数一数三考研数学真题及解析.docx

1、数一数三考研数学真题及解析全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .把答案填在题中横线上 .)( 1)设生产函数为 QAL K,其中 Q 是产出量 , L 是劳动投入量 , K 是资本投入量 ,而 A, ,均为大于零的参数 ,则当 Q1时 K 关于 L 的弹性为.( 2)某公司每年的工资总额在比上一年增加20% 的基础上再追加2 百万元 ,若以 Wi 表示第 i 年的工资总额 ( 单位 :百万元 ) ,则 Wt 满足的差分方程是.k111( 3)1k113 ,则 k.设矩阵 A1k,且秩 r ( A)11111k( 4) 设随机变

2、量和的数学期望分别为2 和 2 ,方差分别为1和 4 ,而相关系数为0.5 ,则根据切比雪夫不等式PX Y6.( 5) 设总体 X 服从正态分布N(0,22 ), 而 X1, X2 ,L , X15 是来自总体 X 的简单随机样本 ,则随机变量 YX12LX102服从分布 ,参数为.2( X112LX152 )二、选择题 ( 本题共5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内.)( 1) 设 f ( x) 的导数在 xf( x)a 处连续 ,又 lim1 ,则x a xa( A )xa 是 f (x) 的极

3、小值点 .( B )xa 是 f (x) 的极大值点 .( C)(a, f ( a) 是曲线 yf ( x) 的拐点( D ) x a 不是 f ( x) 的极值点 , ( a, f (a) 也不是曲线 y f (x) 的拐点 .x1(x21),0x1,2则 g( x) 在区间 (0, 2) 内( 2) 设 g( x)f (u) du ,其中 f ( x)1 (x 1),10x2,3(A) 无界(B) 递减( C)不连续(D) 连续a11a12a13a14a14a13a12a110001a21a22a23a24a24a23a22a21, P10100(3)设 Aa32a33a34, Ba33a

4、32a31001,a31a340a41a42a43a44a44a43a42a4110001000P2001 0,其中 A 可逆 ,则 B 1等于01000001(A) A 1PP12.( B) P1A 1P2.( C) PP12A 1.( D) P2A 1P1.( 4) 设 A 是 n 阶矩阵 ,是 n 维列向量 .若秩A=秩 ( A) ,则线性方程组T0( A )AX必有无穷多解 .( B )AX必有唯一解 .( C)AX0 仅有零解 .T0y( D )AX0 必有非零解 .T0y( 5) 将一枚硬币重复掷 n 次 ,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数 ,则 X 和 Y 的相关

5、系数等于(A) 1. (B) 0. (C) 1. (D) 1.2三、 (本题满分 5 分)设 u f ( x, y, z) 有连续的一阶偏导数 ,又函数 y y( x) 及 z z(x) 分别由下列两式确定 :exyxy 2 和 exx t0sin tdt ,tdu求 .四、 ( 本题满分6 分 )已知 f (x) 在 (,) 内可导 ,且limf ( x) e, lim( xc) xlim f (x) f ( x 1),xxxcx求 c 的值 .五、 ( 本题满分6 分 )12y 2 )(x1 及 x1 围成的平面求二重积分y1 xe2dxdy 的值 ,其中 D 是由直线 y x, yD区域

6、 .六、 (本题满分 7 分)已知抛物线 y px2 qx ( 其中 p 0, q 0 ) 在第一象限内与直线 x y 5 相切 ,且此抛物线与 x 轴围成的平面图形的面积为 S .( 1) 问 p 和 q 为何值时 , S 达到最大值 ?( 2) 求出此最大值 .七、 (本题满分 6 分)设 f ( x) 在 0,1 上连续 ,在 (0,1) 内可导 ,且满足1xe1 x f ( x)dx(kf (1)kk1),0证明至少存在一点(0,1) ,使得 f ( )(11) f ( ).八、 (本题满分 7 分)已知 fn ( x) 满足f n ( x) fn ( x)xn 1ex ( n 为正整

7、数 ) ,且 fn(1)e,求函数项级数fn ( x) 之和 .nn1九、 (本题满分 9 分)11a1设矩阵 A1a1,1.已知线性方程组 Ax有解但不唯一 ,试求 :a112( 1) a 的值 ;( 2)正交矩阵Q,使QTAQ 为对角矩阵 .十、 (本题满分 8 分)设 A 为阶实对称矩阵,秩An AijA(aij ) n naij(i , j 1,2,n( ),是中元素的代数余子式L , n) ,二次型nnAijxi x j .f ( x1 , x2 ,L , xn )Ai 1j 1(1)记 X( x1, x2 ,L , xn )T ,把 f (x1, x2 ,L , xn ) 写成矩阵

8、形式 ,并证明二次型f ( X ) 的矩阵为A 1;( 2) 二次型)TX AXf ( X )g X与的规范型是否相同?说明理由 .(十一、( 本题满分8 分 )一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50 千克 ,标准差为5千克 .若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0,977.(2)0,977, 其中( x)是标准正态分布函数.)十二、( 本题满分8 分 )设随机变量X 和 Y的联合分布是正方形G( x, y) 1x3,1y3上的均匀分布,试求随机变量UX Y的概率密度p(u).考研数学三试题答案与解

