初中数学竞赛辅导资料全.docx
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初中数学竞赛辅导资料全
第一篇一元一次方程的讨论
第一部分基本方法
1.方程的解的定义:
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如:
方程 2x+6=0, x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解
分别是:
x=-3,x=0或x=1, x=±6,所有的数,无解。
2.关于x的一元一次方程的解(根)的情况:
化为最简方程ax=b后,
讨论它的解:
当a≠0时,有唯一的解 x=
;
当a=0且b≠0时,无解;
当a=0且b=0时,有无数多解。
(∵不论x取什么值,0x=0都成立)
3.求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a|b时,方程有整数解;
当a|b,且a、b同号时,方程有正整数解;
当a、b同号时,方程的解是正数。
综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b
第二部分典例精析
例1a取什么值时,方程a(a-2)x=4(a-2) ①有唯一的解②无解
③有无数多解④是正数解
例2k取什么整数值时,方程①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数②(1-x)k=6的解是负整数
例3 己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a 无解。
问a和b应满足什么关系
例4 a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解
第三部分典题精练
1.根据方程的解的定义,写出下列方程的解:
1(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9, ④|x|=-3,
⑤3x+1=3x-1, ⑥x+2=2+x
2.关于x的方程ax=x+2无解,那么a__________
3.在方程a(a-3)x=a中,
当a取值为____时,有唯一的解; 当a___时无解;
当a_____时,有无数多解; 当a____时,解是负数。
4.k取什么整数值时,下列等式中的x是整数
1x=
②x=
③x=
④x=
5.k取什么值时,方程x-k=6x的解是①正数②是非负数
6.m取什么值时,方程3(m+x)=2m-1的解①是零②是正数
7.己知方程
的根是正数,那么a、b应满足什么关系
8.m取什么整数值时,方程
的解是整数
9.己知方程
有无数多解,求a、b的值。
第二篇二元一次方程的整数解
第一部分基本方法
1.二元一次方程整数解存在的条件:
在整系数方程ax+by=c中,
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即
如果(a,b)|c则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立,方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解,
∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。
2.二元一次方程整数解的求法:
若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。
k叫做参变数。
方法一,整除法:
求方程5x+11y=1的整数解
解:
x=
=
(1),
设
是整数),则y=1-5k
(2),
把
(2)代入
(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是
(k是整数)
方法二,公式法:
设ax+by=c有整数解
则通解是
(x0,y0可用观察法)
1,求二元一次方程的正整数解:
1出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值
2用观察法直接写出。
第二部分典例精析
例1求方程5x-9y=18整数解的能通解
例2求方程5x+6y=100的正整数解
例3甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本
第三部分典题精练
1.求下列方程的整数解
①公式法:
x+7y=4,5x-11y=3②整除法:
3x+10y=1,11x+3y=4
2.求方程的正整数解:
①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3.一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材
4.兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁数。
5.下列方程中没有整数解的是哪几个答:
(填编号)
34x+2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,
④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.
6.一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答得0分,小这军同学得48分,他最多得几分
7.用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:
y=
1
4
-2
x=
第三篇二元一次方程组解的讨论
第一部分基本方法
1.二元一次方程组
的解的情况有以下三种:
1当
时,方程组有无数多解。
(∵两个方程等效)
2当
时,方程组无解。
(∵两个方程是矛盾的)
3当
(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解:
(这个解可用加减消元法求得)
2.方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。
3.求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。
(见例2、3)
第二部分典例精析
例1. 选择一组a,c值使方程组
例2. a取什么值时,方程组
的解是正数
例3. m取何整数值时,方程组
的解x和y都是整数
例4.(古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒,己知桃,李每粒分别是3,4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板。
问桃,李,榄橄各买几粒
第三部分典题精练
1.不解方程组,判定下列方程组解的情况:
①
②
③
1.a取什么值时方程组
的解是正数
2.a取哪些正整数值,方程组
的解x和y都是正整数
3.要使方程组
的解都是整数,k应取哪些整数值
4.(古代问题)今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少
第四篇用交集解题
第一部分基本方法
1.某种对象的全体组成一个集合。
组成集合的各个对象叫这个集合的元素。
例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个。
1.由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A={1,2,3,6},10的正约数集合B={1,2,5,10},6与10的公约数集合C={1,2},集合C是集合A和集合B的交集。
2.
几个集合的交集可用图形形象地表示,
右图中左边的椭圆表示正数集合,
右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆
的公共部分,是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组
解的集合就是
不等式
(1)的解集x>3和不等式
(2)的解集x>2的交集,x>3.
