全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析
一、选择题:
1
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1)设{xn}是数列,下列命题中不正确的是()
(A)若limxn=a,则limx2n=limx2n+1=a
n→∞
n→∞
n→∞
(B)若limx2n=limx2n+1=a,则limxn=a
n→∞
n→∞
n→∞
(C)若limxn=a,则limx3n=limx3n+1=a
n→∞
n→∞
n→∞
(D)若limx3n=limx3n+1=a,则limxn=a
n→∞
【答案】(D)
n→∞
n→∞
【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系.
数列xn→a(n→∞)⇔对任意的子列{xnk}均有xnk
确;D错(D选项缺少x3n+2的敛散性),故选D
→a(k→∞),所以A、B、C正
(2)
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其2阶导函数f''(x)的图形如右图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为()
(A)0(B)1(C)2(D)3
【答案】(C)
【解析】根据拐点的必要条件,拐点可能是f''(x)不存在的点或
f''(x)=0的点处产生.所以y=f(x)有三个点可能是拐点,根据拐点的定义,即凹凸性改变的点;二阶导函数f''(x)符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知,拐点个数为2,故选
C.
(3)设
D={(x,y)x2+y2≤2x,x2+y2≤2y},函数f(x,y)在D上连续,则
⎰⎰f(x,y)dxdy=()
D
πθ2cosθ
π2sinθ
(A)(A)
0d⎰0
f(rcosθ,rsinθ)rdr+
2dθ
0
4
f(rcosθ,rsinθ)rdr
πθ2sinθ
π2cosθ
(B)(B)
0d⎰0
f(rcosθ,rsinθ)rdr+
2dθ
0
4
f(rcosθ,rsinθ)rdr
1x
(C)2dxf(x,y)dy
⎰0⎰1-
1
(D)(D)
2⎰0dx⎰x
f(x,y)dy
【答案】(B)
【解析】根据图可得,在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
D=⎧π
⎫⎧ππ⎫
1⎨(r,θ)0≤θ≤4,0≤r≤2sinθ⎬D2=⎨(r,θ)4≤θ≤2,0≤r≤2cosθ⎬
⎩⎭⎩⎭
所以
π2sinθ
π2cosθ
⎰⎰⎰0⎰0⎰π⎰0
f(x,y)dxdy=
D
故选B.
4dθ
f(rcosθ,rsinθ)rdr+
2dθ
4
f(rcosθ,rsinθ)rdr,
(4)下列级数中发散的是()
∞n∞11
(A)(A)
∑nn=1
(B)
∑
n=1
ln(1+n)
∞(-1)n+1∞n!
(C)(C)
∑
n=2
lnn
(D)
∑nn=1
【答案】(C)
A
lim
n+13n+1
=limn+1=1<1
【解析】
为正项级数,因为
n→∞n
3n
n→∞3n
,所以根据正项级数的比值
3
判别法∑
n
n收敛;B为正项级数,因为
1ln(1+1)
,根据P级数收敛准则,知
n=13
∞11
∞(-1)n+1
n
∞(-1)n∞1
å
n=1
ln(1+)收敛;C,∑
n=1
lnn
=∑
n=1
lnn
+
∑,根据莱布尼茨判别法知
n=1
∞(-1)n∞1∞(-1)n+1
∑lnn
收敛,∑lnn发散,所以根据级数收敛定义知,∑
lnn
发散;D为正项级
n=1
n=1
(n+1)!
(n+1)n+1
(n+1)!
nn
n=1
⎛n⎫n1
数,因为lim
n→∞
n!
nn
∞n!
=lim
n→∞
n!
