C.∃x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
12.(2017·安徽安庆二模)设命题p:
∃x0∈(0,+∞),x0+
>3;命题q:
∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是( )
A.p∧(綈q)B.(綈p)∧q
C.p∧qD.(綈p)∨q
13.(2017·湖北黄冈二模)下列四个结论:
①若x>0,则x>sinx恒成立;②命题“若x-sinx=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sinx≠0”;③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件;④命题“∀x∈R,x-lnx>0”的否定是“∃x0∈R,x0-lnx0<0”.
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
14.(2017·甘肃高台一中第三次检测)设p:
∃x∈
,使函数g(x)=log2(tx2+2x-2)有意义.若綈p为假命题,则实数t的取值范围为________.
15.已知m∈R,命题p:
对任意x∈[0,1,不等式2x-2≥m2-3m恒成立;命题q:
存在x∈[-1,1,使得m≤ax成立.
(1)若p为真命题,求m的取值范围;
(2)当a=1,若p且q为假,p或q为真,求m的取值范围.
[延伸拓展
(2017·皖南名校4月联考)设命题p:
函数f(x)=x3-ax-1在区间[-1,1上单调递减;命题q:
函数y=ln(x2+ax+1)的值域是R,如果命题p或q是真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,3B.(-∞,-2∪[2,3)
C.(2,3D.[3,+∞)
解析
一、选择题
1.下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,x2≥0B.∀x∈R,2x-1>0
C.∃x∈R,lgx<1D.∃x∈R,sinx+cosx=2
[解析 对于D选项,sinx+cosx=
sin
≤
,故D错,易得A、B、C正确.
[答案 D
2.命题“∃x0∈N,x
+2x0≥3”的否定为( )
A.∃x0∈N,x
+2x0≤3
B.∀x∈N,x2+2x≤3
C.∃x0∈N,x
+2x0<3
D.∀x∈N,x2+2x<3
[解析 命题“∃x0∈N,x
+2x0≥3”的否定为“∀x∈N,x2+2x<3”.故选D.
[答案 D
3.(2017·云南玉溪一中第四次月考)已知命题p:
在△ABC中,“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要条件;命题q:
“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( )
A.p真q假B.p假q真
C.p∨q为假D.p∧q为真
[解析 在△ABC中,若C>B,根据大角对大边,可得c>b,再由正弦定理边角互化,可得sinC>sinB,反之也成立.所以在△ABC中,C>B是sinC>sinB的充要条件,故命题p是假命题.由a>b,当c=0时,ac2>bc2不一定成立,但若ac2>bc2成立,则a>b成立,所以a>b是ac2>bc2的必要不充分条件,故命题q是假命题.所以p∨q为假.故选C.
[答案 C
4.若命题“∀x∈R,x2-x-1<0”是真命题,则实数的取值范围是( )
A.(-4,0)
B.(-4,0
C.(-∞,-4∪(0,+∞)
D.(-∞,-4)∪[0,+∞)
[解析 命题:
“∀x∈R,x2-x-1<0”是真命题.当=0时,则有-1<0;当≠0时,则有<0,且Δ=(-)2-4××(-1)=2+4<0,解得-4<<0.综上所述,实数的取值范围是(-4,0.
[答案 B
5.(2018·河北衡水中学调研)已知命题p:
方程x2-2ax-1=0有两个实数根;命题q:
函数f(x)=x+
的最小值为4.给出下列命题:
①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨(綈q).则其中真命题的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析 由于Δ=4a2+4>0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,即命题p是真命题;当x<0时,f(x)=x+
的值为负值,故命题q为假命题,所以p∨q,p∧(綈q),綈p∨(綈q)是真命题,故选C.
[答案 C
6.(2017·安徽蚌埠质检)给出以下命题:
①∀a∈R,函数y=x3+ax2+1不是偶函数;②∃a∈R,函数y=ax2-x+1是奇函数;③∀m>0,函数g(x)=mx|x|在R上单调递增;④∃m>0,函数g(x)=mx2+2x-1在
上单调递减.其中正确命题的序号是( )
A.①③B.②③
C.①④D.②④
[解析 显然,命题①为真,命题②为假.对于命题③,由于y=mx|x|=
所以当m>0时,y=mx|x|在R上单调递增,命题为真;对于命题④,若y=mx2+2x-1在
上单调递减,必有
解得m≤-2,故命题为假.综上可得,正确命题为①③.
[答案 A
7.(2017·福建福州外国语学校期中)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )
A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)
B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x)
C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)
[解析 ∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴∀x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,∴∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.故选C.
[答案 C
二、填空题
8.(2017·安徽合肥一模)命题:
∃x0∈R,x
-ax0+1<0的否定为____________________.
[解析 写命题的否定时,除结论要否定外,存在量词与全称量词要互换,因此命题:
∃x0∈R,x
-ax0+1<0的否定为∀x∈R,x2-ax+1≥0.
[答案 ∀x∈R,x2-ax+1≥0
9.已知命题p:
∃x0∈R,ax
+x0+
≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是________.
[解析 因为命题p是假命题,所以綈p为真命题,即∀x∈R,ax2+x+
>0恒成立.当a=0时,x>-
,不满足题意;当a≠0时,要使不等式恒成立,则有
即
解得
所以a>
,即实数a的取值范围是
.
[答案
10.(2018·甘肃兰州一中月考)已知命题p:
∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为________.
[解析 当命题p为真命题时,m+1≤0,解得m≤-1.当命题q为真命题时,Δ=m2-4×1×1<0,解得-2⇒-2[答案 (-∞,-2∪(-1,+∞)
[能力提升
11.(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x0∈R,1A.∀x∈R,1B.∃x∈R,1C.∃x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
D.∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
[解析 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”.故选D.
[答案 D
12.(2017·安徽安庆二模)设命题p:
∃x0∈(0,+∞),x0+
>3;命题q:
∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是( )
A.p∧(綈q)B.(綈p)∧q
C.p∧qD.(綈p)∨q
[解析 对于命题p,当x0=4时,x0+
=
>3,故命题p为真命题;对于命题q,当x=4时,24=42=16,即∃x0∈(2,+∞),使得2x0=x
成立,故命题q为假命题,所以p∧(綈q)为真命题,故选A.
[答案 A
13.(2017·湖北黄冈二模)下列四个结论:
①若x>0,则x>sinx恒成立;②命题“若x-sinx=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sinx≠0”;③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件;④命题“∀x∈R,x-lnx>0”的否定是“∃x0∈R,x0-lnx0<0”.
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析 对于①,令y=x-sinx,则y′=1-cosx≥0,则函数y=x-sinx在R上递增,则当x>0时,x-sinx>0-0=0,即当x>0时,x>sinx恒成立,故①正确;对于②,命题“若x-sinx=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sinx≠0”,故②正确;对于③,命题p∨q为真即p,q中至少有一个为真,p∧q为真即p,q都为真,可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件,故③正确;对于④,命题“∀x∈R,x-lnx>0”的否定是“∃x0∈R,x0-lnx0≤0”,故④错误.综上,正