教学内容用函数观点看方程组与不等式.docx
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教学内容用函数观点看方程组与不等式
学科：
数学
教学内容：
用函数观点看方程（组）与不等式
新课指南
1．知识与技能：
能通过函数图象获取信息，发展形象思维．
2．过程与方法：
经历猜想、发现、比较、归纳的过程，探究出解决问题的方法，用函数的观点看一元一次方程、二元一次方程组、不等式，发展学生的数学应用能力．
3．情感态度与价值观：
通过体会方程（组）、不等式与函数的关系，建立良好的知识联系，充分体会函数知识与方程（组）、不等式和相关几何知识的联系，培养学生用恰当的数学思想方法来解决问题，要理解数学知识来源于实际生活，又反过来服务于生活．
4．重点与难点：
重点是利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系、函数与不等式的关系，建立良好的知识联系．难点是利用函数图象解决实际问题．
教材解读
数学与生活
一个有进水管与出水管的容器，单位时间内进出的水量都是一定的．设从某时刻开始的4分内只进水不出水，在随后的8分内既进水又出水，容器内的水量y（升）与时间x（分）之间的关系如图11－37所示．
（1）求0≤x≤4时,y随x变化的函数关系式；
（2）求4﹤x≤12时，y随x变化的函数关系式；
（3）每分进水、出水各多少升？
思考讨论从图象上可以看到，4分水量从0增加到20升，则每分进水：
20÷4=5（升），
则y随x变化的函数关系式是y=5x（0≤x≤4），也可以设为0≤x≤4，y随x变化的函数关系式是y=kx（k≠0），当x=4时，y=20，代入关系式即可求出k，进而求出函数关系式．由此我们发现，有些问题可以用方程来解答，也可以从函数的观点来解决，如问题
（1）.那么另外的两个问题你也会用上述方法解决吗？
知识详解
知识点1两条直线的交点
两个一次函数图象的交点表示点在两条直线上的横坐标相同，纵坐标也相同．例如：
求直线y＝x与y=3x-4的交点，就可以把两个二元一次方程组成方程组
解得
∴两条直线的交点坐标为（2，2）.那么，我们也可以在坐标系内画出这两条直线的图象，如图11－38所示，观察两条直线的交点，正是（2，2）．
知识点2利用一次函数解决实际问题
一次函数是刻画现实世界物质之间关系的最为简单的一个模型，其应用比比皆是，十分广泛．如天平、弹簧秤、杆秤，以及测量气压、血压、温度等有关仪器，它们都是应用一次函数的实例，这也是用函数的观点看待方程（组）与不等式等知识的实例．
探究交流
？
如图11－39所示，l甲，l乙分另表示甲、乙两．弹簧的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg的物体，伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的大小关系为（）
A．k甲＞k乙B．k甲=k乙
C．k甲﹤k乙D．不能确定
点拨从图象上观察到，l甲与横轴所夹锐角比l乙与横轴所夹锐角大，故k甲＞k乙，故选A项．
知识点3近似函数关系式
我们通常采用待定系数法来确定函数关系式，但实际生活中存在的数量关系错综复杂，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们之间是什么函数关系．因此需要根据经验分析，并进行近似计算，建立比较接近的函数关系进行研究．
例如：
某区2000年统计了该区男学生各年龄组的身高，相关数据如下表所示，求平均身高h（厘米）随年龄组n（岁）变化的近似函数关系式，
年龄组n/岁
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
男生平均身高h/厘米
1115.2
118.5
123.4
128.6
133.1
138.2
143.7
148.9
154.2
162.4
167.8
[分析]把这些数据所对应的点在坐标系中描出，如图11－40所示，我们发现，这些点大致在一条直线上，因此说h与n的关系接近于一次函数，可以用一条直线去尽可能地接近这些点，求出近似函数关系式，我们选择与直线比较近的点（8，118．5）和（15，154．2）．
解：
设近似函数关系式为h＝kn+b，将（8，118．5）和（5，154．2）代入得
∴
∴近似函数关系式为h=5．1n+77．7．
【说明】此题也可选择其他两点来确定近似函数关系式.
典例剖析
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括：
（1）通过函数图象获取信息；
（2）利用函数图象解决实际问题．
例1如图11－41所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快（）
A．2．5米B．2米C．1．5米D．l米
[分析]由图象可知，OA表示正比例函数，经过点A（8，64）和原点O（0，0），BA表示一次函数，经过点A（8，64）和B（0，12）求出函数表达式，就能判断两者的速度大小．
该直线OA的表达式为s=v1t．
直线BA的表达式为s＝12+v2t．
将点（8，64）分别代入，得64=8v1，64=8v2+12．
∴v1=8，v2=6．5．
∴v1-v2＝8-6．5＝1．5（米／秒）．
故正确答案为C项．
小结一次函数在表示路程和时间的关系时，图象与横轴（时间）所夹的锐角越大，表明速度越大，反之，所夹锐角越小，表明速度越小，因此，也可由图象判断速度的快慢.
