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1、浅谈矩阵的一些形式论文定稿版JISHOU UNIVERSITY本科生毕业论文题 目： 浅谈矩阵的一些形式 作 者： 武 敏 学 号： 20084041013 所属学院： 数学与统计学院 专业年级： 2008级数学与应用数学 指导教师： 莫宏敏 职称： 副教授完成时间： 2012年5月14日吉首大学教务处制独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担论文题目：浅谈

2、矩阵的一些形式作者签名：日期： 年 月 日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、 使用学位论文的规定，即:学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发 表、传播学位论文的全部或部分内容（保密的学位论文在解密后应遵守此协议 ）论文题目：浅谈矩阵的一些形式学生签名：日期： 年 月 日摘要 IAbstract II1绪论 12知识点 23矩阵的一些形式 43.1 单位方阵 43.2特殊方阵 53.3逆矩阵 63.4矩阵的转置 73.5对称矩阵 73.6 共轭矩阵 83.7厄米特矩阵

3、 93.8直和 94矩阵的实际应用 11参考文献 16浅谈矩阵的一些形式矩阵是数学中一个重要的概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和 应用中的一个重要工具矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质， 矩阵由最初作为一 种工具经过半个多世纪的发展，现在已经成为独立的一门数学分支一一矩阵论.矩阵的 应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理学、科技等方面都十分广泛 的应用.为此，本文较为系统的总结了矩阵的一些形式，如单位方阵、特殊方阵、逆矩 阵和矩阵的实际应用等以进一步提高对矩阵的学习和把握 .关键词：方阵;逆转;转置;对称;共轭;直和Discussion on some form o

4、f matrixAbstractMatrix mathematics is an important concept, is the algebra is one of the main research objects, research and applicati on of mathematics is an importa nt tool. The matrix itself has properties dependent on the properties of the elements, matrix by initially as a tool after more than

5、half a century of developme nt, has now become an in depe ndent branch of Mathematics - matrix theory. The application of matrix in many aspects,not only in mathematics, physics, mecha ni cs, but also in the respect such as scie nee and tech no logy has very broad application. Therefore, this articl

6、e systematically summarizes the matrix of some forms, such as the unit square, special matrix and the matrix of the reversal of the matrix to further improve the learning and understanding.Key words： A square matrix ； Inverse matrix ； Transpose ； Symmetric ； Conjugate ; Straight and1 绪论“矩阵”这个词是由西尔维斯

7、特首先使用的，他是为了将数字的矩形 阵列区别于行列式而发明的这个术语而现在矩阵已由一种工具发展成为 了一门数学分支一一矩阵论而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和 广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.实际生活中制作表格、魔方和工业控制系 统等当中无处不充实着矩阵的力量和魅力 本文主要总结了矩阵的几类主 要形式，单位方阵，特殊方阵，逆矩阵，矩阵的转置，对称矩阵，共轭矩 阵，直和，以及矩阵的现实应用价值以促进对矩阵相关知识的提高掌握 .2知识点定义 2.1 由 m n个数 aq K （ i =1, 2,，m , j =1, 2,，n）排成的m行、n列的长方形表a11 a12 aina21 a22 a2

8、ni a + aam1 am2 amn称为数域K上的一个m n矩阵.其中的ay称为这个矩阵的元两个矩阵相等就是它们 对应位置的元全相等.定义2.2设A= aij是一个m n矩阵.定义A的转置矩阵A为一个n m矩阵，它的j,i元即a a?1 a“1t a12 a22 am2A = : :.a1n a2n amn _从定义可以看出转置矩阵就是把原矩阵的行列对调而得到的矩阵 .上（或下）三角形矩阵的转置矩阵是下（或上）三角形矩阵.定义2.3对矩阵A的行施行以下3种类型的变换：1.把矩阵的某一行乘一个数后加到另一行上；2.交换矩阵的两个行；3.用一个非零数乘矩阵的某一行：称为矩阵的初等行变换。类似地，

9、对矩阵的列施行的相同类型的变换：1.把矩阵的某一列乘一个数后加到另一列上；2.交换矩阵的两个列；3.用一个非零数乘矩阵的某一列：称为矩阵的初等列变换.显然，对矩阵A施行初等行（或列）变换相当于对转置矩阵At施行相应的初等列（或行）变换.定义2.4设A为n阶方阵，若数和非零向量x满足Ax - x则称为A的特征值，x为A的对应于特征值的特征向量.定义2.5若A与B两个方阵，使得AB =BA，则称A与B为可交换矩阵或谓之交换。若A是任何一个n阶方阵，则可以很简单证明A与本身以及丨n是可交换的. 两可逆矩阵乘积的逆矩阵为其个别逆矩阵反方向的乘积 .若矩阵A2 = l，即称A为对合矩阵，例如，单位方阵即