(n+1)
=lim
n→∞⎝n+1⎭
=<1,所以根据正项级数
e
的比值判别法∑n收敛,所以选C.
n=1
⎛111⎫
⎛1⎫
ç⎪ç⎪
(5)设矩阵A=ç12a⎪,b=çd⎪.若集合Ω={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷
ç⎪
ç14a2⎪
ç2⎪
⎝⎭
多解的充分必要条件为()
⎝d⎭
(A)(A)
a∉Ω,d∉Ω(B)
a∉Ω,d∈Ω
(C)
a∈Ω,d∉Ω(D)
a∈Ω,d∈Ω
【答案】(D)
⎛1111⎫⎛1111⎫
【解析】(A,b)=ç12
ad⎪→ç01
a-1
d-1⎪
ç⎪ç⎪
ç14a2d2⎪ç00(a-1)(a-2)(d-1)(d-2)⎪
⎝⎭⎝⎭,
由r(A)=r(A,b)<3,故a=1或a=2,同时d=1或d=2.故选(D)
(6)
设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y2+y2-y2,其中
P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2)则f=(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
()
(A)2y2-y2+y2
(B)
2y2+y2-y2
(C)
2y2-y2-y2
(D)
2y2+y2+y2
【答案】(A)
【解析】由x=Py,故f
⎛200⎫
ç⎪
123
且PTAP=ç010⎪.
=xTAx=yT(PTAP)y=2y2+y2-y2.
ç00-1⎪
⎝⎭
⎛100⎫
ç⎪
又因为Q=Pç001⎪=PC
ç0-10⎪
⎝⎭
⎛200⎫
故有QTAQ=CT(PTAP)C=ç0-10⎪
所以f
ç⎪
⎝⎭
ç001⎪
123
=xTAx=yT(QTAQ)y=2y2-y2+y2.选(A)
(7)若A,B为任意两个随机事件,则:
()
(A)P(AB)≤P(A)P(B)
P(A)+P(B)
(B)P(AB)≥P(A)P(B)
P(A)+P(B)
(C)(C)
P(AB)≤
2
(D)
P(AB)≥
2
【答案】(C)
【解析】由于AB⊂A,AB⊂B,按概率的基本性质,我们有P(AB)≤P(A)且
P(A)+P(B)
P(AB)≤P(B),从而P(AB)≤
≤,选(C).
2
(8)
设总体X~B(m,θ),X1,X2,,Xn为来自该总体的简单随机样本,X为样本均
⎡n
⎣i=1
2⎤=()
⎥⎦
(A)(m-1)nθ(1-θ)
(C)(m-1)(n-1)θ(1-θ)
(B)m(n-1)θ(1-θ)
(D)mnθ(1-θ)
【答案】(B)
n
222
【解析】根据样本方差S
=∑(Xi-X)
i=1
的性质E(S
)=D(X),而
n
D(X)=mθ(1-θ),从而E[∑(Xi
i=1
-X)2]=(n-1)E(S2)=m(n-1)θ(1-θ),选(B).
二、填空题:
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
(9)(9)
limln(cosx)=.
x→0
x2
【答案】-1
2
【解析】原极限=limln(1+cosx-1)=limcosx-1=-1
x→0x2x→0x22
x
2
(10)设函数f(x)连续,ϕ(x)=⎰xf(t)dt,若ϕ
=ϕ'=则=
【答案】2
(1)1,
(1)5,
0
f
(1).
0
(x)
【解析】因为f(x)连续,所以ϕ(x)可导,所以ϕ'=⎰x2
f(t)dt
+2x2f(x2);
⎰
因为ϕ
(1)=1,所以ϕ
(1)=1f(t)dt=1
0
⎰
又因为ϕ'
(1)=5,所以ϕ'
(1)=1f(t)dt+2f
(1)=5
0
故f
(1)=2
(11)
若函数z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定,则dz=.
【答案】-1dx-2dy
33
【解析】当x=0,y=0时带入ex+2y+3z+xyz=1,得z=0.
对ex+2y+3z+xyz=1求微分,得
d(ex+2y+3z+xyz)=ex+2y+3zd(x+2y+3z)+d(xyz)
=ex+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0
把x=0,y=0,z=0代入上式,得dx+2dy+3dz=0
所以dz
(0,0)
=-1dx-2dy
33
(12)设函数y=y(x)是微分方程y'+y'-2y=0的解,且在x=0处取得极值3,则
y(x)=.
