合理配餐数学建模.docx

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合理配餐数学建模

2012济南大学大学生数学建模竞赛

摘要

随着生活的发展，日常膳食营养结构的调整越来越受到人们的重视，没有一种食物含有所有的营养素，而人体是需要多种营养素共同作用的有机体，如何合理配餐来满足人体的需要成了最受关注的问题。

合理营养可维持人体的正常生理功能,促进健康和生长发育,提高机体的劳动能力、抵抗力和免疫力,有利于某些疾病的预防和治疗。

缺乏合理营养将产生障碍以至发生营养缺乏病或营养过剩性疾病（肥胖症和动脉粥样硬化等）。

根据现代营养学的研究,人体所需的各种营养素分为6类,即蛋白质、脂肪、糖类（碳水化合物）、无机盐（包括微量元素）、维生素和膳食纤维。

对这些营养素不仅有量的需求,而且各营养素之间还应有合适的配比。

本文对合理配餐问题进行了研究并建立了该问题的数学模型。

以中国居民膳食指南为科学依据，综合考虑中国人的生活饮食习惯、食物营养特点、营养卫生需求以及大众经济水平，通过求解模型为不同年龄、不同性别人群制定出具有可选择性和可执行性的一日三餐的平衡膳食方案。

通过互联网我们获得了一些常见食物的营养成分、成分含量与近期价格的资料（表8）以及不同年龄不同性别的人均营养日需求量表（表9）。

并且了解到，从营养科学的角度来讲，能使营养需求与膳食供给之间保持平衡状态，热能及各种营养素满足人体生长发育、生理及体力活动的需要，且各种营养素之间保持适宜比例的膳食，叫平衡膳食。

科学研究结果表明，营养素摄入量与其需求量之间的偏差不超过10%是合理的。

因此，根据这种理念，我们先作出了一些合理的假设，然后以天为基本周期，建立了以满足营养需求为约束条件，考虑到居民消费水平，以所花费用最低为目标函数的线性规划模型。

代入一组具体数据，求解这个模型，得出一组相应的食物摄入量（表1），可以看出其中干豆坚果类与油脂类摄入量均为0，结果不太合理。

同时实际情况中，人不可能每天摄入的营养量完全一样，有时甚至会出现较大差异，因此人均每天营养需求量并不能严格做为约束条件。

平衡膳食宝塔（图1）给出了人均每天每类食物摄入量的一个范围，一份食谱中各类事物的摄入量在平衡膳食宝塔给出的范围内浮动是合理的。

鉴于此，我们对模型Ⅰ进行了改进，定义营养摄入合理度为各种营养的实际摄入量与需求量的相对偏差的绝对值的平均值。

以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，以所需花费最少和营养摄入合理度最高为目标函数。

对这个多目标规划，我们采用熵值法将多个目标加权组合形成一个新的目标，考虑到两个目标的量纲不同，我们定义消费合理度为实际花费与人均每天饮食消费的相对偏差的绝对值，以它和营养摄入合理度的加权组合作为目标函数，以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，将模型Ⅰ优化成一个线性规划模型Ⅱ。

我们给定3组权值，得出3组饮食方案（表5）。

通过与标准值的对比，能够看出模型Ⅱ的解已基本满足需求。

再考虑地区饮食习惯和营养卫生需求，进一步优化模型，引入是否摄入食物的0-1变量与0-1常量，对是否要吃，吃多少的问题根据地方特点进行约束。

根据实际情况，考虑湖南地区孕妇、婴幼儿（0~2岁）、学龄前儿童（2~7岁）、青少年（8~16岁）、老年人（55岁以上）、成年（16岁以上55岁下正常人群）的六大人群，分别考虑不同性别的情况。

