初中数学竞赛辅导资料全.docx
《初中数学竞赛辅导资料全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导资料全.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初中数学竞赛辅导资料全
第一篇一元一次方程的讨论
第一部分基本方法
1.方程的解的定义：
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：
方程 2x＋6＝0， x（x－1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解
分别是：
x=－3,x=0或x=1, x=±6,所有的数，无解。
2.关于x的一元一次方程的解（根）的情况：
化为最简方程ax=b后，
讨论它的解：
当a≠0时，有唯一的解 x=
；
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。
（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3.求方程ax=b（a≠0）的整数解、正整数解、正数解
当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
第二部分典例精析
例1a取什么值时，方程a（a－2）x=4（a－2） ①有唯一的解②无解
③有无数多解④是正数解
例2k取什么整数值时，方程①k（x+1）=k－2（x－2）的解是整数②（1－x）k=6的解是负整数
例3 己知方程a（x－2）=b（x+1）－2a 无解。
问a和b应满足什么关系
例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解
第三部分典题精练
1.根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
1（x+1）=0, ②x2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3,
⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x
2.关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________
3.在方程a（a－3）x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；
当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。
4.k取什么整数值时，下列等式中的x是整数
1x=
②x=
③x=
④x=
5.k取什么值时，方程x－k=6x的解是①正数②是非负数
6.m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解①是零②是正数
7.己知方程
的根是正数，那么a、b应满足什么关系
8.m取什么整数值时，方程
的解是整数
9.己知方程
有无数多解，求a、b的值。
第二篇二元一次方程的整数解
第一部分基本方法
1.二元一次方程整数解存在的条件：
在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。
即
如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
2.二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。
k叫做参变数。
方法一，整除法：
求方程5x+11y=1的整数解
解：
x=
=
（1）,
设
是整数），则y=1－5k
（2）,
把
（2）代入
（1）得x=k－2（1－5k）=11k－2
∴原方程所有的整数解是
（k是整数）
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解
则通解是
（x0,y0可用观察法）
1，求二元一次方程的正整数解：
1出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值
2用观察法直接写出。
第二部分典例精析
例1求方程5x－9y=18整数解的能通解
例2求方程5x+6y=100的正整数解
例3甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本
第三部分典题精练
1.求下列方程的整数解
①公式法：
x+7y=4,5x－11y=3②整除法：
3x+10y=1,11x+3y=4
2.求方程的正整数解：
①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材
4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5.下列方程中没有整数解的是哪几个答：
（填编号）
34x＋2y=11,②10x－5y=70,③9x+3y=111,
④18x－9y=98,⑤91x－13y=169,⑥120x+121y=324.
6.一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分
7.用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
y=
1
4
－2
x=
第三篇二元一次方程组解的讨论
第一部分基本方法
1.二元一次方程组
的解的情况有以下三种：
1当
时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效）
2当
时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）
3当
（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
（这个解可用加减消元法求得）
2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）
第二部分典例精析
例1. 选择一组a,c值使方程组
例2. a取什么值时，方程组
的解是正数
例3. m取何整数值时，方程组
的解x和y都是整数
例4.（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒
第三部分典题精练
1.不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①
②
③
1．a取什么值时方程组
的解是正数
2．a取哪些正整数值，方程组
的解x和y都是正整数
3．要使方程组
的解都是整数，k应取哪些整数值
4．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少
第四篇用交集解题
第一部分基本方法
1.某种对象的全体组成一个集合。
组成集合的各个对象叫这个集合的元素。
例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
1．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。
2．
几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆
的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组
解的集合就是
不等式
（1）的解集x>3和不等式
（2）的解集x＞2的交集，x>3.
如数轴所示：
0 2 3
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。
把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。
（如例2）
第二部分典例精析
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
例2.有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
例3.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人数学兴趣小组共有几人
［公式一］N＝
+N（A）+N（B）－N（AB）。
例4.在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，
问：
有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球
例5.十进制中，六位数
能被33整除，求x和y的值
第三部分典题精练
1.负数集合与分数集合的交集是.等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。
2.12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝
12和30的公约数集合C＝｛ ｝，集合C是集合A和集合B的＿＿
3.某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
4.九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少
5.求符合如下三条件的两位数：
①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
6.据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人②只会打排球是几人
7.100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人
8.数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。
求参赛的总人数，只参加数学科的人数。
（本题如果改为有2人三科都参加呢）
9.
10.十进制中，六位数
能被21整除，求x,y的值（仿例5）
第五篇用枚举法解题
第一部分基本方法
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。
列举解答要注意：
1按一定的顺序，有系统地进行；
2分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
3遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
第二部分典例精析
例1.如图由西向东走，从A处到B处有几种走法
例2.写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
例3.讨论不等式ax
例4.如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数
第三部分典题精练
1.己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共个，它们是.
2.a+b=37,适合等式的非负整数解共组，它们是.
3.xyz=6,写出所有的正整数解有：
.
4.如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数.
ABCDEF
5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式。
6.除以4余1两位数共有几个
7.从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法
8. 把边长等于4的正方形各边4等分，连结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形如果改为5等分呢10等分呢
9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B（只能从北向南，从西向东），有几种走法
10. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，
则这个正整数的最小值是.
第六篇经验归纳法
第一部分基本方法
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。
例如
①由（－1）2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，……，
归纳出－1的奇次幂是－1，而－1的偶次幂是1。
②由两位数从10到99共90个（9×10），
三位数从100到999共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
…………
归纳出n位数共有9×10n－1 （个）
3由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个连续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足够次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。
（到高中，大都是用数学归纳法证明）
第二部分典例精析
例1平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点
例2．符号n！
表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘。
例如
5！
＝1×2×3×4×5。
试比较3n与（n+1）！
的大小（n是正整数）
例3．求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。
丙练习14
1．除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。
2．十进制的两位数
可记作10a1＋a2,三位数
记作100a1+10a2+a3,四位数
记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿
记作＿＿＿＿＿＿
3．由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=（）2。
4．用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①
＝（＿＿＿）2；；
－
＝（ ＿＿）2。
②
＝（＿＿＿＿）2；
＝（＿＿＿）2
5．把自然数1到100一个个地排下去：
123……91011……99100
1这是一个几位数②这个数的各位上的各个数字和是多少
6．计算
＋
＋
＋…＋
＝
（提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a是正整数，试比较aa+1和（a+1）a的大小.
8．.如图把长方形的四条边涂上红色，然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m等分,长n等分（m,n都是大于1的自然数）那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。
升级会员 