运筹学课件例题集锦.docx
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运筹学课件例题集锦
1.1线性规划标准型
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
am1x1+am2x2+….+amnxn=bmx1,x2….xn≥0
用两个变量的差值代替无约束变量，左边加一个变量将＜变=，左边减一个变量将＞变=。
目标函数左边乘-1将minZ变maxZ
1用对偶单纯形法解下列线性规划问题
minS=x1+4x2+3x4
s.t.x1+2x2-x3+x4≥3
-2x1-x2+4x3+x4≥2
x1，x2，x3，x4≥0
解：
此题可用人工变量方法求，但也可用对偶单纯形法。
maxS’=-x1-4x2-3x4
s.t.-x1-2x2+x3-x4+x5=-32x1+x2-4x3-x4+x6=-2
x1，x2，x3，x4，x5，x6≥0
Cj
-1
-4
0
-3
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0
x5
-1
-2
1
-1
1
0
-3
0
x6
2
1
4
-1
0
1
-2
σ
-1
-4
0
-3
0
0
0
常数项是负数且最小，确定出基变量x5。
用出基变量x5行的所有负数分别去除对应的检验数，最小值对应的为进基变量x1，交叉元素为主元（-1）主元运算：
第一行乘（-1）【提示:
表格同上，x5行对应数字乘-1，这里不抄】
主元运算：
第二行加上第一行乘（-2）【提示：
是对应第二张表的，继续画出表3】
计算检验数确定出基变量X6确定进基变量X3，主元（-2）
Cj
-1
-4
0
-3
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0
x1
1
2
1
1
-1
0
3
0
x6
0
-3
-2
-3
2
1
-8
σ
0
-2
-1
-2
-1
0
-3
主元运算：
第一行加第二行乘（-1/2）【根据上表继续画表5，σ行不填】
计算检验数：
全为非正。
但此时常数b已全大于零，最优解=（7，0，4，0）
最优值S’=-7S=7
Cj
-1
-4
0
-3
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
-1
x1
1
7/2
0
1
-2
-1/2
7
0
x3
0
3/2
1
-3
-1
-1/2
4
σ
0
-1/2
0
-1/2
-2
-1/2
-7
2用对偶单纯形法解下列线性规划问题
minS=x1+2x2
s.t.-x1+2x2-x3≥1-x1-2x2+x3≥6x1，x2，x3≥0
解：
将原问题化成maxS’=-x1-2x2
s.t.x1-2x2+x3+x4=-1x1+2x2-x3+x5=-6x1,x2,x3,x4,x5≥0
Cj
-1
-2
0
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
b
0
X4
1
-2
1
1
0
-1
0
X5
1
2
-1
0
1
-6
σ
-1
-2
0
0
0
0
常数项最小出基变量X5，按比值无法比较。
常数项次小出基变量X4，按比值X2为进基变量。
主元（-2）
主元运算：
第一行乘（-1/2）【提示：
表格同上X4行对应数字乘-1/2，画出表格2】
主元运算：
第二行加第一行乘（-2）【提示：
是对表2而言的，画出表3】
常数项为负数的行元素全大于零，原问题无可行解。
3某地区在制定十年电力规划
设置决策变量设备选方案1，2，3的装机台数分别为x1、x2、x3，它们的年发电量分别为x6、x7、x8亿度，备选方案1无前期土建工程要求，备选方案2和3都需要前期土建工程，这两个前期土建工程是否施工用变量x4、x5代表。
则x1取值0-5之间的整数，x2、x3取值0-4之间的整数，x4、x5只能取0或1，x6、x7、x8大于零。
约束方程满足装机容量需求约束：
10x1+25x2+30x3≥180
满足规划年发电量需求约束：
x6+x7+x8≥100
各电站容量与发电量平衡方程：
每台机组发电量等于单机容量乘全年小时数，再乘与负荷因子，换算亿度量纲，即：
方案1：
x6=（0.66×8760×10/10000）×x1
方案2：
x7=（0.4×8760×25/10000）×x2
得三个约束方程：
5.782x1-x6=08.76x2-x7=018.39x3-x8=0
每个方案最多的装机台数约束：
方案1：
不需前期土建工程；x1≤5
方案2：