例2A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往张村和李庄，从A城运往张村、李庄的运费分别是20元／吨与25元/吨，从B城运往张村、李庄的运费分别为15元，／吨和22元／吨，现已知张村需要220吨，李庄需要280吨，如果某个个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运运费最少？
[分析]先求出总费用与选择的自变量之间的函数关系式，再求最小值．
解：
两城现有的化肥数量恰好等于两地所需的化肥数量．
设A城化肥运往张村x吨，则运往李庄（200-x）吨，B城化肥运往张村（220-x）吨，运往李庄［280-（200-x）］=80+x（吨）,总运费为y元，根据题意，得
y=20x+25（2O0-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060.
其中0≤x≤200，∴当x=0时，y最小值=10060．
此时200-x=200（吨），220-x=220（吨），80+x=80+0=80（吨）．
答：
最少运费的调运方案是从A城运往李庄200吨，从B城运往张村220吨，运往李庄80吨，此时最少运费为10060元．
综合应用题
本节知识的综合应用包括：
（l）与方程知识的综合应用；
（2）与代数知识的综合应用．
例3某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品，从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品．
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y（吨）与从乙开始投产后所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束后，甲、乙两生产线的总产量相同；
（2）在直角坐标系中作出上述两个函数在第一象限内的图象，观察图象分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高．
[分析]此题涉及求解析式及函数与方程的关系，并利用一次函数的图象解决实际问题．
解：
（1）由题意可知，甲生产线生产时对应的函数关系式为y=20x+100．
乙生产线生产时对应的函数关系式为y=30x．
令20x+200=30x，解得x=20．
∴当第20天结束时，两条生产线的总产量相同．
（2）由
（1）可知，甲生产线所对应的函数图象一定经过两点A（0，200），B（0，600），乙生产线所对应的函数图象一定经过两点O（0，0）和B（20，600），画出两个函数图象如图11－42所示．
由图象可知，第15天结束时，甲生产线的总产量高；
第25天结束时，乙生产线的总产量高．
学生做一做随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂，某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量x（万个）与单价y1（万元）之间的函数关系如图11－43所示，需求量x（万个）与单价y2（万元）之间的函数关系也如图11－43所示，如果你是这个电子工厂厂长，应计划生产这种计算器多少个，每个售价多少元，才能使市场达到供需平衡？
老师评一评本题涉及求一次函数解析式及方程的有关知识．
由题意设供应线y1=k1x+b1，需求线y2=k2x+b2,
由图象可知,y1的图象过点（0，80），（20，60）两点，
∴
∴
∴y1=-x+80.
由图象可知，y2的图象过点（0，60），（30，70）两点，
∴
∴
当供需平衡时，y1=y2.
∴
，∴x=15.
∴当x=15时，y1=y2=65.
∴生产这种计算器15万个，每1万个售价65万元（即每个售价65元）时，能使市场达到供需平衡．
探索与创新题
本题主要考查利用函数的观点来看待方程（组），利用函数图象解决实际问题．
例4（2003·黄冈）在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的抗生素．据临床观察：
如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（时）之间的关系近似地满足如图11-44所示的折线．
（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据临床观察，每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？
这个有效时间有多长？
（3）假设某病人一天中第一次注射药液是早晨6点，问怎样安排此人从6：
00到20：
00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？
[分析]
（1）此图象是由两条线段组成的，利用待定系数法可分别求出这两条线段的函数关系式；
（2）从图中发现，当y=4时，在这两条线段上都有对应的时间t，这两个时间的差就是有效时间，而正比例函数中的对应时间就是控制病情有效时间的开始；（3）利用函数图象及病人体内的药液含量求出时间．
解：
（1）当0≤t≤1时，设y=k1t，则6＝k1·1，
∴h1=6，∴y=6t.
当1﹤t≤10时，设y=k2t+b，
∴
∴
∴y=-
.
∴y与x之间的函数关系式是
y=
（2）当0≤t≤1时，令y=4，即6t=4，∴t=
；
当1﹤t≤10时，令y=4，即-
t+
=4,∴t=4.
∴注射药液
小时后开始有效，有效时间长为4-
（时）.
（3）设第二次注射药液的时间是t1小时后，
则-
t+
=4,∴t1=4（时）.
∴第二次注射药液的时间是10：
00.
设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液t2小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和,
∴-
t2+
（t2-4）+
=4,∴t2=9（时）.
∴第三次注射药液的时间是15：
00.
设第四次注射药液的时间是在第一次注射药液t3小时后，此时体内不再含有第一次注射的药液（∵t﹥10），体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和，
∴-
（t3-4）+
（t3-9）+
=4,
∴t3=13
（时）.
∴第四次注射药液的时间是19：
30．
∴安排此人注射药液的时间分别是6：
00，10：
00，15：
00，19：
30．这样安排才能使病人的治疗效果最好．
中考展望
中考命题总结与展望
本节是一次函数的实际应用，在近几年中考中占有很大比重，许多省市的中考题都有这部分内容，尤其是用函数的观点看待方程（组）、不等式和几何知识等，利用一次函数解决实际问题，题型多样化，填空、选择、解答、综合题都有
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