恒成立与存在性问题的解题策略.docx

1、恒成立与存在性问题的解题策略恒成立问题”与 存在性问题”的基本解题策略一、 恒成立问题”与 存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、 恒成立问题的转化： a f x恒成立=a . f x咧;a _ f x恒成立=a _ f x min2、 能成立问题的转化： a . f x能成立=a . f x min ； a辽f x能成立=a辽f x max3、 恰成立问题的转化：a f x在 M 上恰成立二 a f x的解集为la f x在M上恒成立Mu 一、a (x 在CrM上恒成立另一转化方法：若 X D, f (x) _ A在D上恰成立，等价于f (x)在D上的最小值fmin

2、(x)二A， 若X，D, f(x)乞B在D上恰成立，则等价于 f (x)在D上的最大值fmax(X)二B.4、设函数f x、g x，对任意的X -a , b 1，存在X2 C , d丨，使得f xi _ g X2，则fmin X -gm in X5、设函数f x、g x，对任意的X1 a,bi， 存在X2 e fc, d】，使得代人)兰g(x2 )，则6、设函数f x、g X ，存在 x a , b 1，存在 X2 C, d 1，使得 f X1 - g X2 ，则f m axX gm i nx7、设函数f X、g x ，存在x0，则根据函数的图象(直线) 可得上述结论等价于f (m) 0-f(

3、n) 0例2 对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母： x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在 -2，2内关于a的一次函数大于 0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|乞2时恒成立，设 f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有: x3.即 x (8, 1) U (3,+ a)此类题本质上是利用了一次函数在区间 m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)

4、即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方 法，在今后的解题中自觉运用。(1) 若二次函数 y=ax2+bx+c(a工大于0恒成立，则有 a 0且二-0(2) 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题， 可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1 ：设f (x) = ax2 bx c(a = 0)在r上恒成立，(1) f (x) -0在R 上恒成立：二 a .0且.：0 ;(2) f (x) : 0在R 上恒成立=a：0且二：0。类型2：设f (x) = ax2 bx c(a = 0)在区间-.,订上恒成立 _-b 0时，f(x) 0在

5、xa, P上恒成立二 厂石*或产-2a或厂去fC) 0 0 f( -) 0f (x) 0在xa,P上恒成立二(：)0 ：=a0 且二 :且 f( : )0f(x)0 ：=a :且 f( : )0 =a0, . 0 或-b/2a0f(x)0 =a0, . 0 或-b/2a :且 f( : )0或/ 2 一 ，即a的取值范围为-7, 2. f (-2) K0f (2) 0解法二分析：(运用二次函数极值点的分布分类讨论) 要使1-2,2 1时，f (x) 一 0恒成立，只需f (x)的最小值g(a) _ 0即可.略解：(分类讨论) f(x)二x - -a 3，令f(x)在-2,21上的最小值为g(a

6、).I 2丿4a 7当 2，即 a 4时，g(a) = f(-2) =7-3a 一0 . a 又：a 42 3-a不存在.2当 _2 _ _a 乞 2，即 一4 岂 a 乞 4 时，g(a) = f (a ) = a 3_ 0 . - 6 乞 a 岂 2 又2 2 4:-4_a_4 -4_a_2当一弓 2，即 a ： -4 时，g( a)二 f ( 2=) 7a - a - 一7 又;a ： -42_ 7 空 a ： _4综上所述，-7乞a乞2.变式2：若1-2,2 时，f (x) _ 2恒成立，求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证明 f(x) _2在丨-2,2 1上恒成立，若把2移到等号

7、的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间 1-2,2 时恒大于等于0的问题例2 已知f (x) =x2 ax 3 -a，若x22, f (x) _0恒成立，求a的取值范围.略解：f (x) = x2 ax 3 - a - 2 _ 0 ,即 f (x) = x2 ax 1 - a _ 0在丨-2,2 1 上成立综上所述，-5a2、2 -2.解法二：(运用二次函数极值点的分布)a当 2，即 a 4时，g(a)二 f (一2) =73a 一22存在a a a2当 一2 2，即 一4 空 a 乞4 时，g(a)=f( ) a，3_2，2 2 42、22a2i22 4 空 a 空 2.22a当一一 2，即 a ： -4时，g(a)二 f (2) =7 a _2 ,2a - -5 - 5 - a ： -4综上所述一5乞a岂2、2 -2.此题属于含参数二次函数， 求最值时，对于轴变区间定的情形， 对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样对于二次函数在 R上恒成立问题往往采用判别式法(如例 4、例5),而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边， 则可将恒成立问题转化成函数的最值