前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数；x2≤4x4
方案3：
前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数；x3≤4x5
变量取值限制x1、x2、x3≥0且整数x6、x7、x8≥0x4或x5=1前期土建工程要求
x4或x5=0无前期土建工程要求
设计目标函数目标函数：
年成本费用最低。
成本包括两大部分：
可变成本：
与发电量有关的成本，如：
原材料，燃料，动力和活劳动消耗等。
即参数表中年运行成本。
不变成本：
指与装机容量及前期土建投资有关的成本。
方案1：
单机投资×回收因子=21×0.103=2.163（百万元）
方案2：
单机投资×回收因子=70×0.0578=4.046（百万元）
方案3：
单机投资×回收因子=65×0.103=6.695（百万元）
方案2和3的前期土建投资的年资本回收成本分别为504×0.0578=29.131（百万元）
240×0.103=24.72（百万元）
对方案1，2，3每发一亿度电的运行成本分别为4.11,2.28,3.65百万元。
则数学模型如下：
MinZ=2.163x1+4.046x2+6.695x3+29.131x4+24.72x5+4.11x6+2.28x7+3.65x8
s.t.10x1+25x2+30x3≥180x6+x7+x8≥100
4某石油公司四厂七售区
炼油厂
1
2
3
4
日产量
35
25
15
40
销售区
1
2
3
4
5
6
7
日最大售量
25
20
10
25
10
15
10
解：
平衡问题，用最小元素法求初始方案。
计算检验数。
闭合回路。
最优方案如下，最小运费=元有非基变量的检验数=0，有无穷多组解，另外一个解如下：
5铁路列车编组站
M/M/1/∞/∞排队问题。
其中λ=2，μ=3，ρ=λ/μ=2/3<1系统中列车的平均数
Ls=ρ/（1-ρ）=（2/3）/（1-2/3）=2（列）
列车在系统中的平均停留时间Ws=Ls/λ=2/2=1（小时）系统中等待编组的列车平均数Lq=Ls-ρ=2-2/3=4/3（列）列车在系统中的平均等待编组时间Wq=Lq/λ=（4/3）/（1/2）
=2/3（小时）记列车平均延误（由于站内
2股道均被占用而不能进站）时间为W0
则W0=WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}=
W{1-（l-ρ）-（l-ρ）ρ1-（l-ρ）ρ2}
=1*ρ3=ρ3=（2/3）3=0.296（小时）
故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24λW0a=24*2*0.296*a=14.2a元
6某修理店只有一位修理工
解：
M/M/1/∞/∞排队问题.其中λ=4，
μ=1/0.1=10（人/小时），ρ=λ/μ=2/5<1
修理店内空闲的概率P0=1-ρ=（1-2/5）=0.6
店内恰有3个顾客的概率
P3=ρ3（1-ρ）=（2/5）3（1-2/5）=0.038
店内至少有1位顾客的概率P{N≥1}
=1-P0=1-（1-ρ）=ρ=2/5=0.4在店内平均顾客数L=ρ/（1-ρ）=（2/5）/（1-2/5）=0.67（人）每位顾客在店内平均逗留时间W=L/λ=0.67/4=10分钟等待服务的平均顾客数Lq
=L-ρ=0.67-2/5=0.27（人）
每个顾客平均等待服务时间Wq=Lq/λ=0.27/4=0.0675小时=4分
7某单人理发店有6个椅子
N=7为系统中最大的顾客数，λ=3人/小时，μ=4人/小时
1）、某顾客一到达就能理发的概率相当于理发店内无顾客的概率：
P0=（1-ρ）/1-ρN+1=［1-（3/4）］/［1-（3/4）7+1］=0.2778
2）、需要等待的顾客数的期望值？
LS=（ρ/1-ρ）-［（N+1）ρN+1］/（1-ρN+1）
=［（3/4）/1-（3/4）］-［8×（3/4）8］/［1-（3/4）8］=2.11
Lq=Ls-（1-P0）=2.11-（1-0.2778）=1.39（人）
3）、求有效到达率？
λe=μ（1-P0）=
4（1-0.2778）=2.89（人/小时）
4）、求一顾客在理发馆内逗留的期望时间？
Ws=Ls/λe=2.11/2.89=0.73（小时）=43.8（分钟）
5）、在可能来的顾客中不等待就离开的概率就是求系统中有7个顾客的概率：
P7=［（1-ρ）ρn]/[1-ρN+1]=
[（1-0.75）0.757]/[1-0.758]=3.7%
8某车间有5台机器
解：
m=5,λ=1/15，μ=1/12,ρ=λ/μ=0.8
1）、P0=[0.80×5!
