分解质因数word版.docx
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分解质因数word版
分解质因数
（一）
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：
24=2×2×2×3
例题1：
把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。
一共有多少种不同的分法？
练习1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多余于15人，有几种分法？
2.甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲，乙两个数分别是多少？
例2.写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。
练习1.一个长方体的长.宽.高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的棱长之和。
2.有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4个人的年龄积是3024，问这四个孩子中最大的几岁？
例3.将下面八个数平均分成两组，使这两组书的乘积相等。
2,5,14,24,27,55,56,99
练习1.有三个自然数A.B.C，已知A×B=30，B×C=35，C×A=42，求A×B×C积是多少？
2.把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。
例4.王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生？
每人植树多少棵？
练习1、3月12日是植树节，李老师带领同学排两路人数相等的纵队去植树，已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植树了111棵数，求有多少个同学？
2、小青去看电影，他买的票的排数与座号数的积是391，而且排数比座号数大6，小青买的电影票是几排几座？
例5：
下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字和
•□□×□□=1995
练习1：
下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出完整的算式。
□□×□□=1288
练习2：
在下面算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字总和是多少？
□□
□□
作业
1.四个连续的奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？
2.把30，33，42，52，65，66，67，78，105九个数分成3组，是每个组的乘积相等，写出这三组数。
3.把一蓝苹果分给4个人，使四人的苹果数一个比一个多2，他们的苹果个数之积是1920，这篮苹果共有几个？
分解质因数
（二）
例1、三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？
练习1、如果A+B=70，A×B=1161，那么A—B等于多少？
练习2、三个质数的和是35，这三个质数的积最大是多少？
例2、一个两位数除310余37，这个数可以是（）或（）
练习1、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？
练习2、有一块长方体的场地，它是由319块1平方分米的水泥砖铺成的，求这块长方形场地的周长
例3、在乘积1000×999×998×…×3×2×1中，末尾有多少个零？
练习1、求48×625×32×435的积末尾有几个连续的零
练习2、1×2×3×……×498×499×500的末尾有几个0？
例4、用216元去买一种拖鞋，正好将钱用完。
如果每双拖鞋便宜1元，则可多买3双，钱也正好用完。
一共买了多少双拖鞋？
练习1、一个小朋友用1.8元买了一种小图片，如果每张图片的价格减少1分钱，那么他就可以多买2张，问他原来买了几张小图片？
练习2、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b平方。
求最小是多少？
例5、720的因数有多少个？
练习1、540的因数有多少个？
练习2、360与400两个数谁的因数多？
课后作业
（1）1×2×3×4×…×23×24×25的积的末尾有多少个零？
（2）三个质数数的和是62，这三个质数的积最大是多少？
（3）5个儿童的年龄和为37，积是18480。
如果每一个儿童的年龄不超过13岁。
这5个儿童的年龄各是多少
（4）975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4位数字都是0，方框内最小应该填多少？
长方体和正方体
（一）
专题简析：
在数学竞赛中，有许多有关长方体，正方体的问题，解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：
1.必须以基础概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来。
2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化。
3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
例1、一个零件形状大小如下图：
算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米。
练习1、一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，被切去了一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
练习2、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
例2、有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？
（单位：
厘米）
练习1、有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。
（单位：
厘米？
练习2、有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
例3、一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米？
练习1、把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
练习2、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
例4、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米，15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少平方厘米？
练习1、一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米，18平方厘米和8平方厘米。
这个长方体的体积是多少立方厘米？
练习2、一个长方体，前面和上面的面积之和是209立方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积是多
例5、把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米。
求大长方体的表面积。
练习1、一块小正方的表面积是6平方厘米，那么有1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
练习2、有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？
作业
1、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
2、把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它的表面积最多会减少多少平方分米？
3.一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米，21平方厘米和15平方厘米，切长、宽、高、都是质数。
这个长方体的体积是多少立方厘米？
长方体和正方体
（二）
例1、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？
练习1、有一个长方体的容器，从里面量长5分米，宽4分米，高6分米，里面注有水，水深3分米，如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
练习2、有一个小金鱼缸，长4分米，宽3分米，水深2分米，把一个小块假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是多少立方分米？
例2、将表面积分别为54平方厘米，96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积？
练习1、有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体，求它的体积。
练习2、把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少平方分米？
例3、一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块。
这时容器的水深0.5米。
如果把铁块取出，容器里的水深多少厘米？
练习1、有一块边长是5厘米的正方形铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。
取出铁块后，水面下降了0.5厘米。
这长方体容器的底面积是多少平方厘米？
练习2、有一个长方体冰箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。
放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。
这时水面高多少厘米？
例4、有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左边竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
练习1、有两个长方体水缸，甲缸长3分米、宽和高都是2分米，乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。
现在把乙水缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？
练习2、有一块边长2分米的正方体铁块，现把它锻造成一根长方体，这个长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长？
作业：
1、有一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。
现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？
2、将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长为13厘米，宽
7厘米，求它的高?
