数一数三考研数学真题及解析.docx
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数一数三考研数学真题及解析
全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题（本题共
5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）
设生产函数为Q
ALK
其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而A,,
均为大于零的参数,则当Q
1时K关于L的弹性为
.
（2）
某公司每年的工资总额在比上一年增加
20%的基础上再追加
2百万元,若以Wi表示第i年
的工资总额（单位:
百万元）,则Wt满足的差分方程是
.
k
1
1
1
（3）
1
k
1
1
3,则k
.
设矩阵A
1
k
且秩r（A）
1
1
1
1
1
k
（4）设随机变量和的数学期望分别为
2和2,方差分别为
1和4,而相关系数为
0.5,则根据切
比雪夫不等式
P{XY
6}
.
（5）设总体X服从正态分布
N（0,22）,而X1,X2,L,X15是来自总体X的简单随机样本,则随
机变量Y
X12
L
X102
服从
分布,参数为
.
2（X112
L
X152）
二、选择题（本题共
5小题,每小题3分,满分15分.每题小给出的四个选项中
只有一个选项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
.）
（1）设f（x）的导数在x
f
'（x）
a处连续,又lim
1,则
xax
a
（A）
x
a是f（x）的极小值点.
（B）
x
a是f（x）的极大值点.
（C）
（a,f（a））是曲线y
f（x）的拐点
（D）xa不是f（x）的极值点,（a,f（a））也不是曲线yf（x）的拐点.
x
1
（x2
1）,0
x
1,
2
则g（x）在区间（0,2）内
（2）设g（x）
f（u）du,其中f（x）
1（x1）,1
0
x
2,
3
（A）无界
（B）递减
（C）
不连续
（D）连续
a11
a12
a13
a14
a14
a13
a12
a11
0
0
0
1
a21
a22
a23
a24
a24
a23
a22
a21
P1
0
1
0
0
（3）设A
a32
a33
a34
B
a33
a32
a31
0
0
1
a31
a34
0
a41
a42
a43
a44
a44
a43
a42
a41
1
0
0
0
1
0
0
0
P2
0
0
10
其中A可逆,则B1等于
0
1
0
0
0
0
0
1
（A）A1PP12.
（B）P1A1P2.（C）PP12A1.（D）P2A1P1.
（4）设A是n阶矩阵,
是n维列向量.若秩
A
=秩（A）,则线性方程组
T
0
（A）
AX
必有无穷多解.
（B）
AX
必有唯一解.
（C）
A
X
0仅有零解.
T
0
y
（D）
A
X
0必有非零解.
T
0
y
（5）将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关
系数等于
（A）1.（B）0.（C）1.（D）1.
2
三、（本题满分5分）
设uf（x,y,z）有连续的一阶偏导数,又函数yy（x）及zz（x）分别由下列两式确定:
exy
xy2和ex
xt
0
sint
dt,
t
du
求.
四、（本题满分
6分）
已知f（x）在（
）内可导,且
lim
f'（x）e,lim（x
c）x
lim[f（x）f（x1）],
x
x
x
c
x
求c的值.
五、（本题满分
6分）
1
2
y2）
（x
1及x
1围成的平面
求二重积分
y[1xe2
]dxdy的值,其中D是由直线yx,y
D
区域.
六、（本题满分7分）
已知抛物线ypx2qx（其中p0,q0）在第一象限内与直线xy5相切,且此抛物线
与x轴围成的平面图形的面积为S.
（1）问p和q为何值时,S达到最大值?
（2）求出此最大值.
七、（本题满分6分）
设f（x）在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且满足
1
xe1xf（x）dx（k
f
（1）
k
k
1）,
0
证明至少存在一点
（0,1）,使得f'（）
（1
1）f（）.
八、（本题满分7分）
已知fn（x）满足
fn'（x）fn（x）
xn1ex（n为正整数）,
且fn
（1）
e
求函数项级数
fn（x）之和.
n
n
1
九、（本题满分9分）
1
1
a
1
设矩阵A
1
a
1
1
.已知线性方程组Ax
有解但不唯一,试求:
a
1
1
2
（1）a的值;
（2）
正交矩阵
Q,使QT
AQ为对角矩阵.
十、（本题满分8分）
设A为
阶实对称矩阵
秩
A
nAij
A
（aij）nn
aij
（i,j1,2,
n
（）
是
中元素
的代数余子式
L,n）,二次型
n
n
Aij
xixj.
f（x1,x2,L,xn）
A
i1
j1
（1）记X
（x1,x2,L,xn）T,把f（x1,x2,L,xn）写成矩阵形式,并证明二次型
f（X）的矩阵为
A1
;
（2）二次型
）
T
XAX
f（X）
gX
与
的规范型是否相同
?
说明理由.
（
十一、
（本题满分
8分）
一生产线生产的产品成箱包装
每箱的重量是随机的
.假设每箱平均重
50千克,标准差为
5千克.
若用最大载重量为
5吨的汽车承运
试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱
才能保障不
超载的概率大于
0,977
.（
（2）
0,977,其中
（x）
是标准正态分布函数
.）
十二、
（本题满分
8分）
设随机变量
X和Y
的联合分布是正方形
G{（x,y）1
x
3,1
y
3}
上的均匀分布
试求随
机变量
U
XY
的概率密度
p（u）
.
考研数学三试题答案与解析
一、填空题
（1）【分析】当Q1时,1ALK,等式两边对L求导得
0
AL
1K
ALK
1dK
dK
K.
dL
dL
L
由弹性计算公式知
当Q
1时K关于L的弹性为
dK
L
K
L
.
dL
K
L
K
（2）【分析】由题设知第t年的工资总额
Wt
（百万元）是两部分之和
其中一部分是固定追加额
2（百万元）,另一部分比前一年的工资总额
W
多20%,即是W
的1.2倍.于是可得W满足的差分
i1
t1
t
方程是
Wt1.2Wt12.