这些值通过0-1常量进行约束。

我们给出不同约束，就能得到适合湖南地区的不同人群的一天的饮食方案。

要使方案具有选择性，只需根据个人主观因素来调节相应的营养摄入合理度与消费合理度的权值。

对于新闻稿件，它的面向对象是广大居民，因此不能用太过专业的语言进行描述，而且居民关心的是该吃什么，并不是为什么要吃这些。

所以我们以《中国居民膳食指南》为主，以我们模型解得的方案为辅，给出了有选择性的膳食建议。

由于平衡膳食是一个极其复杂的问题，存在很多主观和客观的随机因素，所以在建模过程中不可避免会忽视某些次要因素。

本文所建立的模型可以推广应用于多资源分配的问题。

其中0-1规划模型在实际生活中有着广泛的使用空间，如人员分配问题，车辆运输问题等等。

关键字：

合理配餐,营养健康，节约用费，

第一部分问题的提出

合理营养是指适合各种情况（年龄、性别、健康状态等）的食物、营养素供给量和配比。

合理营养可维持人体的正常生理功能,促进健康和生长发育,提高机体的劳动能力、抵抗力和免疫力,有利于某些疾病的预防和治疗。

缺乏合理营养将产生障碍以至发生营养缺乏病或营养过剩性疾病（肥胖症和动脉粥样硬化等）。

根据现代营养学的研究,人体所需的各种营养素分为6类,即蛋白质、脂肪、糖类（碳水化合物）、无机盐（包括微量元素）、维生素和膳食纤维。

对这些营养素不仅有量的需求,而且各营养素之间还应有合适的配比。

我国营养学会在2000年推荐了合理膳食的构成指标（见附件一）。

请根据推荐指标以及价格等其他因素（根据情况自己选择）。

问题一：

请建立营养配餐模型，针对3-4岁的年龄孩子及60-70岁老人提供合理的饮食配餐。

问题二：

对于特殊需要的人群，比方说糖尿病人又该如何配餐，请查阅相关资料，建立营养配餐模型，。

问题三：

请查阅食品的价格，从节约费用的角度重新给出上述问题的配餐模型。

说明：

1.配餐时请从附录一中选择食物。

2.可以考虑部分的营养素。

第二部分问题分析

问题1的分析

根据所提供的2000年中国居民膳食营养素参考日摄入量表格我们了解到不同年龄段的人群对各种营养素的所需含量不同，通过对3-4岁的孩子及60-70岁老人提供合理的饮食配餐的研究，我们可以建立合理而且均衡的配餐模型。

因此可以使人们更合理的膳食。

该问题属于数学中的最优化问题，解决这个问题首先我们建立一个以所食用食物的总量最少为目的的配餐模型一，一般数学方法是根据题目中所提供的各种食物的名称，按照各食物所含营养素的百分比提供营养，即各种食物所提供的营养素分别累加达到不同年龄阶段的人群所需营养素的标准值。

这样就可以根据所研究营养素的种数列出相应个数的方程，转化为数学问题，以所列出方程为约束条件可以得到目标函数为食品总量最少的配餐方案。

但是因为如果每种营养素都考虑这太过于复杂，计算机条件有限，所以求解时我们只考虑蛋白质，脂肪，碳水化合物，热量，无机盐这五种营养素的约束。

其中方框内为求解时未运用约束不等式及其解释。

该问题我们还可以建立一个规划以所食用食品的种类最少为目的的配餐模型二.所列营养成分种类的方程（即约束条件）同模型一完全相同，只是目标函数为食品种类最少的配餐方案。

预测结果模型一中以食品总量最少为目地的方案所涉及到的食品种类比较多，而模型二中以食品种类最少为目地，所得结果涉及到的食品种类比较少。

两模型所得到的膳食方案都能达到合理膳食的效果。

利用lingo函数解出相应的食品摄入种类和摄入量。

问题2的分析

该问题同问题一都是属于数学中的最优化问题，通过资料（详见附录四）我们了解到我国的糖尿病高发于45-50岁之间，因此我们可以以45岁的中劳动男性为例建立数学模型。

解决该问题我们可以建立一个以所食用食物的总量最少为目的的配餐模型一，根据题目中所提供的各种食物的名称，按照所含营养物质的百分比提供营养成分，即各种累加达到该年龄的中劳动男性所需营养成分的标准值。