3.有两个水池，甲水池长8分米，宽6分米，水深3分米，乙水池空着，它长6分米，宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两水池中水面同样高。
求水面高多少分米？
长方体和正方体综合复习
【典型例题】
例1、把棱长为9厘米的正方体切成棱长为3厘米的正方体若干个，则表面积增加了多少平方厘米？
例2、如图所示，一个棱长为10厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体（都和对面打通）。
求这个立体图形的体积和表面积。
例3、用12个长6厘米，宽4厘米，高5厘米的长方体码成一个表面积最小的长方体。
码放后得到的这个长方体的表面积是多少平方厘米？
例4、要砌一个高为1米的砖垛，每层都按下图所示的样子来砌。
现已知每块砖的厚度为10厘米，每两块砖之间的灰膏的厚度为1.25厘米，问砌好的这个砖垛共要用多少块砖？
例5、有一个长方体的底面是一个正方形，如果高减少5厘米后就变成一个正方体，表面积比原来减少120平方厘米。
求原来长方体的表面积和体积是多少？
例6、有七个相同的正方体拼成一个长方体的表面积为120平方厘米，去每个正方体的体积和表面积？
例7、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米，15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少平方厘米？
、
例8、一个长方体，前面和上面的面积之和是209立方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积是多少？
例9、如图，有一个空的长方体容器（容器一）和另一个水深24厘米的长方体容器（容器二），若把容器二中的水倒一部分在容器一中，使两个容器中水的深度相同，求这时水的深度是多少？
20302420
4030
容器一容器二
例10、现有大、中、小三个正方体的水缸都盛有1/2缸水，它们的内边长分别为6分米、5分米和3分米。
把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水缸的水面分别上升了0.9分米和1.5分米。
如果将这两堆碎石沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少分米？
作业
1、把一个长方体分割为一个表面积是96平方厘米的正方体和一个表面积为48平方厘米的长方体，那么原长方体的表面积是多少平方厘米？
2、如图，把一块长30分米，宽5分米，高2分米的长方体木块平均分成3块后，木块的表面积增加了多少平方分米？
3、把一个面积是7平方厘米的三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这时长方体的表面积是多少？
4、一个长方体，长a米，宽b米，高h米，如果高增加8米后，新长方体的体积比原长方体体积增加多少立方米？
5、一个正方体木块的表面积是162平方厘米，把它踞成体积相等的27个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少？
6、用长4厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体堆成一个正方体，至少要这样的长方体多少块？
长方体和正方体（3）
例1、一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少平方厘米？
练习1、把27块棱长是1厘米是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的面积之和少多少平方厘米。
练习2、把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没有涂色的面积是60平方厘米。
求涂上红色的面积一共多少平方厘米？
例2、18个边长为2厘米的小正方体堆成如图的形状，求它的表面积？
练习1、把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
练习2、有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米，宽4厘米，高2厘米，现把三块积木搭成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？
怎么样又最小？
例3、有一个正方体，棱长是3分米。
如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积和是多少？
练习1、有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长为1厘米的小正方体，一共能锯成多少个？
这些表面积和是多少？
练习2、把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？
例4、一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中？
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色有几个？
（4）六个面都没有涂色有几个？
练习1、把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色，然后切成1立方分米的小正方体，在这些小正方体中，六个面都没有涂色的有多少个？
例5一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米、若把它切成三个体积相等的小长方体，这个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？
练习1把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。
已知每个小正方体的表面积是72平方厘米，拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
小测试
1、有一个零件如图所示，则它的体积是多少？
表面积是多少？
1
1
1
13
3
2、一块长36厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边长为5厘米的正方形，将剩余部分焊接成一个盒子，已知盒子的容积是1560立方厘米，这块铁皮原来的宽是多少厘米？
3、有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是370平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为420平方厘米。
求原长方体的体积。
3、有36块体积分别为1立方分米的方块，可以拼成几种不同的长方体，写出每种长方体的长、宽、高。
4、有一个如图所示的立体图形，正中间有一边长为4的正方形孔，求该立体图形的表面积及体积。
（单位：
厘米）
3
8
9
5、现有大、中、小三个正方体的水缸都盛有1/2缸水，它们的内边长分别为6分米、5分米和3分米。
把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水缸的水面分别上升了0.9分米和1.5分米。
如果将这两堆碎石沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少分米？
6、将两个长12厘米，宽11厘米，厚5厘米的长方体木块粘合在一起，成为一个大的长方体，为了使这个长方体的表面积尽可能小，想一想该怎样粘，试求这个最小的表面积。
最大公因数
【知识要点】
1、如果a与b互质，那么（a,b）=1；[a,b]=a×b。
2、如果a是b的整数倍，那么（a,b）=b；[a,b]=a。
3、两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于这两个数的乘积，即（a,b）×[a,b]=a×b。
4、如果a＞b，那么（a-b）与b的最大公因数就等于这两个数的乘积，即（a,b）×[a,b]=a×b。
【典型例题】
例1：
某小学买来435支圆珠笔和262本笔记本，平均奖励给全校各班级评选出来的“校园明星”。
最后圆珠笔还余15支，笔记本还余10本。
该小学选出的“校园明星”最多有多少名？
每位“校园明星”得到的圆珠笔和笔记本各多少？
例2：
某工厂加工一种零件有3工序，采用流水生产的方式。
第一道工序每个工人每小时完成48个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三个工序每个工人每小时可完成28个。
在每道工序至少安排多少个工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压和停工待料。
例3：
已知两个数的最大公因数是20，最小公倍数是560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？
