986=（10.002）6=16.（0.002）115.（0.002）2...（0.002）6
222T3C6.（0.002）215（0.002）20.000060.001,
且第3项以后的绝对值都小于0.001,从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
66
0.998=（10.002）16（0.002）=10.0120.988
小结：
由（1x）n1C：
xC：
x2...C：
xn,当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,....xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：
（1x）n1nx,在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍,
若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式:
（1x）n1nx
n（n1）x2
利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有岀现题目，但是按照新课标要求，对高中学生
的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。
所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
七、利用二项式定理证明整除问题
例17•求证：
5151
1能被7整除。
证明：
51511
51
=（492）
1
0A51
150
249小
=C5149
C51.49.2
C51.49.2
51
=49P+2
1（PN
）
又2511
（23）171
=（7+1）
171
01；
7116
27l5
97.7
Cl7J
Cl7.7・・・・
=7Q（Q
N）
515117P
7Q7（P
Q）
1617
Cl7.7C⑺
51511能被7整除
5050
C5149.2
5151.
C51.21
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式冋题化归到一项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。
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