【答案】y(x)=e-2x+2ex
12
【解析】y'+y'-2y=0的特征方程为λ2+λ-2=0,特征根为λ=-2,λ=1,所以该齐次微分方程的通解为y(x)=Ce-2x+Cex,因为y(x)可导,所以x=0为驻点,即
y(0)=3,y'(0)=0,所以C1=1,C2=2,故y(x)=e-2x+2ex
(13)
设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式B=.
【答案】21
【解析】A的所有特征值为2,-2,1.B的所有特征值为3,7,1.
所以|B|=3⨯7⨯1=21.
(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0),则
P{XY-Y<0}=.
1
【答案】
2
【解析】由题设知,X~N(1,1),Y~N(0,1),而且X、Y相互独立,从而
P{XY-Y<0}=P{(X-1)Y<0}=P{X-1>0,Y<0}+P{X-1<0,Y>0}
=P{X>1}P{Y<0}+P{X<1}PY{>111+1⨯.
0}
2222
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=c=kx3.若f(x)与g(x)在x→0时是
等价无穷小,求a,b,k的值.
-1-1
【答案】
a=-1,b=
k=
23
【解析】法一:
x2x33
x33
因为ln(1+x)=x-++o(x),sinx=x-+o(x),
233!
则有,
1
=limf(x)=limx+aln(1+x)+bxsinx=lim
(1+a)x+(b-a)x2+ax3+o(x3)
23,
x→0g(x)
x→0
kx3
x→0
kx3
⎧
⎪1+a=0
⎧
⎪a=-1
⎪a⎪1
可得:
⎪b-=0,所以,⎪b=-.
⎨⎨
⎪⎪
⎪a=1⎪k=-1
⎩⎪3k⎩⎪3
法二:
由已知可得得
1+a
+bsinx+bxcosx
1=lim
f(x)=limx+aln(1+x)+bxsinx
=lim
1+x
x→0g(x)
x→0
kx3
x→03kx2
由分母lim3kx2=0,得分子lim(1+a
+
bsinx+bxcosx)=lim(1+a)=0,求得
x→0
c;
x→0
1+x
x→0
于是1=lim
f(x)=lim
1-11+x
+
bsinx+bxcosx
x→0g(x)
x→03kx2
=limx+b(1+x)sinx+bx(1+x)cosx
x→0
3kx(21+x)
=limx+b(1+x)sinx+bx(1+x)cosx
x→03kx2
=lim1+bsinx+b(1+x)cosx+b(1+x)cosx+bxcosx-bx(1+x)sinx
x→0
由分母lim6kx=0,得分子
x→0
6kx
lim[1+bsinx+2b(1+x)cosx+bxcosx-bx(1+x)sinx]=lim(1+2bcosx)=0,求
x→0
得b=-1;
2
x→0
进一步,b值代入原式
1-1sinx-(1+x)cosx-1xcosx+1x(1+x)sinx
1=lim
f(x)=lim222
x→0g(x)
x→0
6kx
-
1cosx-cosx+(1+x)sinx-1cosx+1xsinx+1(1+x)sinx+1xsinx+1x(1+x)cosx
=lim2
x→0
22222
6k
-1
=2,求得k=-1.
6k3
(16)(本题满分10分)
计算二重积分⎰⎰x(x+y)dxdy,其中D={(x,y)x2+y2≤2,y≥x2}.
D
【答案】
π-2
45
【解析】⎰⎰x(x+y)dxdy=⎰⎰x2dxdy
DD
=⎰0
2
x2
=21x2(
0
1
-
x2)dx
⎰
2x=2sintπ2
2
=2⎰0x
2-x2dx-=
5
2
42sin2t2cos2tdt-
05
π2u=2tπ
2π2
=2⎰4sin22tdt-=⎰2sin2udu-=-.
050
545
(17)(本题满分10分)
为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设Q为该商品的需求量,
P为价格,MC为边际成本,η为需求弹性(η>0).
