数学竞赛平面几何讲座三角形的五心.docx
《数学竞赛平面几何讲座三角形的五心.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学竞赛平面几何讲座三角形的五心.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学竞赛平面几何讲座三角形的五心
数学竞赛平面几何讲座：
三角形的五心
第五讲三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等腰△ABc底边Bc上一点P引P∥cA交AB于；引PN∥BA交Ac于N.作点P关于N的对称点P′.试证：
P′点在△ABc外接圆上.
分析：
由已知可得P′=P=B，NP′=NP
=Nc，故点是△P′BP的外心，点
N是△P′Pc的外心.有
∠BP′P=∠BP=∠BAc，
∠PP′c=∠PNc=∠BAc.
∴∠BP′c=∠BP′P+∠P′Pc=∠BAc.
从而，P′点与A，B，c共圆、即P′在△ABc外接圆上.
由于P′P平分∠BP′c，显然还有
P′B:
P′c=BP:
Pc.
例2．在△ABc的边AB，Bc，cA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△cSQ的外心为顶点的三角形与△ABc相似.
分析：
设o1，o2，o3是△APS，△BQP，
△cSQ的外心，作出六边形
o1Po2Qo3S后再由外
心性质可知
∠Po1S=2∠A，
∠Qo2P=2∠B，
∠So3Q=2∠c.
∴∠Po1S+∠Qo2P+∠So3Q=360°.从而又知∠o1Po2+
∠o2Qo3+∠o3So1=360°
将△o2Qo3绕着o3点旋转到△So3，易判断△So1≌△o2Po1，同时可得△o1o2o3≌△o1o3.
∴∠o2o1o3=∠o1o3=∠o2o1=
=
=∠Po1S=∠A；
同理有∠o1o2o3=∠B.故△o1o2o3∽△ABc.
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:
1及中线长度公式，便于解题.
例3．AD，BE，cF是△ABc的三条中线，P是任意一点.证明：
在△PAD，△PBE，△PcF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
分析：
设G为△ABc重心，直线PG与AB
Bc相交.从A，c，D，E，F分别
作该直线的垂线，垂足为A′，c′，
D′，E′，F′.
易证AA′=2DD′，cc′=2FF′，2EE′=AA′+cc′，
∴EE′=DD′+FF′.
有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PcF.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.
分析：
将△ABc简记为△，由三中线AD，BE，cF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连Hc，HF，则△′就是△HcF.
a2，b2，c2成等差数列△∽△′.
若△ABc为正三角形，易证△∽△′.
不妨设a≥b≥c，有
cF=，
BE=，
AD=.
将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得
cF=，BE=，AD=.
∴cF:
BE:
AD=:
:
=a:
b:
c.
故有△∽△′.
△∽△′a2，b2，c2成等差数列.
当△中a≥b≥c时，
△′中cF≥BE≥AD.
∵△∽△′，
∴＝2.
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.
∴=3a2=4cF2=2a2+b2-c2
a2+c2=2b2.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A1A2A3A4为⊙o内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为
△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：
H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
分析：
连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径
为R.由△A2A3A4知
=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；
由△A1A3A4得
A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.
易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，
故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为，故H1H2与A1A2关于点成中心对称.
同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与o也关于成中心对称.由o，两点，Q点就不难确定了.
例6．H为△ABc的垂心，D，E，F分别是Bc，cA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，c1，c2.
求证：
AA1=AA2=BB1=BB2=cc1=cc2.
分析：
只须证明AA1=BB1=cc1即可.设
Bc=a，cA=b，AB=c，△ABc外
接圆半径为R，⊙H的半径为r.
连HA1，AH交EF于.
A=A2+A12=A2+r2-H2
=r2+，①
又A2-H2=2-2
=AH•AH1-AH2=AH2•AB-AH2
=cosA•bc-AH2，②
而=2RAH2=4R2cos2A,
=2Ra2=4R2sin2A.
∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③
由①、②、③有
A=r2+•bc-
=-4R2+r2.
同理，=-4R2+r2，
=-4R2+r2.
故有AA1=BB1=cc1.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABc的内心，射线AI交△ABc外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′c.换言之，点A′必是△IBc之外心.
例7．ABcD为圆内接凸四边形，取
△DAB，△ABc，△BcD，
△cDA的内心o1，o2，o3，
o4.求证：
o1o2o3o4为矩形.