根据所研究营养成分的种数列出相应个数的方程，同样转化为几何问题，以所列出方程为约束条件可以得到目标函数为食品总量最少的配餐方案。

因为糖尿病人的特殊性因此求解时我们只考虑蛋白质，脂肪，碳水化合物，热量，这四种营养素的约束。

类比问题一我们还可以建立一个规划以所食用食物的总类最少为目的的配餐模型二.所列营养成分种类的方程（即约束条件）同模型I完全相同，只是目标函数为食品种类种类最少的配餐方案。

预测结果合理膳食的食物种类有了一定程度的变化，例如，含糖成分高的水果及谷类食物会减少，含糖成分低的蔬菜和干豆类会增加。

模型一和模型二因为目标函数的变化而得到食物种类不同的合理膳食方案。

利用lingo函数解出相应的食物摄入量类和摄入种类。

问题3的分析

问题引入了食品的价格，而且要求从节约费用的角度合理配餐，我们需要通过市场调查收集一天之内所需食品的市场价格（详见附录二）。

此问题我们以3—4岁男孩为例，并且该问题同问题一和问题二一样是标准线性规划中的最优化问题，解决这个问题我们只须以花费最少为目的建立最优解模型。

首先，建立目标函数，此问题就是建立所需食物用量的花费总和最少为目标函数。

然后，根据目标函数，我们罗列出受限制的约束条件，在约束条件范围内，我们找到最优解，即得到了所研究的合理膳食的成分。

同样求解时我们只考虑蛋白质，脂肪，碳水化合物，热量，无机盐这五种营养素的约束不等式及其解释。

其中方框内为求解时未运用约束不等式及其解释，预测结果价格便宜的谷类和豆类量会多一些，而价格稍高的走兽类和鱼类会相应的少一些。

使用lingo函数求出结果比较。

第三部基本的假设

假设一：

问题一中各年龄段中人群的健康状况良好，所需营养均衡，对各种摄入

的食物没有过敏反应，无偏食和挑食现象。

假设二：

各类食物全部新鲜，食物中所含营养成分及比例都相同。

假设三：

研究过程中所涉及到的一种人均代表该条件下的一类人。

假设四;问题二中糖尿病人理想体重（理想体重=身高（cm）-105）。

假设五：

问题三中食物价格短时间内没有变化，各食物之间价格互相没有影响。

假设六：

各类食物在生和熟的状态下各营养素的含量不变。

第四部分定义与符号说明

根据问题中所要求的合理膳食成分，我们可以设i=1,2,…,57为各种食物名称，j=1,2,…,8为各种营养素名称，

（以百克为单位）为各种食物摄入量，

（i=1,2,…,57）为0—1变量吃或没吃，

为第i（i=1,2,…,57）种食物每百克中所含第j（j=1,2,…,8）营养素的含量，

为第i种食物每百克的价格，以下为详细定义：

i=1,2,…,6:

分别表示谷类中的大米小米高粱米玉署黍大麦仁面粉

i=7,8,…,14：

分别表示干豆类中的黄豆（大豆）青豆黑豆赤小豆绿豆花豇豆豌豆蚕豆

i=15,16,…,25:

分别表示叶菜类中的黄花菜（鲜金针菜）黄花（金针菜）菠菜韭菜苋菜油菜（胡菜）大白菜小白菜洋白菜（椰菜）香菜（芫荽）芹菜茎

i=26,27,…,37：

分别表示茄瓜果类中的南瓜西葫芦瓠子（龙蛋瓜）茄子丝瓜（布瓜）茄子冬瓜西瓜甜瓜菜瓜（地黄瓜）黄瓜西红柿（西红柿）

i=38,39,…,46：

分别表示水果类中的柿枣苹果香蕉梨杏李桃樱桃葡萄

i=47,48,…,52:

分别表示走兽类中的牛肉牛肝羊肉羊肝猪肉猪肝

i=53,54,…,57:

分别表示鱼类中的鲫鱼鲤鱼鳝鱼带鱼黄花鱼（石首鱼）

j=1,2,…,8分别表示蛋白质脂肪碳水化合物热量无机盐钙磷铁

第五部分模型的建立与求解

5.1问题一的模型建构

根据问题中的约束条件优化模型，设，

为各种食物摄入量,

为第i（i=1,2,…,57）种食物每百克中所含第j（j=1,2,…,8）营养素的含量，引入0—1变量

，若选择吃食物i，记

=1，否则记

=0。

因为模型二与模型一类似，所以只对模型一求解.