/5!
+0.81×5!
/4!
+0.82×5!
/3!
+0.83×5!
/2!
+0.84×5!
/1!
+0.85×5!
/0!
]-1
=1/136.8=0.0073
2）、P5=0.85×5!
/0!
×P0=0.2873）、Ls=5-（1/0.8）×（1-0.0073）=3.76（台）
4）、Lq=3.76-（1-0.0073）=2.77（台）5）、Ws=[5/（1/12）（1-0.0073）]-15=46（分钟）
6）、Wq=46-12=34（分钟）
7）、机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间，应当提高服务效率，减少修理时间或增加修理工人。
9某售票处有三个窗口
解：
这是一个M/M/c/∞/∞型排队问题。
其中c=3,λ/μ=0.9/0.4=2.25,ρ=λ/cμ=0.75＜1
1）、整个售票处空闲的概率？
P0=[（2.25）0/0!
+（2.25）1/1!
+（2.25）2/2!
+（2.25）3/3!
×1/（1-0.75）]-1=0.07482）、平均队长？
lq={[（2.25）3×0.75]/[3!
（1-0.75）2]}×0.0748=1.7
Ls=1.7+2.25=3.953）、平均等待时间和逗留时间？
Wq=1.7/0.9=1.89（分钟）;Ws=3.95/0.9=4,394）、顾客必须等待的概率？
P（n≥3）=P（1-P0-P1-P2）
=1-0.0748-[1×（2.25）1×0.0748]/1!
-1×（2.25）2×0.0748]/2!
=1-0.0748-0.1683-0.1893=0.5676
10两个修理工人5台机器
解：
根据题意，m=5,λ=1（次/小时），μ=4（台/小时）c=2,ρ=mλ/cμ=5/8=0.625,cρ/m=0.25
P0=（1/5!
）[（1/5!
）（1/4）0+（1/4!
）（1/4）1+（1/2!
3!
）（1/4）2+（22/2!
）（1/2!
