fminX—gmaxX
&设函数fx、gx，对任意的x1存在X2乏C,d】，使得f（x1）=gg），设f（x）
在区间［a,b］上的值域为A，g（x）在区间［c,d］上的值域为B,则A=B.
9、若不等式fxx在区间d上恒成立，则等价于在区间D上函数y=fx和图象在函
数y二gx图象上方;
10、若不等式fx:
gx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y=fx和图象在
函数y二gx图象下方；
恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.
函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：
在给定区间上某关系恒成立；某
函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于a等等…
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函
数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起
到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略
大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。
等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。
（1）两个基本思想解决恒成立问题”
思路1、m_f（x）在D上恒成立二m_[f（x）]max
思路2、m-f（x）在D上恒成立=m_[f（x）]min
如何在区间D上求函数f（x）的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中
频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。
（2）、赋值型一一利用特殊值求解等式恒成立问题
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得•
例1.如果函数y=f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（）.
8
A.1B.-1C2D.-2
HJI
略解：
取x=0及x=——，则f（O）=f（-—即a=-1，故选B.
44
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想•
例（备用）.由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4定义映射f:
（a1,a2,a3,a4）^b）+b2+b3+b4,则f:
（4,3,2,1）宀（）
A.10B.7C.-1D.0
略解：
取x=0，贝Va4=1+b什b2+b3+b4,又a4=1,所以3+b2+b3+b4=0，故选D
（3）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略
1、一次函数型：
若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷
给定一次函数y=f（x）=ax+b（a丰0若y=f（x）在[m,n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
f（m）0
-f（n）0
例2•对于满足|a|^2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：
在不等式中出现了两个字母：
x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个
作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2，2］内关于a的一次函数大于0
恒成立的问题.
解：
原不等式转化为（x-1）a+x2-2x+1>0在|a|乞2时恒成立，
设f（a）=（x-1）a+x2-2x+1,则f（a）在［-2,2］上恒大于0,故有:
•••x<-1或x>3.即x€（—8,—1）U（3,+a）
此类题本质上是利用了一次函数在区间［m,n］上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点
均在x轴上方（或下方）即可.
2、二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。
（1）若二次函数y=ax2+bx+c（a工大于0恒成立，则有a•0且二--0
（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
类型1：
设f（x）=ax2bxc（a=0）在r上恒成立，
（1）f（x）-0在R上恒成立：
二a.0且.「：
：
0;
（2）f（x）:
:
0在R上恒成立=a：
：
：
0且二：
0。
类型2：
设f（x）=ax2bxc（a=0）在区间［-.,订上恒成立'<_-b（1）当a>0时，f（x）>0在x€［a,P］上恒成立二厂石*"或产-~2a~或厂去>
fC）0<0f（-）0
f（x）<0在x€［a,P］上恒成立二」（：
）<0
*（P）C0
（2）当a.0时，f（x）.0在x=［.,-］上恒成立：
…
fO0
f（-）0
2
类型3：
设f（x）=axbx•c（a=0）在区间（-m，:
]上恒成立。
f（x）>0：
=a>0且二<0或-b/2a>:
且f（:
）>0
f（x）<0：
=a<0且K0或-b/2a>:
且f（:
）<0
2
类型4：
设f（x）二axbxc（a=0）在区间［:
■,+m上恒成立
f（x）>0=a>0,.<0或-b/2a<:
且f（:
）>0
f（x）<0=a<0,.<0或-b/2a<:
且f（:
）<0
例3.若函数f（xH（a2-1）x2（a-1）^2[的定义域为R,求实数a的取值范围
222
分析：
该题就转化为被开方数（a2-1）x2-（a-1）x0在R上恒成立问题，并且注
a+1
意对二次项系数的讨论.
解：
依题意，当x•R时，
222
（a-1）x（a-1）x0恒成立，
a+1
a2_1=0
所以，①当a2-1=0,即当｛时，a=1,
an
a2-1a0,
②当
a2十。
时，即当｛-（a_1）2_4（a2_1）丄“时,
a2占1—
2=1：
：
：
a乞9,综上所述，f（x）的定义域为R时，a[1,9]
2-10a9乞0,
例4.已知函数f（x）=x2•ax•3-a，在R上f（x）_0恒成立，求a的取值范围
分析：
y=f（x）的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：
略解：
，二a2-43—a]=a24a-12岂0—6^a^2
变式1：
若1-2,2]时，f（x）_0恒成立，求a的取值范围.
解析一.（零点分布策略）本题可以考虑f（x）的零点分布情况进
行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即
3>0
或/2一，即a的取值范围为[-7,2].f（-2）K0
f
（2）>0
解法二分析：
（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使1-2,21时，f（x）一0恒成
立，只需f（x）的最小值g（a）_0即可.
略解：
（分类讨论）f（x）二x--a3，令f（x）在〔-2,21上的最小值为g（a）.
I2丿4
a7
⑴当2，即a4时，g（a）=f（-2）=7-3a一0.a又：
a4
23
-a不存在.
2
⑵当_2__a乞2，即一4岂a乞4时，g（a）=f（a）=a3_0.-6乞a岂2又
224
:
"-4_a_4-4_a_2
⑶当一弓2，即a：
：
-4时，g（a）二f（2=）7a-•a-一7又;a：
：
-4
2
_7空a：
：
_4
综上所述，-7乞a乞2.
变式2：
若1-2,2]时，f（x）_2恒成立，求a的取值范围.
解法一：
分析：
题目中要证明f（x）_2在丨-2,21上恒成立，若把2移到等号的左边，则把
原题转化成左边二次函数在区间1-2,2]时恒大于等于0的问题•
例2已知f（x）=x2ax3-a，若x・[22],f（x）_0恒成立，求a的取值范围.
略解：
f（x）=x2ax3-a-2_0,即f（x）=x2ax1-a_0在丨-2,21上成立•
综上所述，-5^a^2、2-2.
解法二：
（运用二次函数极值点的分布）
a
⑴当2，即a4时，g（a）二f（一2）=7—3a一2
2
存在•
aaa2
⑵当一22，即一4空a乞4时，g（a）=f（）a，3_2，
224
—2、2—2^a^2i2—2—4空a空2.2—2
a
⑶当一一2，即a：
：
：
-4时，g（a）二f
（2）=7•a_2,
2
a--5•-5-a：
：
：
-4
综上所述一5乞a岂2、2-2.
此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类
讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样
对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5）,而对于二次函数在某
一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，
且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的
最值
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