模型一：

依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数：

minZ=

（11a.0）

约束条件：

（11a.1）

（11a.2）

（11a.3）

（11a.4）

（11a.5）

（11a.6）

（11a.7）

（11a.8）

目标函数（11a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（11a.1）为满足3—4岁男孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（11a.2）为满足3—4岁男孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自XX百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即1350*25%/9=37.5——1350*30%/9=45。

约束条件（11a.3）为满足3—4岁男孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自XX百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比再除以4，即1350*62.5%/4=188.6625——1350*55.9%/4=210.9375.

约束条件（11a.4）为满足3—4岁男孩对能量摄入量的约束。

约束条件（11a.5）为满足3—4岁男孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自XX百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

约束条件（11a.6）为满足3—4岁男孩对钙摄入量的约束。

约束条件（11a.7）为满足3—4岁男孩对磷摄入量的约束。

约束条件（11a.8）为满足3—4岁男孩对铁摄入量的约束。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1（中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：

依据摄入食物种类最少建立模型

目标函数：

minZ=

（11b.0）

约束条件：

（11b.1）

（11b.2）

（11b.3）

（11b.4）

（11b.5）

（11b.6）

（11b.7）

（11b.8）

目标函数（11b.0）为满足摄入食物种类最少。

约束条件（11b.1）为满足3—4岁男孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（11b.2）为满足3—4岁男孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自XX百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即1350*25%/9=37.5——1350*30%/9=45。

约束条件（11b.3）为满足3—4岁男孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自XX百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即1350*62.5%/4=188.6625——1350*55.9%/4=210.9375.

约束条件（11b.4）为满足3—4岁男孩对能量摄入量的约束。

约束条件（11b.5）为满足3—4岁男孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自XX百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

约束条件（11b.6）为满足3—4岁男孩对钙摄入量的约束。

约束条件（11b.7）为满足3—4岁男孩对磷摄入量的约束。

约束条件（11b.8）为满足3—4岁男孩对铁摄入量的约束。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1（中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

5.11.2模型的求解

模型一为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，所以采用lingo编程求解，得到最优值minZ=3.327204（百克）

具体的所摄入食物种类以及质量如表11-21所示

表11-21模型一下所摄入食物种类以及质量表

所需食品种类

所需食品的量

高粱米

1.918499

青豆

1.408705

总共需要两种食品，总量为3.327204（百克）

模型一：

依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数：

minZ=

（12a.0）

约束条件:

（12a.1）

（12a.2）

（12a.3）

（12a.4）

（12a.5）

（12a.6）

（12a.7）

（12a.8）

目标函数（12a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（12a.1）为满足3—4岁女孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（12a.2）为满足3—4岁女孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自XX百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即1300*25%/9=36.111——1300*30%/9=43.333。

约束条件（12a.3）为满足3—4岁女孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自XX百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即1300*62.5%/4=181.675——1300*55.9%/4=203.125.

约束条件（12a.4）为满足3—4岁女孩对能量摄入量的约束。

约束条件（12a.5）为满足3—4岁女孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自XX百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

约束条件（12a.6）为满足3—4岁女孩对钙摄入量的约束。

约束条件（12a.7）为满足3—4岁女孩对磷摄入量的约束。

约束条件（12a.8）为满足3—4岁女孩对铁摄入量的约束。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1（中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：

依据摄入食物种类最少建立模型

目标函数：

minZ=

（12b.0）

约束条件:

（12b.1）

（12b.2）

（12b.3）

（12b.4）

（12b.5）

（12b.6）

（12b.7）

（12b.8）

目标函数（12b.0）为满足摄入种类总量最少。

约束条件（12b.1）为满足3—4岁女孩对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（12b.2）为满足3—4岁女孩对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自XX百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即1300*25%/9=36.111——1300*30%/9=43.333。

约束条件（12b.3）为满足3—4岁女孩对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的62.5%—55.9%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自XX百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即1300*62.5%/4=181.675——1300*55.9%/4=203.125.