）（1/8）3+（1/8）4+（1/8）5］-1=0.315P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018,P5=0.002
1）、Lq=P3+2P4+3P5=0.1182）、Ls=P1+2P2+3P3+4P4+5P5=1.092
3）λe=1×（5-1.092）=3.9084）Wq=0.118/3.908=0.03（小时）5）Ws=1.092/3.908=0.28小时
11某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录
（1）算出每小时病人平均到达率=∑nfn/100=2.1（人/小时）
每次手术平均时间=∑vfv/100=0.4（小时/人）每小时完成手术人数=1/0.4=2.5（人/小时）
（2）取λ=2.1μ=2.5。
可认为病人到达服从泊松分布，手术时间服从负指数分布。
（3）ρ=λ/μ=2.1/2.5=0.84说明服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的，16%空闲
（4）病房中病人数Ls=2.1/（2.5-2.1）=5.25（人）
排队等待病人数Lq=0.84×5.25=4.41（人）病人逗留时间Ws=1/（2.5-2.1）=2.5（小时）
病人排队等待时间Wq=0.84/（2.5-2.1）=2.1（小时）
12目标规划某人有一笔50万元的资金可用于长期投资
解：
设xi为第I种投资方式在总投资额中的比例，则模型如下：
MaxZ=11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7
s.t.3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6≤511x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7≥13
x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x6≤415x2+30x3+20x4+5x5+10x6≥10
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
整数规划整数规划的一般数学模型:
max（min）Z=Σcjxjs.t.Σaijxj≤bi（i=1,2,…m）
xj≥0且部分或全部是整数
13登山准备
序号
1
2
3
4
5
6
7
物品
食品
氧气
冰镐
绳索
帐篷
相机
设备
重量
5
5
2
6
12
2
4
重要系数
20
15
18
14
8
4
10
解：
令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品则问题表示成0-1规划:
maxZ=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25xi=1或xi=0i=1,2,….7
14某机械化施工公司
解：
设每天安排WY50、WY75、WY100液压挖掘机和5t、8t、15t自卸汽车各是X1、X2、X3、X4、X5、X6台，则根据题意建立整数规划模型为：
MinZ=880X1+1060X2+1420X3+318X4+458X5+726X6
S.t401X1+549X2+692X3≥98028X4+45X5+68X6≥980
28X4+45X5+68X6≥401X1+549X2+692X3
X1≤4X2≤2X3≤1X4≤10X5≤20X6≤10Xj≥0,且为整数。
15某种农作物在生长
解：
假设用甲、乙、丙、丁为X1、X2、X3、X4公斤。
数学模型为：
minS=4x1+15x2+10x3+13x4
s.t.0.03x1+0.3x2+0.15x4≥330.05x1+0.2x3+0.1x4≥240.14x1+0.07x4≥24
x1，x2，x3，x4≥0将模型化为：
maxS=-4x1-15x2-10x3-13x4
-0.03x1-0.3x2-0.15x4+x5=-33-0.05x1-0.2x3-0.1x4+x6=-24
-0.14x1-0.07x4+x7=-24x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
初始可行基B1=（P5，P6，P7）
Cj
-4
-15
-10
-13
0
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
0
x5
-0.03
-0.3
0
-0.15
1
0
0
-33
0
x6
-0.05
0
-0.2
-0.10
0
1
0
-24
0
x7
-0.14
0
0
-0.07
0
0
1
-42
σ
-4
-15
-10
-13
0
0
0
0
第三行乘以1/（-0.14）【提示：
根据上表，x7对应行乘那个数字，画出表2】
第一行加上第三行乘（0.03）【提示：
对表2而言的，是变第一行，第三行同表2.画表3】
第二行加上第三行乘（0.05）【提示：
对表3而言的，是变第二行，第三行同表3.画表4】
第一行除（-0.3）计算检验数
Cj
-4
-15
-10
-13
0
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
-15
x2
0
1
0
0.45
-3.33
0
0.7
80
0
x6
0
0
-0.2
-0.075
0
1
-0.36
-9
-4
x1
