浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题4 相似三角形解析版.docx

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浙教版九年级下册数学期末高效复习专题4相似三角形解析版

期末高效复习　

专题4　相似三角形

题型一　比例线段、平行线分线段成比例定理

例1　如图1，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的长等于____．

图1

【解析】∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CE＝BE－BC＝12－＝.

【点悟】　利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用＝，＝等关系分段寻找．

变式跟进

1．[2019·镇江]如图2，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点落在边BC上，已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为__2＋__．

图2

【解析】①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有＝；②由题意可得BE＝BE′＝5，BD＝BD′＝BC－D′C＝BC－4，AB＝6.设BC＝x，由①，②可列方程：

＝，解得x＝2＋（负值舍去），故BC的长为2＋.

题型二　相似三角形的判定

例2　[2019·祁阳期末]已知：

如图3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.

图3

求证：

∠C＝∠E.

证明：

在△ABE和△ADC中，∵AB·AC＝AD·AE，

∴＝，又∵∠1＝∠2，

∴△ABE∽△ADC，

∴∠C＝∠E.

【点悟】　判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角（用判定3）或找夹边成比例（用判定2）；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．

变式跟进

2．[2019·随州]在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__或__时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】∵∠A＝∠A，分两种情况：

①当＝时，△ADE∽△ABC，即＝，∴AE＝；②当＝时，△ADE∽△ACB，即＝，∴AE＝.综上所述，当AE＝或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．

3．[2019·嘉兴模拟]已知：

如图4，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连结MN.

图4

（1）求证：

△ABM∽△NDA；

（2）连结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，

∵BM，DN分别是正方形的两个外角平分线，

∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，

∴∠BAM＝∠AND＝45°－∠DAN，

∴△ABM∽△NDA；

（2）当∠BAM＝22.5°时，四边形BMND为矩形．

证明：

∵∠BAM＝22.5°，∠EBM＝45°，

∴∠AMB＝22.5°，∴∠BAM＝∠AMB，

∴AB＝BM，同理AD＝DN，

∵AB＝AD，∴BM＝DN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，

∴∠BDN＝∠DBM＝90°，

∴∠BDN＋∠DBM＝180°，∴BM∥DN，

∴四边形BMND为平行四边形，

∵∠BDN＝90°，∴四边形BMND为矩形．

题型三　相似三角形的性质

例3　如图5，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′＝__－1__．

图5

【解析】设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2，∵AB＝，∴A′B＝1，∴AA′＝AB－A′B＝－1.

【点悟】　

（1）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；

（2）相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比．

变式跟进

4．[2019·自贡]如图6，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__1__．

图6

【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝.∵AM＝1，MB＝2，BC＝3，∴＝，解得MN＝1.

5．如图7，有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：

BC＝8cm，高AD＝12cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G，H分别在AC，AB上，设HE的长为ycm，EF的长为xcm.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）当x取多少时，四边形EFGH是正方形？

图7

解：

（1）∵BC＝8cm，高AD＝12cm，HE的长为ycm，EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，

∴AK＝AD－y＝12－y，HG＝EF＝x，HG∥BC，

∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，

∴y＝12－x；

（2）由

（1）可知，y与x的函数关系式为y＝12－x，

∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y，

∴x＝12－x，解得x＝.

答：

当x＝时，四边形EFGH是正方形．

题型四　位似图形及其画法

例4　如图8，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（　C　）

图8

A.，，

B．（8，6），（6，2），（2，4）

C．（8，6），（6，2），（2，4）或（－8，－6），（－6，－2），（－2，－4）

D．（8，－6），（6，－2），（2，－4）或（－8，6），（－6，2），（－2，4）

【解析】由坐标系可知，点A，点B，点C的坐标分别为（4，3），（3，1），（1，2），∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（4×2，3×2），（3×2，1×2），（1×2，2×2）或（－4×2，－3×2），（－3×2，－1×2），（－1×2，－2×2），即（8，6），（6，2），（2，4）或（－8，－6），（－6，－2），（－2，－4）．

【点悟】　如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于k或－k.

变式跟进

6．[2019·烟台]如图9，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是．

图9

【解析】由题意，将点B的横、纵坐标都乘以－，得点B′的坐标．由B的坐标（3，－2），得B′的坐标.

7．如图10，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，－4），B（3，－2），C（6，－3）．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1；

（3）求出A2，B2，C2三点的坐标．

图10　　第7题答图

解：

（1）如答图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如答图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）A2（3，6）；B2（5，2）；C2（11，4）．

题型五　相似三角形的综合

例5　[2019·泰安]如图11，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.

（1）证明：

∠BDC＝∠PDC；

（2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．

图11　　例5答图

解：

（1）证明：

∵AB＝AD，AC平分∠BAD，

∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°，

∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，

∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°，

∴∠BDC＝∠PDC；

（2）如答图，过点C作CM⊥PD于点M，

∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM，

∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，

∴△CPM∽△APD，∴＝，

设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，

∴PC＝x，∵AB＝AD＝AC＝1，

∴＝，解得x＝，∴AE＝1－＝.

变式跟进

8．[2019·甘肃]如图12，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：

△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：

△BPE∽△CEQ，并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．

图12

解：

（1）证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，

∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，

∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，

即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，

∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，

∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，

∴＝，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，

∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3，∴BC＝6.

过关训练

1．[2019·兰州模拟]若△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝6cm，A′B′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　D　）

A．1∶2　B．2∶1C．1∶4D．4∶1

【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝6cm，A′B′＝3cm，∴其相似比＝＝＝，∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（AB∶A′B′）2＝4∶1.

2．[2019·常熟期末]如图1，△ABC中，D，E分别在AB，AC上，下列条件中不能判断△ADE∽△ACB的是（　D　）

A．∠ADE＝∠CB．∠AED＝∠B

C.＝D.＝

图1　　图2

3．[2019·潍坊]如图2，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：

__∠A＝∠BFD（答案不唯一，合理即可）__，可以使△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）

【解析】∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴＝＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED＝∠B.故要使△FDB与△ADE相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可．

4．[2019·六盘水]如图3，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连结OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝____．

图3　　第4题答图

【解析】如答图，过O点作OM∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OM是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4，∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴＝，∴＝，∴AF＝.

5．如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝45°.

（1）求证：

△ABD∽△DCE；

（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．

图4

解：

（1）证明：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝45°，

又∵∠DEC＝∠ADE＋∠CAD＝45°＋∠CAD，

同理∠ADB＝∠C＋∠CAD＝45°＋∠CAD，

∴∠DEC＝∠ADB，又∵∠B＝∠C＝45°，

∴△ABD∽△DCE；

（2）∵AB＝2，∴BC＝2，

∵△ABD∽△DCE，∴