10、为一对合矩阵一对合矩阵 为其本身的逆矩阵.定义2.6两矩阵的和的转置为此二矩阵转置后之和，亦即I（A + B ） = A+B与两矩阵乘积的转置为此两矩阵转置后的反顺序乘积.即为AB = B A定义2.7两矩阵之和的共轭为该二矩阵共轭之和，亦即 A B二两矩阵之积的共轭为该二矩阵共轭的同方向乘积， 亦即AB = A B.共轭矩阵 A的转置写为A（ A共轭转置），有时也可写成A*.我们可得共轭矩阵A的转置等于其 转置矩阵的共轭，亦即 A A.定义2.8如果A为一 n阶方阵，则A a为厄米特矩阵，并且A - A为反厄米特矩阵. 由此定义我们可得每一带有复数元素的方阵 A可写作厄米特矩阵B二；A，a及

11、反厄 米特矩阵C A - a之和.定义2.9如果A =diag （a，A2,，As）与B =diag（Bi, B2,，Bs）其中A与Bi的阶均相同 （对于所有的 i=1,2，”， s ）则 AB =diag （a A2B2,，AsBs）.3 矩阵的一些形式3.1单位方阵ana12 a1n0a22 a2n .00 annan0 01a21a22 0 0n1an2 ann 一为上三角，而为下三角.D =diag (ai 1 , a22 , a33,ann)步假设k=1，则此矩阵称为单位方阵，常以I n表示.例如当单位矩阵的阶明显或不重要时则只以I表示之.很明显地，|n TJ共有P项时，其和为p柿二

12、diag(p, p, p,，p)且|p = I I 共乘以p次，其乘积则仍为I .12 3单位方阵与整数1有一些相同的性质例如，若A= | ，则4 5 6一I 2 A=A |3=|2A|3 二 A.3.2特殊方阵若A与B两个方阵，使得AB二BA，则称A与B为可交换矩阵或谓之交换.若A是 任何一个n阶方阵，则可以很简单证明 A与本身以及|n是可交换的.若A与B之关系为A -BA，贝U矩阵A与B称为反交换.若矩阵A = Ak 1，其中k为正整数，则称A为周期矩阵，此时，若k=1，即A2二A则故其为等幕方阵则称A为指数p的零幕方阵.一1113 1一0001证明 a2 =526526=339-2_1_

13、3_2-1_3_-1-1_3 一且故得证.3.3逆矩阵如果A和B为两个方阵，并且AB二BA=I则B称为A的逆转，我们可写成B=a（B等于A的逆矩阵）.矩阵B亦有一逆矩阵A写成A=bJ.12 4-1一个矩阵的逆矩阵但并非每一个方阵均有逆矩阵，在此我们可以证明如果A有一逆矩 阵，则该逆矩阵也是唯一的.例3.32令A , B，C为三个方阵，并且AB =1及CA = 1，则CA B =C AB，于是B =C，因此，B = C = A为矩阵A的唯一逆矩阵.如果A与B为同阶之方阵，且它们的逆矩阵分别为A与B_1，则AB二BA， 亦即两有逆矩阵的矩阵的乘积的逆矩阵为其个别逆矩阵反方向的乘积例 3.33 证明

14、：AB 二a _4由定义AB AB二AB AB I .故AB 二BAA B 二 B，I B 二 B，B = l并且 AB B4AJ 二 A B B，A二 AA=I由例3.33知AB 为唯一的；因此 AB 二B.若矩阵A2，即称A为对合矩阵，例如，单位方阵亦为一对合矩阵一对合矩阵 为其本身的逆矩阵.例3.34 证明：若且若I -A I A =0，则矩阵A为对合.证明 假设I - A I A = I - A 0因此A2 = I故A为对合.假设A为对合；则A2 =1故I - A I Ai=l - A2.3.4矩阵的转置将一 n m矩阵A的列与行互相调换而成的m n矩阵，称为A的转置，写成A （ A转置）注意，在A矩阵的第i列第j行的元素aij，转置后则为A的第j列第i行的元素如果A 和b分别为A与B的转置矩阵，且k为一纯量，我们立即可得 I（a）（a）=A 与 （b） （kA）=kA进而可得两矩阵的和的转置为此二矩阵转置后的和，亦即I （A + B ） = A + B两矩阵乘积的转置为此两矩阵转置后的反顺序乘积 .亦即AB = B A例 3.42 证明：（A + B）=A + B.证明 令A=Lij 与 B = bj】，我们只须分别检视A，b与（a+B）的第i