数学竞赛平面几何讲座三角形的五心.docx

1、数学竞赛平面几何讲座三角形的五心数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1过等腰ABc底边Bc上一点P引PcA交AB于；引PNBA交Ac于N.作点P关于N的对称点P.试证：P点在ABc外接圆上.分析：由已知可得P=P=B，NP=NP=Nc，故点是PBP的外心，点N是PPc的外心.有BPP=BP=BAc，PPc=PNc=BAc.BPc=BPP+PPc=BAc.从而，P点与A，B，c共圆、即P在ABc外接圆上.由于PP平分BPc，显然还有PB:P

2、c=BP:Pc.例2在ABc的边AB，Bc，cA上分别取点P，Q，S.证明以APS，BQP，cSQ的外心为顶点的三角形与ABc相似.分析：设o1，o2，o3是APS，BQP，cSQ的外心，作出六边形o1Po2Qo3S后再由外心性质可知Po1S=2A，Qo2P=2B，So3Q=2c.Po1S+Qo2P+So3Q=360.从而又知o1Po2+o2Qo3+o3So1=360将o2Qo3绕着o3点旋转到So3，易判断So1o2Po1，同时可得o1o2o3o1o3.o2o1o3=o1o3=o2o1=Po1S=A；同理有o1o2o3=B.故o1o2o3ABc.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心

3、.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3AD，BE，cF是ABc的三条中线，P是任意一点.证明：在PAD，PBE，PcF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.分析：设G为ABc重心，直线PG与ABBc相交.从A，c，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A，c，D，E，F.易证AA=2DD，cc=2FF，2EE=AA+cc，EE=DD+FF.有SPGE=SPGD+SPGF.两边各扩大3倍，有SPBE=SPAD+SPcF.例4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将ABc简记为，由三中线AD，BE，cF围成的三角形

4、简记为.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连Hc，HF，则就是HcF.a2，b2，c2成等差数列.若ABc为正三角形，易证.不妨设abc，有cF=，BE=，AD=.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得cF=，BE=，AD=.cF:BE:AD=:=a:b:c.故有.a2，b2，c2成等差数列.当中abc时，中cFBEAD.，2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.=3a2=4cF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5设A1A2A3A4为o内接

5、四边形，H1，H2，H3，H4依次为A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由A2A3A4知=2RA2H1=2RcosA3A2A4；由A1A3A4得A1H2=2RcosA3A1A4.但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为，故H1H2与A1A2关于点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于点成中心对称.故四边形

6、H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与o也关于成中心对称.由o，两点，Q点就不难确定了.例6H为ABc的垂心，D，E，F分别是Bc，cA，AB的中心.一个以H为圆心的H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，c1，c2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=cc1=cc2.分析：只须证明AA1=BB1=cc1即可.设Bc=a，cA=b，AB=c，ABc外接圆半径为R，H的半径为r.连HA1，AH交EF于.A=A2+A12=A2+r2-H2=r2+，又A2-H2=2-2=AHAH1-AH2=A

7、H2AB-AH2=cosAbc-AH2，而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.由、有A=r2+bc-=-4R2+r2.同理，=-4R2+r2，=-4R2+r2.故有AA1=BB1=cc1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为ABc的内心，射线AI交ABc外接圆于A，则有AI=AB=Ac.换言之，点A必是IBc之外心.例7ABcD为圆内接凸四边形，取DAB，ABc，BcD，cDA的内心o1，o2，o3，o4.求证：o1o2o3o4为矩形.证明见中等数学19

8、92；4例8已知o内接ABc，Q切AB，Ac于E，F且与o内切.试证：EF中点P是ABc之内心.分析：在第20届Io中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=Ac.当ABAc，怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，Bc中点都在BAc平分线上.易知AQ=.QAQ=QQN，Q=.由RtEPQ知PQ=.P=PQ+Q=+=.P=B.利用内心等量关系之逆定理，即知P是ABc这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2

9、p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.分析：设RtABc中，c为斜边，先来证明一个特性：p=.p=2-c2=ab；=c2-2=ab.p=.观察图形，可得ra=AF-Ac=p-b，rb=BG-Bc=p-a，rc=c=p.而r=p-c.r+ra+rb+rc=+p=4p-=2p.由及图形易证.例10是ABc边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是Ac，Bc，ABc内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在AcB内部的旁切圆半径.证明：=.分析：对任意ABc，由正弦定理可知oD=oA=AB=AB，oE=AB.亦即有=.六、众心共圆这有两种情况：同

10、一点却是不同三角形的不同的心；同一图形出现了同一三角形的几个心.例11设在圆内接凸六边形ABcDFE中，AB=Bc，cD=DE，EF=FA.试证：AD，BE，cF三条对角线交于一点；AB+Bc+cD+DE+EF+FAA+BE+cF.分析：连接Ac，cE，EA，由已知可证AD，cF，EB是AcE的三条内角平分线，I为AcE的内心.从而有ID=cD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=Bc.再由BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：BI+DI+FI2.不难证明IE=2IP，IA=2IQ，Ic=2IS.BI+DI+FIIA+IE+Ic.AB+Bc+cD+DE+EF+F

11、A=2+=AD+BE+cF.I就是一点两心.例12ABc的外心为o，AB=Ac，D是AB中点，E是AcD的重心.证明oE丄cD.分析：设A为高亦为中线，取Ac中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设cD交A于G，G必为ABc重心.连GE，F，F交Dc于.易证：DG:G=Dc:Dc=2:1.DG:G=DE:EFGEF.oD丄AB，FAB，oD丄FoD丄GE.但oG丄DEG又是oDE之垂心.易证oE丄cD.例13ABc中c=30，o是外心，I是内心，边Ac上的D点与边Bc上的E点使得AD=BE=AB.求证：oI丄DE，oI=DE.分析：辅助线如图所示，作DAo平分线交Bc于.易证AIDAIBE

12、IB，AID=AIB=EIB.利用内心张角公式，有AIB=90+c=105，DIE=360-1053=45.AB=30+DAo=30+=30+=BAc=BAI=BEI.AIE.由等腰AoD可知Do丄A，Do丄IE，即DF是DIE的一条高.同理Eo是DIE之垂心，oI丄DE.由DIE=IDo，易知oI=DE.例14锐角ABc中，o，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1d垂+2d外=3d重.分析：这里用三角法.设ABc外接圆半径为1，三个内角记为A，B，c.易知d外=oo1+oo2+oo3=cosA+cosB+cosc，2d外=2.AH1=sinBAB=sinB=2sinBsinc，同样可得BH2cH3.3d重=ABc三条高的和=2=2，HH1=coscBH=2cosBcosc.同样可得HH2，HH3.d垂=HH1+HH2+HH3=2欲证结论，观察、，须证+=sinBsinc+sincsinA+sinAsinB.即可.练习题I为ABc之内心，射线AI，BI，cI交ABc外接圆于A，B，c.则AA