例4：
求被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数
例5：
三个连续自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于多少？
【请你露一手】
1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
2、两个自然数的最小公倍数是A，最大公因数是B。
已知A=2×2×3×3×5×7，B=2×3×3×5。
那么这两个自然数分别是多少？
3、已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数为15，求这两个数。
4、一位老奶奶说：
“我篮子里的鸡蛋4个4个的数正好多1个，5个5个的数正好多1个，6个6个的数还是多1个。
”你说老奶奶篮子里有多少个鸡蛋？
（篮子的鸡蛋不超过100个）
5、五
（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人。
问上体育课的同学最少多少名？
6、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？
课后作业
7、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。
现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？
一共可以截成多少段？
8、两个数的最大公因数是12，最小公倍数为420，求这两个数？
9、有一批图书，总数在1000本以内，若按24本书包一捆，最后差2本；若按28本书包一捆，最后一捆还是差2本；若按32本书包一捆，最后也是差2本。
这批图书有多少本？
10、两个数的和是70，它们的最大公因数是7，这两个数的差是多少？
11、甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数之积是1824，甲数是24，甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数各是多少？
12、有一堆巧克力，两颗一数多1颗，三颗一数多2颗，五颗一数多4颗，七颗一数多6颗。
这堆巧克力至少有多少颗？
13、把1米3分米5厘米长，1米5厘米宽的纸裁成同样大的正方形，而没有剩下的纸，这正方形最大的边长是多少？
共可以裁成几块？
最小公倍数
（一）
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积
例1、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
练习1、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
练习2、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？
例2、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
练习1、求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积？
练习2、已知两数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数？
例3、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。
有一天，他们三人恰好在图书馆相会。
问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
练习1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟一辆，而5路每隔20分钟发一辆，当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？
例4，宽12厘米，厚6厘米。
要推成正方体至少需要多少块这样的转头？
练习1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？
练习2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块推成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？
例5、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一个地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？
练习5、一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少经过几分钟三人再次从原出发点同时吃法？
家庭作业：
1、自然数的和是52，他们的最大公约数是120，这两个数各是多少？
2、已知两个数的最小公倍数是210，他们的积是1260，他们的和是72，求这两个数？
3、甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。
若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？
最小公倍数
（二）
例1、有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个自然数最小是多少？
练习1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。
六年级最少是多少？
练习2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1.这个数最少是多少？
例2、有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个：
如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个？
练习1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。
这所学校至少有多少人？
练习2、有一批乒乓球，总数在1000以内，4个装一袋，5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩一个。
这批乒乓球到底有多少个！
例3、一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200之间，问共有多少颗？
练习1、有一批树苗，9颗一捆多7颗，10颗一捆多8颗，12颗一捆多10颗。
这批树苗在150—200之间。
求共有多少颗树苗？
练习2、有一批水果，每箱放30个则多20个；每箱放35个则少10个。
这批水果至少有多少个？
例4、从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？
练习1、插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。
如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？
练习2、一行小树苗，从第一棵到最后一颗的距离是90米。
原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。
如果两端部算，中间有几棵不必移动？
例5、在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
练习1、父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后每步60厘米。
在120米内一共留下多少个脚印？
练习2、在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每个6米挂一个、黄气球每个4米挂一个、如果绿和黄气球重叠地方就挂红气球，那么，除两端外中间挂有多少个红气球？
行程问题
（一）
例1、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东西两地相距多少千米？
练习1、小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在中点120米处相遇，学校到少年宫有多少米？
练习2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米，甲乙两地相距多少千米？
例2快车和慢车同时从甲、乙两地开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米，慢车每小时行多少千米？
练习1、兄、第二人同时从学校和家中出
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