证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙o内接△ABc，⊙Q切AB，Ac于E，F且与⊙o内切.试证：
EF中点P是△ABc之内心.
分析：
在第20届Io中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=Ac.当AB≠Ac，怎样证明呢？
如图，显然EF中点P、圆心Q，Bc中点都在∠BAc平分线上.易知AQ=.
∵Q•AQ=Q•QN，
∴Q=
==.
由Rt△EPQ知PQ=.
∴P=PQ+Q=+=.
∴P=B.
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABc这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：
r+ra+rb+rc=2p.
式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.
分析：
设Rt△ABc中，c为斜边，先来证明一个特性：
p=.
∵p=•
=[2-c2]
=ab；
=•
=[c2-2]=ab.
∴p=.①
观察图形，可得
ra=AF-Ac=p-b，
rb=BG-Bc=p-a，
rc=c=p.
而r=
=p-c.
∴r+ra+rb+rc
=+++p
=4p-=2p.
由①及图形易证.
例10．是△ABc边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△Ac，△Bc，△ABc内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠AcB内部的旁切圆半径.证明：
•=.
分析：
对任意△A′B′c′，由正弦定理可知
oD=oA′•
=A′B′••
=A′B′•，
o′E=A′B′•.
∴.
亦即有
•=
==.
六、众心共圆
这有两种情况：
同一点却是不同三角形的不同的心；同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABcDFE中，AB=Bc，cD=DE，EF=FA.试证：
AD，BE，cF三条对角线交于一点；
AB+Bc+cD+DE+EF+FA≥A+BE+cF.
分析：
连接Ac，cE，EA，由已知可证AD，cF，EB是△AcE的三条内角平分线，I为△AcE的内心.从而有ID=cD=DE，
IF=EF=FA，
IB=AB=Bc.
再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：
BI+DI+FI≥2•.
不难证明IE=2IP，IA=2IQ，Ic=2IS.
∴BI+DI+FI≥IA+IE+Ic.
∴AB+Bc+cD+DE+EF+FA
=2
≥+
=AD+BE+cF.
I就是一点两心.
例12．△ABc的外心为o，AB=Ac，D是AB中点，E是△AcD的重心.证明oE丄cD.
分析：
设A为高亦为中线，取Ac中点
F，E必在DF上且DE:
EF=2:
1.设
cD交A于G，G必为△ABc重心.
连GE，F，F交Dc于.易证：
DG:
G=Dc:
Dc=2:
1.
∴DG:
G=DE:
EFGE∥F.
∵oD丄AB，F∥AB，
∴oD丄FoD丄GE.但oG丄DEG又是△oDE之垂心.
易证oE丄cD.
例13．△ABc中∠c=30°，o是外心，I是内心，边Ac上的D点与边Bc上的E点使得AD=BE=AB.求证：
oI丄DE，oI=DE.
分析：
辅助线如图所示，作∠DAo平分线交Bc于.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB.
利用内心张角公式，有
∠AIB=90°+∠c=105°，
∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
∵∠AB=30°+∠DAo
=30°+
=30°+
=∠BAc=∠BAI=∠BEI.
∴A∥IE.
由等腰△AoD可知Do丄A，
∴Do丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理Eo是△DIE之垂心，oI丄DE.
由∠DIE=∠IDo，易知oI=DE.
例14．锐角△ABc中，o，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距
离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.
求证：
1•d垂+2•d外=3•d重.
分析：
这里用三角法.设△ABc外接圆
半径为1，三个内角记为A，B，
c.易知d外=oo1+oo2+oo3
=cosA+cosB+cosc，
∴2d外=2.①
∵AH1=sinB•AB=sinB•=2sinB•sinc，
同样可得BH2•cH3.
∴3d重=△ABc三条高的和
=2•②
∴=2，
∴HH1=cosc•BH=2•cosB•cosc.
同样可得HH2，HH3.
∴d垂=HH1+HH2+HH3
=2③
欲证结论，观察①、②、③，
须证+=sinB•sinc+sinc•sinA+sinA•sinB.即可.
练习题
I为△ABc之内心，射线AI，BI，cI交△ABc外接圆于A′，
B′，c′.则AA′
升级会员 