9、析一、填空题( 1) 【分析】 当 Q 1时,1 AL K ,等式两边对 L 求导得0AL1 KAL K1 dKdKK .dLdLL由弹性计算公式知,当 Q1时 K 关于 L 的弹性为dKLKL.dLKLK( 2) 【分析 】 由题设知第 t 年的工资总额Wt( 百万元 ) 是两部分之和,其中一部分是固定追加额2 ( 百万元 ) ,另一部分比前一年的工资总额W多 20% ,即是 W的 1.2 倍 .于是可得 W 满足的差分i 1t 1t方程是Wt 1.2Wt 1 2.(3)【分析】由于k 111 k 3 k 3 k 3 k 311111k 111k111k 11A1k 111k1(k 3)1k

10、 111111k111k111k1111(k0k 1003)0k 1( k 3)(k 1)3,00000k 1那么r ( A)3 A0.而 k1 时 ,显然 r ( A)1,故必有 k3 .(4)【分析】 E(X Y) EX EY 0,D ( X Y) DX 2cov( X Y) DY DX 2 XY DX DY DY1 2(0.5) 1 4 4 3,31PXY 6 62 12.(5)【分析】 根据简单随机样本的性质, X1,X2易 见2,L ,X15相互独立同分布 N(0,2 ),X 2LX 2 与22也相互独立 .并且由于X N(0,22) ,故X 11LX15i11 0Xi N (0,1

11、),( X1 ) 2 L( X10 )21(X2L X2)2 (10),2224110X11)2L(X15)212LX22(5).(22( X1115) 41( X2LX2110) 10X2LX2从而有110 F (10,5).122L2(X 2X 2 )4( XLX )5111541115即 Y F (10,5) .因此第 1空应填 : F ,第 2 空应填 : (10,5) .二、选择题(1)【分析】排除法.取f (x)1(xa)2 ,易验证f (x) 满足题目条件,但xa 是f ( x)的极大2值点而不是极小值点,故( A)和( D) 不正确,又 (a, f (a) 也不是曲线yf (x

12、) 的拐点,故 ( C) 也不正确.所以应选( B).f ( x) 在 a, b 上可积 ,于是 g(x)x( 2) 【分析 】 可直接用已有结论“若f (u)du 是 a, b 上的连0续函数” .本题中 f ( x) 在 0, 2 上分段连续 ,且有界 , 从而在 0,1 上可积 , 于是 g( x)xf (u)du 在00, 2 上连续 ,故应选 ( D ) .( 3) 【分析 】 把矩阵 A 的 1、4 两列对换 , 2、3 两列对换即得到矩阵 B ,根据初等矩阵的性质 ,有BAPP或BAP P.1 221那么B1(APP) 111A1PP12A1.所以应选 ( C) .2 1P1P2

13、(4)【分析】因为“Ax0 仅有零解”与“Ax0 必有非零解”这两个命题必然是一对一错,不可能两个命题同时正确,也不可能两个命题同时错误.所以本题应当从(C)或(D)入手.A是 n1阶矩阵 , A 是 n阶矩阵 ,故必有由于T0Ar ( A) nn 1.r T0因此 ( D)正确 .(5)【分析】依题意 YnX ,因此 X 和 Y 的相关系数等于1,应选 (A).事实上 , Cov ( X ,Y)Cov (X , n X )DX,DY DX ,因此Cov( X ,Y)DXXYDXDY1.DX DX三、【解】duff dyf dz .(*)dxxy dxz dx由 exyxy2 两边对 x 求导

14、 ,得exy ( y x dy ) ( y x dy ) 0dyy .x t sin tdxdxdxx又由 exdt 两边对 x 求导 ,得1texsin( xz) (1dz )dz1ex ( xz) .xzdxdxsin(xz)将、两式代入(*) 式 ,得dufyfex (xz)fdxxx1sin(xz) .yz四、【解】若 c0 ,则 lim( xc) x1. 若 c0 则xxcc ) xx c2cxlim(xlim(12c ) 2c x ce2c .xxcxxc由拉格朗日中值定理,有 f ( x)f ( x1)f () 1,其中介于 x1 与 x 之间 .那么当 x时也有,故lim f

15、( x)f ( x1)limf( )e.xx于是题设条件可改写为e2 ce,故 c1 .2五、【解】积分区域 D 如图所示 .1( x2 y2 )dxdyydxdy1 ( x2 y2 )dxdy ,y1 xe2xye2DDDydxdy111y)dy2其中dyydxy(1,D1y131 ( x2 y2 )111 ( x2 y2 )xye2dxdyydyxe2dxD1y11 (1y2 )ey2dy0.1ye21 (x 2 y2 )2于是y1 xe2dxdy.3D六、【分析】先求出本题中的面积S .此时 S 中有两个参数p 和 q ,再根据抛物线ypx2qx 与 xy5 相切 ,求出 p 和 q 的关系 ,带入 S 中只剩一个参数 ,最后求 S 的最大值 .得它与 x 轴交点的横坐标为【解】 依题意 ,抛物线如图所示求x10 , x2q.pqpq 2qq3Sp ( px23p2 .(*)面积qx)dx (xx) 00326 p因直线 xy5与抛物线 ypx2qx 相切 ,故他们有唯一公共点,由方程组xy 5,ypx2qx得 px2(q1)x5 0.其判别式必等于零,即V (q 1)220 p 0, p1(1 q) 2 .20将上式代入 (*) 式得 S(q)200q33(q4 .1)