1
0
0
0.5
0
0
-7.14
300
σ
0
0
-10
-4.25
-49.95
0
-18.06
-2400
第二行除以（-0.2）
Cj
-4
-15
-10
-13
0
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
b
-15
x2
0
1
0
0.45
-3.33
0
0.7
80
0
x6
0
0
1
0.375
0
-5
1.8
45
-4
x1
1
0
0
0.5
0
0
-7.14
300
σ
-2850
最优解（300，80，45）最优值S’=-2850S=2850
16设有街道图，求他的最优投递路线。
有四个奇顶点配成两对v2v4，v6v8
（1）任取v2v4通路v2v1v8v7v6v5v4任取v8v6通路v8v1v2v3v4v5v6
将通路上的边各重复一次，无奇顶点是欧拉图，有第一个可行方案
重复边总长为=51
（2）调整可行方案：
有二条重复边的去了。
重复边总长为=21，检查图中圈：
总权=24重复边长=14大于24/2
（3）去了原重复边，添上原没有的重复边，重复边总长=17，检查图中圈：
总权=24，
圈上重复边长=13大于24/2（4）去了原重复边，添上原没有的重复边
重复边总长=15，得最优方案
17一个工厂要将产品送到火车站
解
（1）将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短
增流路v0v1v3v4vn，路长为8，可增加1单位的流值。
（2）再求v0到vn的最短增流路v0v1v4vn，路长为9，可增加2单位的流值。
（3）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v1v4vn，
路长为14，可增加1单位的流值。
（4）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v5vn，路长为18，可增加2单位的流值。
最大流为8，最小运费=3×3+5×4+3×4+1×1+3×2+2×2+2×9+4×2+4×3=90
18一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若不允许缺货
解:
R=6000台/月，c3=1200元，c1=0.10元/月,k=20元。
19一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若允许缺货
解：
R=6000台/月,c3=1200元,k=20元,c1=0.10元/月,c2=1元/只。
、
20某店拟出售甲商品
解：
该站的缺货损失每单位商品为70-50=20。
滞销损失每单位商品50-40=10，故k=20，h=10
·
21设某公司利用塑料作原料制成产品出售
解：
1、计算临界值N=（C2-K）/（C1+C2）=（1015-800）/（1015+40）=0.204
2、选使不等式成立的Si最小值作S
3、原存储I=10，订货量Q=S-I=40-10=30
4、求s。
由于已算出S=40，可以作为s的r值只有30或40两个值。
将30作为s得：
800×30+1015×［（40-30）×0.2+（50-30）×0.4+（60-30）×0.2］=40240
将40作为s值，得：
60+800×40+40×［（40-30）×0.2］+1015×［（50-40）×0.4+（60-40）×0.2］=40260
即左端数值为40240，右端数值为40260，不等式成立，30已是r的最小值，故s=30.
故存储策略为：
每个阶段开始时检查存储量I，当I＞30箱时不必补充存储。
当I≤30箱时补充存储量达到40箱。
22木器厂有六个车间，办事员经常要到各个车间了解生产进度。
最短路
23有一批货物要从v1运到v9求最短运输路线
24企业要制定一台重要设备更新的五年计划目标是使总费用最小
解：
用点vi表示年初。
（i=1,2,…6），v6表示第五年底。
弧aij=（vi，vj）表示第i年初购置设备使用到第j年初的过程。
对应的权期间发生的购置费用和维修费用之和。
原问题转变为从v1到v6的一条最短路。
得到两条最短路（v1,v3,v6）（v1,v4,v6）
表示在第一、三年或第一、四年各购置一台设备，总费用都为53万元。
25已知一个地区的交通网络如下，医院。
。
。
平均路程最短
解：
这是一个选择地址问题，实际要求出图的中心，可化成一系列求最短路问题。
先求出v1到其他各点的最短路长dj，令d（v1）=max（d1,d2…d7），表示若医院建在v1，则离医院最远的小区距离为d（v1）依次计算v2，v3….v7到其余各点的最短路，类似求出d（v2）d（v3）….d（v7），d（vi）中（I=1，2…7）中最小者。
求出各个小区到区中心医院的平均路程的最小者？
由于d（v6）=48最小，，此时离医院最远小区距离为48，比医院建在其他小区时距离都短。
同时将区医院建在v6，平均路程为23.71，比医院建在其他小区时距离都短，所以医院应建在v6。
26网络中最大流
解：
（1）增流路：
v0v3v1v2vn增流值=2
（2）增流路：
v0v2vn增流值=4f=6
（3）增流路：
v0v1v2v4vn增流值=4（4）增流路：
v0v3vn增流值=3f=13
（5）增流路：
v0v1v5v4vn增流值=3（6）增流路：
v0v1v3v4vn增流值
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