浅谈矩阵的一些形式论文定稿版.docx

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浅谈矩阵的一些形式论文定稿版

JISHOUUNIVERSITY

本科生毕业论文

题目：

浅谈矩阵的一些形式

作者：

武敏

学号：

20084041013

所属学院：

数学与统计学院

专业年级：

2008级数学与应用数学

指导教师：

莫宏敏职称：

副教授

完成时间：

2012年5月14日

吉首大学教务处制

独创性声明

本人郑重声明：

所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的

研究成果•除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明•本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担•

论文题目：

浅谈矩阵的一些形式

作者签名：

日期：

年月日

论文版权使用授权书

本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即:

学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文•同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容•

（保密的学位论文在解密后应遵守此协议）

论文题目：

浅谈矩阵的一些形式

学生签名：

日期：

年月日

摘要I

AbstractII

1绪论1

2知识点2

3矩阵的一些形式4

3.1单位方阵4

3.2特殊方阵5

3.3逆矩阵6

3.4矩阵的转置7

3.5对称矩阵7

3.6共轭矩阵8

3.7厄米特矩阵9

3.8直和9

4矩阵的实际应用11

参考文献16

浅谈矩阵的一些形式

矩阵是数学中一个重要的概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用中的一个重要工具•矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过半个多世纪的发展，现在已经成为独立的一门数学分支一一矩阵论.矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理学、科技等方面都十分广泛的应用.为此，本文较为系统的总结了矩阵的一些形式，如单位方阵、特殊方阵、逆矩阵和矩阵的实际应用等以进一步提高对矩阵的学习和把握.

关键词：

方阵;逆转;转置;对称;共轭;直和

Discussiononsomeformofmatrix

Abstract

Matrixmathematicsisanimportantconcept,isthealgebraisoneofthemainresearchobjects,researchandapplicationofmathematicsisanimportanttool.Thematrixitselfhaspropertiesdependentonthepropertiesoftheelements,matrixbyinitiallyasatoolaftermorethanhalfacenturyofdevelopment,hasnowbecomeanindependentbranchofMathematics--matrixtheory.Theapplicationofmatrixinmanyaspects,notonlyinmathematics,physics,mechanics,butalsointherespectsuchasscieneeandtechnologyhasverybroadapplication.Therefore,thisarticlesystematicallysummarizesthematrixofsomeforms,suchastheunitsquare,specialmatrixandthematrixofthereversalofthematrixtofurtherimprovethelearningandunderstanding.

Keywords：

Asquarematrix；Inversematrix；Transpose；Symmetric；Conjugate;Straightand

1绪论

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明的这个术语•而现在矩阵已由一种工具发展成为了一门数学分支一一矩阵论•而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.实际生活中制作表格、魔方和工业控制系统等当中无处不充实着矩阵的力量和魅力•本文主要总结了矩阵的几类主要形式，单位方阵，特殊方阵，逆矩阵，矩阵的转置，对称矩阵，共轭矩阵，直和，以及矩阵的现实应用价值以促进对矩阵相关知识的提高掌握.

2知识点

定义2.1由mn个数aq•K（i=1,2,…，m,j=1,2,…，n）排成

的m行、n列的长方形表

a11a12…ain

a21a22a2n

ia+a

am1am2■amn

称为数域K上的一个mn矩阵.其中的ay称为这个矩阵的元•两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等.

定义2.2设A=aij是一个mn矩阵.定义A的转置矩阵A为一个nm矩阵，它的

j,i元即

a"a?

1a“1

ta12a22…am2

A=:

:

.a1na2n…amn_

从定义可以看出转置矩阵就是把原矩阵的行列对调而得到的矩阵.上（或下）三角形矩

阵的转置矩阵是下（或上）三角形矩阵.

定义2.3对矩阵A的行施行以下3种类型的变换：

1.把矩阵的某一行乘一个数后加到另一行上；

2.交换矩阵的两个行；

3.用一个非零数乘矩阵的某一行：

称为矩阵的初等行变换。

类似地，对矩阵的列施行的相同类型的变换：

1.把矩阵的某一列乘一个数后加到另一列上；

2.交换矩阵的两个列；

3.用一个非零数乘矩阵的某一列：

称为矩阵的初等列变换.显然，对矩阵A施行初等行（或列）变换相当于对转置矩阵At

施行相应的初等列（或行）变换.

定义2.4设A为n阶方阵，若数■和非零向量x满足

Ax-x

则称■为A的特征值，x为A的对应于特征值的特征向量.

定义2.5若A与B两个方阵，使得AB=BA，则称A与B为可交换矩阵或谓之交换。

若A是任何一个n阶方阵，则可以很简单证明A与本身以及丨n是可交换的.两可逆矩阵乘积的逆矩阵为其个别逆矩阵反方向的乘积.