约束条件（12b.4）为满足3—4岁女孩对能量摄入量的约束。

约束条件（12b.5）为满足3—4岁女孩对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自XX百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

约束条件（12b.6）为满足3—4岁女孩对钙摄入量的约束。

约束条件（12b.7）为满足3—4岁女孩对磷摄入量的约束。

约束条件（12b.8）为满足3—4岁女孩对铁摄入量的约束。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1（中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

5.12.2模型的求解

模型一为优化模型并且是一个线性规划模型，约束条件是线性不等式，所以采用lingo编程求解，得到最优值minZ=3.197116（百克）

具体的所摄入食物种类以及质量如表12-21所示

表12-21模型一下所摄入食物种类以及质量表

所需食品种类

所需食品的量

高粱米

1.786699

青豆

1.410417

总共需要两种食品，总量为：

3.197116（百克）

模型一：

依据摄入食物总量最少建立模型

目标函数：

minZ=

（13a.0）

约束条件;

（13a.1）

（13a.2）

（13a.3）

（13a.4）

（13a.5）

（13a.6）

（13a.7）

（13a.8）

目标函数（13a.0）为满足摄入食物总量最少。

约束条件（13a.1）为满足60-70岁极轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（13a.2）为满足60-70岁极轻劳动男子对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自XX百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即2000*25%/9=44.444——2000*30%/9=55.555。

约束条件（13a.3）为满足60-70岁极轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自XX百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即2000*62.5%/4=303——2000*55.9%/4=336.5.

约束条件（13a.4）为满足60-70岁极轻劳动男子能量摄入量的约束。

约束条件（13a.5）为满足60-70岁极轻劳动男子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自XX百科），所以无机盐的需求摄入量为钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼摄入量的加和。

约束条件（13a.6）为满足60-70岁极轻劳动男子对钙摄入量的约束。

约束条件（13a.7）为满足60-70岁极轻劳动男子对磷摄入量的约束。

约束条件（13a.8）为满足60-70岁极轻劳动男子对铁摄入量的约束。

其中各种营养素的摄入量的数据来自附件1（中国居民膳食营养素参考日摄入量）。

模型二：

依据摄入食物种类最少建立模型

目标函数：

minZ=

（13b.0）

约束条件;

（13b.1）

（13b.2）

（13b.3）

（13b.4）

（13b.5）

（13b.6）

（13b.7）

（13b.8）

目标函数（13b.0）为满足摄入食物种类最少。

约束条件（13b.1）为满足60-70岁极轻劳动男子对蛋白质摄入量的约束。

约束条件（13b.2）为满足60-70岁极轻劳动男子对脂肪摄入量的约束，因为脂肪能量占总能量（以千卡为单位）的25%—30%，其中每克脂肪产热9千卡（来自XX百科），所以脂肪的需求量等于能量的需求量乘以脂肪能量占能量百分比再除以9，即2000*25%/9=44.444——2000*30%/9=55.555。

约束条件（13b.3）为满足60-70岁极轻劳动男子对碳水化合物摄入量的约束，因为碳水化合物占能量（以千卡为单位）的67.3%—60.6%，其中每克碳水化合物产热4千卡（来自XX百科）所以碳水化合物的需求量等于能量的需求量乘以碳水化合物占能量百分比在除以4，即2000*62.5%/4=303——2000*55.9%/4=336.5.

约束条件（13b.4）为满足60-70岁极轻劳动男子能量摄入量的约束。

约束条件（13b.5）为满足60-70岁极轻劳动男子对无机盐摄入量的约束，因为无机盐是无机化合物中的盐类，其中大量元素有钙，磷，钾，钠，铁，镁，锌，硒，碘，铜，氟，铬，锰，钼等（来自