1、浙教版九年级下册数学期末高效复习 专题4 相似三角形解析版期末高效复习专题4相似三角形题型一比例线段、平行线分线段成比例定理例 1如图1,已知ABCDEF,ADAF35,BE12,那么CE的长等于_图1【解析】 ABCDEF,即,BC,CEBEBC12.【点悟】利用平行线分线段成比例定理解题时,要注意找好对应线段,通常用,等关系分段寻找变式跟进12019镇江如图2,ABC中,AB6,DEAC,将BDE绕点B顺时针旋转得到BDE,点D的对应点落在边BC上,已知BE5,DC4,则BC的长为_2_图2【解析】 由条件“DEAC”可得BDEBAC,即有;由题意可得BEBE5,BDBDBCDCBC4,A
2、B6.设BCx,由,可列方程:,解得x2(负值舍去),故BC的长为2.题型二相似三角形的判定例 22019祁阳期末已知:如图3,12,ABACADAE.图3求证:CE.证明:在ABE和ADC中,ABACADAE,又12,ABEADC,CE.【点悟】判定三角形相似的几条思路:(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理;(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角(用判定3)或找夹边成比例(用判定2);(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;(4)条件中若有一对直角,可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例;(5)条件中若有等腰关系,可找顶角相等,可找一对底角相等,也可找底和腰对应成比
3、例变式跟进22019随州在ABC中,AB6,AC5,点D在边AB上,且AD2,点E在边AC上,当AE_或_时,以A,D,E为顶点的三角形与ABC相似【解析】 AA,分两种情况:当时,ADEABC,即,AE;当时,ADEACB,即,AE.综上所述,当AE或时,以A,D,E为顶点的三角形与ABC相似32019嘉兴模拟已知:如图4,四边形ABCD是正方形,PAQ45,将PAQ绕着正方形的顶点A旋转,使它与正方形ABCD的两个外角EBC和FDC的平分线分别交于点M和N,连结MN.图4(1)求证:ABMNDA;(2)连结BD,当BAM的度数为多少时,四边形BMND为矩形,并加以证明解:(1)证明:四边形
4、ABCD是正方形,ABCADCBAD90,BM,DN分别是正方形的两个外角平分线,ABMADN135,MAN45,BAMAND45DAN,ABMNDA;(2)当BAM22.5时,四边形BMND为矩形证明:BAM22.5,EBM45,AMB22.5,BAMAMB,ABBM,同理ADDN,ABAD,BMDN,四边形ABCD是正方形,ABDADB45,BDNDBM90,BDNDBM180,BMDN,四边形BMND为平行四边形,BDN90,四边形BMND为矩形题型三相似三角形的性质例 3如图5,把ABC沿AB边平移到ABC的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是ABC的面积的一半,若AB,则
5、此三角形移动的距离AA_1_图5【解析】 设BC与AC交于点E,由平移的性质知,ACAC,BEABCA,SBEASBCAAB2AB212,AB,AB1,AAABAB1.【点悟】(1)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比变式跟进42019自贡如图6,在ABC中,MNBC,分别交AB,AC于点M,N,若AM1,MB2,BC3,则MN的长为_1_图6【解析】 MNBC,AMNABC,.AM1,MB2,BC3,解得MN1.5如图7,有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件,已知:BC8 cm,高AD12 cm,矩形EFGH
6、的边EF在BC边上,G,H分别在AC,AB上,设HE的长为y cm,EF的长为x cm.(1)写出y与x的函数关系式;(2)当x取多少时,四边形EFGH是正方形?图7解:(1)BC8 cm,高AD12 cm,HE的长为y cm,EF的长为x cm,四边形EFGH是矩形,AKADy12y,HGEFx,HGBC,AHGABC,即,y12x;(2)由(1)可知,y与x的函数关系式为y12x,四边形EFGH是正方形,HEEF,即xy,x12x,解得x.答:当x时,四边形EFGH是正方形题型四位似图形及其画法例 4如图8,在平面直角坐标系中有ABC,以点O为位似中心,相似比为2,将ABC放大,则它的对应
7、顶点的坐标为(C)图8A.,B(8,6),(6,2),(2,4)C(8,6),(6,2),(2,4)或(8,6),(6,2),(2,4)D(8,6),(6,2),(2,4)或(8,6),(6,2),(2,4)【解析】 由坐标系可知,点A,点B,点C的坐标分别为(4,3),(3,1),(1,2),以点O为位似中心,相似比为2,将ABC放大,则它的对应顶点的坐标为(42,32),(32,12),(12,22)或(42,32),(32,12),(12,22),即(8,6),(6,2),(2,4)或(8,6),(6,2),(2,4)【点悟】如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形与原图