(I)证明定价模型为P=
MC
;
1-1
η
(II)若该商品的成本函数为C(Q)=1600+Q2,需求函数为Q=40-P,试由(I)中
的定价模型确定此商品的价格.
【答案】(I)略(II)
P=30.
【解析】(I)由于利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=PQ-C(Q),两边对Q求导,得
dL=P+QdP-C'(Q)=P+QdP-MC.
dQdQdQ
dLPdQdP1P
当且仅当
=0时,利润L(Q)最大,又由于η=-⋅,所以=-⋅,
dQQdP
dQηQ
故当P=
MC
1时,利润最大.
1-η
(II)由于MC=C'(Q)=2Q=2(40-P),则η=-P⋅dQ=
QdP
P
40-P
代入(I)中的定价模
型,得P=2(40-P),从而解得P=30.
1-40-P
P
(18)(本题满分10分)
设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,曲线y=f(x)在点
(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且达式.
f(0)2=,求
f(x)表
【答案】f(x)=
8
4-x
【解析】曲线的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),切线与x轴的交点为
⎛f(x0)⎫
çx0-
⎝
f'(x0
0⎪
⎭
故面积为:
S=1
f2(x
)=4.
2f'(x0)
故f(x)满足的方程为f2(x)=8f'(x),此为可分离变量的微分方程,
解得f(x)=
-8
x+C
,又由于f(0)=2,带入可得C=-4,从而f(x)=
8
4-x
(19)(本题满分10分)
(I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);
(II)
设函数u1(x),u2(x),,un(x)可导,f(x)=u1(x)u2(x)un(x),写出f(x)的
求导公式.
【答案】f'(x)=[u1(x)u2(x)
=u'(x)u(x)
【解析】(I)[u(x)v(x)]'=limu(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)
h→0h
=limu(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)
h→0h
=limu(x+h)v(x+h)-v(x)+limu(x+h)-u(x)v(x)
h→0
hh→0h
=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)
(II)由题意得
f'(x)=[u1(x)u2(x)
=u'(x)u(x)
(20)(本题满分11分)
⎛a10⎫
设矩阵A=ç1a-1⎪,且A3=O.
ç⎪
ç01a⎪
⎝⎭
(I)求a的值;
(II)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵,求X.
⎛31
【答案】a=0,X=ç11
-2⎫
-1⎪
ç⎪
ç21-1⎪
⎝⎭
a10010
【解析】(I)A3=O⇒
A=0⇒1a
-1=1-a2
a-1=a3=0⇒a=0
(II)由题意知
01a
-a1a
X-XA2-AX+AXA2=E⇒X(E-A2)-AX(E-A2)=E
⎣⎦
⇒(E-A)X(E-A2)=E⇒X=(E-A)-1(E-A2)-1=⎡(E-A2)(E-A)⎤-1
⇒X=(E-A2-A)-1
⎛0-11⎫
ç⎪
E-A2-A=ç-111⎪,
ç-1-12⎪
⎝⎭
⎛0-11M100⎫⎛1-1-1M0-10⎫
ç-111M010⎪→ç0-11M100⎪
ç⎪ç⎪
ç-1-12M001⎪ç-1-12M001⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛1-1
-1M0-10⎫⎛1-1-1M0
-10⎫
→ç01-1M-100⎪→ç01-1M-100⎪
ç⎪ç⎪
ç0-21M0-11⎪ç00-1M-2-11⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛1-10M20
-1⎫⎛100M31
-2⎫
→ç010M11-1⎪→ç010M11-1⎪
ç⎪ç⎪
ç001M21-1⎪ç001M21-1⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛31
∴X=ç11
-2⎫
-1⎪
ç⎪
ç21-1⎪
⎝⎭
(21)(本题满分11分)
⎛02
-3⎫
⎛1-20⎫
设矩阵A=ç-13-3⎪相似于矩阵B=ç0b0⎪.
ç⎪ç⎪
ç1-2a⎪ç031⎪
⎝⎭⎝⎭
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
⎛2-3-1⎫
【