（3）【分析】
由于
k1
1
1k3k3k3k3
1
1
1
1
1
k1
1
1
k
1
1
1
k1
1
A
1
k1
1
1
k
1
（k3）
1
k1
1
1
1
1
1
k
1
1
1
k
1
1
1
k
1
1
1
1
（k
0
k1
0
0
3）
0
k1
（k3）（k1）3,
0
0
0
0
0
k1
那么
r（A）
3A
0.
而k
1时,显然r（A）
1,故必有k
3.
（4）【分析】E（XY）EXEY0,
D（XY）DX2cov（XY）DYDX2XYDXDYDY
12（0.5）1443,
31
P{XY6}6212.
（5）【分析】根据简单随机样本的性质,X1,X
2
易见
2,L,X15相互独立同分布N（0,2）,
X2
L
X2与
2
2
也相互独立.并且由于
X
~N（0,22）,故
X11
L
X
15
i
1
10
Xi~N（0,1）,（X1）2L
（X10）2
1（X2
LX2）~
2（10）,
2
2
2
4
1
10
X11
）
2
L
（
X15
）
2
1
2
L
X
2
2
（5）.
（
2
2
（X11
15）~
4
1
（X
2
L
X
2
1
10）10
X
2
L
X
2
从而有
1
10
~F（10,5）.
1
2
2
L
2（X2
X2）
4
（X
L
X）
5
11
15
4
11
15
即Y~F（10,5）.因此第1空应填:
F,第2空应填:
（10,5）.
二、选择题
（1）【分析】
排除法
.取
f（x）
1
（x
a）2,易验证
f（x）满足题目条件
但
x
a是
f（x）
的极大
2
值点而不是极小值点
故（A）和（D）不正确
又（a,f（a））也不是曲线
y
f（x）的拐点
故（C）也不正确
.
所以应选
（B）.
f（x）在[a,b]上可积,于是g（x）
x
（2）【分析】可直接用已有结论“若
f（u）du是[a,b]上的连
0
续函数”.本题中f（x）在[0,2]上分段连续,且有界,从而在[0,1]上可积,于是g（x）
x
f（u）du在
0
[0,2]上连续,故应选（D）.
（3）【分析】把矩阵A的1、4两列对换,2、3两列对换即得到矩阵B,根据初等矩阵的性质,有
B
APP
或
B
APP.
12
2
1
那么
B
1
（APP）1
1
1
A
1
PP12A
1
.所以应选（C）.
21
P1
P2
（4）【分析】
因为“
Ax
0仅有零解”与“
Ax
0必有非零解”
这两个命题必然是一对一错
不可
能两个命题同时正确
也不可能两个命题同时错误
.所以本题应当从
（C）或（D）入手.
A
是n
1阶矩阵,A是n阶矩阵,故必有
由于
T
0
A
r（A）n
n1.
rT
0
因此（D）正确.
（5）【分析】
依题意Y
n
X,因此X和Y的相关系数等于
1,应选（A）.
事实上,Cov（X,Y）
Cov（X,nX）
DX,DYDX,因此
Cov（X,Y）
DX
XY
DX
DY
1.
DXDX
三、【解】
du
f
fdy
fdz.
（*）
dx
x
ydx
zdx
由exy
xy
2两边对x求导,得
exy（yxdy）（yxdy）0
dy
y.
①
xtsint
dx
dx
dx
x
又由e
x
dt两边对x求导,得
1t
ex
sin（x
z）（1
dz）
dz
1
ex（x
z）.
②
x
z
dx
dx
sin（x
z）
将①、②两式代入
（*）式,得
du
f
y
f
ex（x
z）
f
dx
x
x
[1
sin（x
z）
].
y
z
四、【解】
若c
0,则lim（x
c）x
1.若c
0则
x
x
c
c）x
xc
2cx
lim（
x
lim[（1
2c）2c
]xc
e2c.
x
x
c
x
x
c
由拉格朗日中值定理
有f（x）
f（x
1）
f'（
）1
其中
介于x
1与x之间.那么当x
时也
有,故
lim[f（x）
f（x
1）]
lim
f
'（）
e.
x
x
于是题设条件可改写为
e2c
e,故c
1.
2
五、【解】
积分区域D如图所示.
1（x2y2）
]dxdy
ydxdy
1（x2y2）
dxdy,
y[1xe2
xye2
D
D
D
ydxdy
1
1
1
y）dy
2
其中
dy
ydx
y（1
D
1
y
1
3
1（x2y2）
1
1
1（x2y2）
xye2
dxdy
ydy
xe2
dx
D
1
y
1
1（1
y2）
ey
2
]dy
0.
1
y[e2
1（x2y2）
2
于是
y[1xe2
]dxdy
.
3
D
六、【分析】
先求出本题中的面积
S.此时S中有两个参数
p和q,再根
据抛物线
y
px2
qx与x
y
5相切,求出p和q的关系,带入S中
只剩一个参数,最后求S的最大值.
.得它与x轴交点的横坐标为
【解】依题意,抛物线如图所示求
x1
0,x2
q
.
p
q
p
q2
q
q3
S
p（px
2
3
p
2.
（*）
面积
qx）dx（
x
x
）0
0
3
2
6p
因直线x
y
5与抛物线y
px2
qx相切,故他们有唯一公共点
由方程组
x
y5,
y
px2
qx
得px2
（q
1）x
50
.其判别式必等于零
即
V（q1）2
20p0,p
1
（1q）2.
20
将上式代入（*）式得S（q）
200q3
3（q
4.
1）
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