8、形对应点的坐标比等于k或k.变式跟进62019烟台如图9,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1.AOB与AOB是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为32,点A,B都在格点上,则点B 的坐标是 图9【解析】 由题意,将点B的横、纵坐标都乘以,得点B的坐标由B的坐标(3,2),得B的坐标.7如图10,在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点坐标分别为A(2,4),B(3,2),C(6,3)(1)画出ABC关于x轴对称的A1B1C1;(2)以M点为位似中心,在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2,使A2B2C2与A1B1C1的相似比为21;(3)求出A2,B2,C2三点的坐标图10 第7题
9、答图解:(1)如答图所示,A1B1C1即为所求;(2)如答图所示,A2B2C2即为所求;(3)A2(3,6);B2(5,2);C2(11,4)题型五相似三角形的综合例 52019泰安如图11,四边形ABCD中,ABACAD,AC平分BAD,点P是AC延长线上一点,且PDAD.(1)证明:BDCPDC;(2)若AC与BD相交于点E,AB1,CECP23,求AE的长图11 例5答图解:(1)证明:ABAD,AC平分BAD,ACBD,ACDBDC90,ACAD,ACDADC,PDAD,ADCPDC90,BDCPDC;(2)如答图,过点C作CMPD于点M,BDCPDC,CECM,CMPADP90,PP
10、,CPMAPD,设CMCEx,CECP23,PCx,ABADAC1,解得x,AE1.变式跟进82019甘肃如图12,ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BACEDF90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图,当点Q在线段AC上,且APAQ时,求证:BPECQE;(2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ,并求当BP2,CQ9时BC的长图12解:(1)证明:ABC是等腰直角三角形,BC45,ABAC,APAQ,BPCQ,E是BC的中点,BECE,在BPE和CQE中
11、,BPECQE(SAS);(2)ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BCDEF45,BEQEQCC,即BEPDEFEQCC,BEP45EQC45,BEPEQC,BPECEQ,BP2,CQ9,BECE,BE218,BECE3,BC6.过关训练12019兰州模拟若ABCABC,已知AB6 cm,AB3 cm,则ABC与ABC的面积比为(D)A12 B21 C14 D41【解析】 ABCABC,AB6 cm,AB3 cm,其相似比,ABC与ABC的面积比(ABAB)241.22019常熟期末如图1,ABC中,D,E分别在AB,AC上,下列条件中不能判断ADEACB的是(D)AADEC BAED
12、BC. D.图1 图232019潍坊如图2,在ABC中,ABAC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC3AD,AB3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:_ABFD(答案不唯一,合理即可)_,可以使FDB与ADE相似(只需写出一个)【解析】 AC3AD,AB3AE,又AA,ADEACB,AEDB.故要使FDB与ADE相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可42019六盘水如图3,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在BA的延长线上取一点E,连结OE交AD于点F.若CD5,BC8,AE2,则AF_图3 第4题答图【解析】 如答图,过O点作OMAD,四边形ABCD是平行四边形,OBOD,OM是ABD的中位线,AMBMAB,OMBC4,AFOM,AEFMEO,AF.5如图4,在ABC中,BAC90,ABAC,点D,E分别在BC,AC上,且ADE45.(1)求证:ABDDCE;(2)若AB2,BD1,求CE的长图4解:(1)证明:BAC90,ABAC,BC45,又DECADECAD45CAD,同理ADBCCAD45CAD,DECADB,又BC45,ABDDCE;(2)AB2,BC2,ABDDCE,
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