若矩阵A2=l，即称A为对合矩阵，例如，单位方阵即为一对合矩阵•一对合矩阵为其本身的逆矩阵.

定义2.6两矩阵的和的转置为此二矩阵转置后之和，亦即

I

（A+B）=A'+B'

与两矩阵乘积的转置为此两矩阵转置后的反顺序乘积.即为

AB=B'A'

定义2.7两矩阵之和的共轭为该二矩阵共轭之和，亦即AB二

两矩阵之积的共轭为该二矩阵共轭的同方向乘积，亦即^AB=AB.共轭矩阵A的转置写为A'（A共轭转置），有时也可写成A*.我们可得共轭矩阵A的转置等于其转置矩阵的共轭，亦即AA'.

定义2.8如果A为一n阶方阵，则Aa'为厄米特矩阵，并且A-A为反厄米特矩阵.由此定义我们可得每一带有复数元素的方阵A可写作厄米特矩阵B二；A，a'及反厄米特矩阵CA-a'之和.

定义2.9如果A=diag（a，A2,…，As）与B=diag（Bi,B2,…，Bs）其中A与Bi的阶均相同（对于所有的i=1,2，”，s）则AB=diag（aA2B2,…，AsBs）.

3矩阵的一些形式

3.1单位方阵

an

a12…

a1n

0

a22…

a2n

……

…

.0

0…

ann

an

0…

01

a21

a22…

0

…

・

0n1

an2…

ann一

为上三角，而

为下三角.

D=diag（ai1,a22,a33,ann）

步假设k=1，则此矩阵称为单位方阵，常以In表示.

例如

当单位矩阵的阶明显或不重要时则只以I表示之.很明显地，|nTJ……共有P

项时，其和为p柿二diag（p,p,p,…，p）且|p=II共乘以p次，其乘积则仍为I.

123

单位方阵与整数1有一些相同的性质•例如，若A=|，则

〔456一

I2A=A|3=|2A|3二A.

3.2特殊方阵

若A与B两个方阵，使得AB二BA，则称A与B为可交换矩阵或谓之交换.若A是任何一个n阶方阵，则可以很简单证明A与本身以及|n是可交换的.

若A与B之关系为A^-BA，贝U矩阵A与B称为反交换.

若矩阵A=Ak1，其中k为正整数，则称A为周期矩阵，此时，若k=1，即A2二A则

故其为等幕方阵

则称A为指数p的零幕方阵.

一1

1

1

31

一0

0

01

证明a2=

5

2

6

5

2

6

=

3

3

9

-2

_1

_3_

—2

-1

_3_

-1

-1

_3一

且

故得证.

3.3逆矩阵

如果A和B为两个方阵，并且AB二BA=I则B称为A的逆转，我们可写成B=a」

（B等于A的逆矩阵）.矩阵B亦有一逆矩阵A写成A=bJ.

124-1

一个矩阵的逆矩阵•但并非每一个方阵均有逆矩阵，在此我们可以证明如果A有一逆矩阵，则该逆矩阵也是唯一的.

例3.32令A,B，C为三个方阵，并且AB=1及CA=1，则CAB=CAB，于是B=C，

因此，B=C=A」为矩阵A的唯一逆矩阵.

如果A与B为同阶之方阵，且它们的逆矩阵分别为A」与B_1，则AB’二B’A，，亦即两有逆矩阵的矩阵的乘积的逆矩阵为其个别逆矩阵反方向的乘积

例3.33证明：

AB'二

a_4

由定义ABAB二ABABI.故

AB二B」A’AB二B，IB二B，B=l

并且ABB4AJ二ABB，A」二AA」=I

由例3.33知AB'为唯一的；因此AB'二B’".

若矩阵A2"，即称A为对合矩阵，例如，单位方阵亦为一对合矩阵•一对合矩阵为其本身的逆矩阵.

例3.34证明：

若且若I-AIA=0，则矩阵A为对合.

证明假设I-AIA=I-A^0因此A2=I故A为对合.

假设A为对合；则A2=1故I-AI•Ai=l-A2".

3.4矩阵的转置

将一nm矩阵A的列与行互相调换而成的mn矩阵，称为A的转置，写成A（A

转置）

注意，在A矩阵的第i列第j行的元素aij，转置后则为A的第j列第i行的元素•如果A和b'分别为A与B的转置矩阵，且k为一纯量，我们立即可得

'I

（a）（a）=A与（b）（kA）=kA

进而可得两矩阵的和的转置为此二矩阵转置后的和，亦即

I（A+B）=A'+B'

两矩阵乘积的转置为此两矩阵转置后的反顺序乘积.

亦即

AB'=B'A'

例3.42证明：

（A+B）=A'+B'.

证明令A=Lij与B=bj】，我们只须分别检视A，b'与（a+B）'的第i