如数轴所示:
0 2 3
4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答。
把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案。
(如例2)
第二部分典例精析
例1.一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值。
例2.有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数。
例3.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人,订阅B种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A种、只订B种的各几人数学兴趣小组共有几人
[公式一]N=
+N(A)+N(B)-N(AB)。
例4.在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同时会玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人,
问:
有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球
例5.十进制中,六位数
能被33整除,求x和y的值
第三部分典题精练
1.负数集合与分数集合的交集是.等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。
2.12的正约数集合A={ },30的正约数集合B={ }
12和30的公约数集合C={ },集合C是集合A和集合B的__
3.某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值。
4.九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少
5.求符合如下三条件的两位数:
①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
6.据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人②只会打排球是几人
7.100名学生代表选举学生会正付主席,对侯选人A和B进行表决,赞成A的有52票,赞成B的有60票,其中A、B都赞成的有36人,问对A、B都不赞成的有几人
8.数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计,数学24人,物理18人,化学10人;按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人。
求参赛的总人数,只参加数学科的人数。
(本题如果改为有2人三科都参加呢)
9.
10.十进制中,六位数
能被21整除,求x,y的值(仿例5)
第五篇用枚举法解题
第一部分基本方法
有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。
列举解答要注意:
1按一定的顺序,有系统地进行;
2分类列举时,要做到既不重复又不违漏;
3遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。
第二部分典例精析
例1.如图由西向东走,从A处到B处有几种走法
例2.写出由字母X,Y,Z中的一个或几个组成的非同类项(系数为1)的所有四次单项式。
例3.讨论不等式ax
例4.如图把等边三角形各边4等分,分别连结对应点,试计算图中所有的三角形个数
第三部分典题精练
1.己知x,y都是整数,且xy=6,那么适合等式解共个,它们是.
2.a+b=37,适合等式的非负整数解共组,它们是.
3.xyz=6,写出所有的正整数解有:
.
4.如图线段AF上有B,C,D,E四点,试分别写出以A,B,C,D,E为一端且不重复的所有线段,并统计总条数.
ABCDEF
5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项(系数为1)的所有三次单项式。
6.除以4余1两位数共有几个
7.从1到10这十个自然数中每次取两个,其和要大于10,共有几种不同取法
8. 把边长等于4的正方形各边4等分,连结各对应点成16个小正方形,试用枚举法,计算共有几个正方形如果改为5等分呢10等分呢
9. 右图是街道的一部分,纵横各有5条路,如果从A到B(只能从北向南,从西向东),有几种走法
10. 一个正整数加上3是5的倍数,减去3是6的倍数,
则这个正整数的最小值是.
第六篇经验归纳法
第一部分基本方法
1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。
例如
①由(-1)2=1,(-1)3=-1,(-1)4=1,……,
归纳出-1的奇次幂是-1,而-1的偶次幂是1。
②由两位数从10到99共90个(9×10),
三位数从100到999共900个(9×102),
四位数有9×103=9000个(9×103),
…………
归纳出n位数共有9×10n-1 (个)
3由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个连续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足够次数的试验。
由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。
(到高中,大都是用数学归纳法证明)
第二部分典例精析
例1平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点
例2.符号n!
表示正整数从1到n的连乘积,读作n的阶乘。
例如
5!
=1×2×3×4×5。
试比较3n与(n+1)!
的大小(n是正整数)
例3.求适合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。
丙练习14
1.除以3余1的正整数中,一位数有__个,二位数有__个,三位数有__个,n位数有____个。
2.十进制的两位数
可记作10a1+a2,三位数
记作100a1+10a2+a3,四位数
记作____,n位数___
记作______
3.由13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43
=(___)2,13+______=152,13+23+…+n3=()2。
4.用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方)
①
=(___)2;;
-
=( __)2。
②
=(____)2;
=(___)2
5.把自然数1到100一个个地排下去:
123……91011……99100
1这是一个几位数②这个数的各位上的各个数字和是多少
6.计算
+
+
+…+
=
(提示把每个分数写成两个分数的差)
7.a是正整数,试比较aa+1和(a+1)a的大小.
8..如图把长方形的四条边涂上红色,然
后把宽3等分,把长8等分,分成24个
小长方形,那么这24个长方形中,
两边涂色的有__个,一边涂色的有__个,四边都不着色的有__个。
本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中,两边涂色的有__个,一边涂色的有__个,四边都不着色的有__个
9.把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分,切成64个小正方体,那么这64个中,三面涂色的有__个,两面涂色的有___个,一面涂色的有___个,四面都不涂色的有____个。
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分,(m,n,p都是大于2的自然数)那么这mnp个正方体中,三面涂色的有___个,两面涂色的有___个,一面涂色的有____个,四面都不涂色的有_____个。
10.一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀,共分成___块,其中不带皮的有__块。
11.已知两个正整数的积等于,它们分别是___,___。