例说二项式定理的常见题型及解法.docx

1、例说二项式定理的常见题型及解法例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直 接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基 本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式 定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式1“ (ab) n ”型的展开式例1 求(3x)的展开式;解：原式二1=XaC4 ( 3x) C4 (3x) C4 (3x) C4 (3x) C41=p (81x4 84x3 54x2 12x 1

2、)x12 1=81 x2 84x 2 54x x但是题目解决过程中的这种“先化简在展1)4的形式然后按照二项展开式的格式展 - X小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到, 开”的思想在高考题目中会有体现的。2. “ (ab) n 型的展开式例2求s y的展开式;分析：解决此题，只需要把(3、 .X1 ) 改写成3xVx开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力3.二项式展开式的“逆用”例 3计算 1 3& 9C2 27C3. ( 1)七匕：；解：原式二C： C1n ( 3) 1 C2 ( 3) 2 0： ( 3)3 C ( 3) n(1 3) n (2)小结：公式的变形应用，正逆应用

3、，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素例4已知(x) 9的展开式中疋的系数为常数a的值为 x2 4x I23令r9 3,即r 82依题意，得C： ( 1)8 2 4 a9842 确定二项展开式的常数项3解：TnC： (a)9r(. x)rc； (1 )r 2 2 a9r xAr99,解得a 1例5. (. 丄厂展开式中的常数项是 x5 解：Tn 4(*)10 r ( J )r ( FC； o X5令 55r0,即 r 6o6所以常数项是(1)6C： o 2103 求单一二项式指定幕的系数例6. &全国)(x2 2x9展开式中x9的系数是r 29r,

4、 1 .r r 18 2A 1 x 1 、 r r18 2r rr 厂 1 r18 3x(*) 3解：|C9(X)( 6)=Ch )=CgX(2)(;)=Cd2)X令183x9,则r3,从而可以得到x?的系数为：。9三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数例7. (x 1) (x 1) 2 (x 1) 3 (x 1) 4 (x 1) 5的展开式中，x2的系数等于 解：X?的系数是四个二项展开式中4个含胖的，则有c； ( 1) 0 c3 ( 1) 1 c： ( 1) 2 c； ( 1) 3 (c； c3 C: C|)20例8. (02全国)(xJ) (x2) 7的展开式中，X?项的系数

5、是 ；解：在展开式中，X3的来源有：1第一个因式中取出则第二个因式必出x,其系数为C7 ( 2) 6；2第一个因式中取岀1,则第二个因式中必出X3,其系数为C： ( 2) 4x3的系数应为：C6 ( 2) &C： ( 2) 4 1008,填 1008o四、利用二项式定理的性质解题1.求中间项例9求(X3)的展开式的中间项;Jx解：TriCi； cX)10r( J)r展开式的中间项为 CoCX). J)5Vx5即：252x6on i nlnl 门 1 n1 n1当n为奇数时，(a b)n的展开式的中间项是cA2aTb-和C；八a_bvn ;当n为偶数时，(a b)n的展开式的中间项是C a2bP

6、o2.求有理项例10 求C.X 31 )10的展开式中有理项共有 项；勺X解： Tn Cioffi *) cdi)上 7当r 0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4项。1当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；2当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时，那么这个代数式是无理 式。3.求系数最大或最小项(1)特殊的系数最大或最小问题例11.(00上海)在二项式(x1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ;解：TnC； X11r(1)r要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Ch为最大，由此得r5,从而可知最小项的系数为 Csi ( 1

7、)5 462(2)一般的系数最大或最小问题例12求C, x，)8展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为，设第k项系数最大，则有Tk 18C；2Cs8! 8!(k1)L(9 K)!8!(K2)!.(10K)!(K1)L(9 K)!K!(8 K)!K1 K22 19KW 解得3 k 4,5 7系数最大的项为第3项Ta7乂和第4项T4 7X2(3)系数绝对值最大的项例13在(xy)7的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“(a b)n ”型转化为“(a b)n”型来处理，故此答案为第4项C： x3y4,和第 5 项 C； x2y5五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数

8、和例 14.若(2x ,3)4 ao aix a2X2 a3X3 a4X4,解： (2x3)4 a。aiX a2X23asX令X1,有(2、3)4 a, aia2令X1,有(2,3尸(a。a2贝ij(a aaa4)2佝玄彳)2勺值为4a4X故原式=(a。ai a2a3 a4).(a。a? a4)(aj a3)=(2 3)4.( 2 3尸4=(1)1在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言： 1,1,0特殊值在解题过程中考虑的比较多。例 15.设(2x 1 )6 a6x6 a5x5 . aix a。，贝 U a。& a2. aA ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝

9、对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后 的代数式的值。解：TnC；(2x)6r( 1)ra0 a1 a2 . a6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6=(a a2 % a6)(ai a3 a5)六、利用二项式定理求近似值例16求0.9986的近似值，使误差小于0.001 :分析：因为0.9986 = (1 0.002)6,故可以用二项式定理展开计算解:0.9986 = (1 0.002)6 = 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2 . ( 0.002)62 22 T3C6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3项以后的绝

10、对值都小于0.001,从第3项起，以后的项都可以忽略不计。660.998 =(1 0.002) 1 6 (0.002)=1 0.012 0.988小结：由(1 x)n 1 C： x C： x2. C： xn,当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,.xn 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：(1 x)n 1 nx,在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式:(1 x)n 1 nxn(n 1)x2利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有岀现题目，但是按照新课标要求，对高中

11、学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式 定理来求近似值。七、利用二项式定理证明整除问题例17求证：51511能被7整除。证明：5151 151=(49 2)10A 511 502 49小=C5149C51.49 .2C51.49 .251=49P+21 ( P N)又 251 1(23)17 1= (7+1)17 10 1；7 1 1627l597.7Cl7JCl7.7 =7Q (QN)5151 1 7P7Q 7( PQ)16 17Cl7.7 C5151 1能被7整除50 50C 51 49.251 51 .C51.2 1在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式冋题化归到一 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。