全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案.docx

1、全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设xn 是数列,下列命题中不正确的是 ( )(A)若lim xn = a ,则 lim x2n = lim x2n+1 = annn(B)若lim x2n = lim x2n+1 = a , 则lim xn = annn(C)若lim xn = a ,则 lim x3n = lim x3n+1 = annn(D)若lim x3n = lim x

2、3n+1 = a ,则lim xn = an【答案】(D)nn【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列 xn a (n ) 对任意的子列xnk 均有 xnk确； D 错(D 选项缺少 x3n+2 的敛散性),故选 D a (k ) ,所以 A、B、C 正(2)设函数 f ( x) 在(-, +) 内连续,其 2 阶导函数 f ( x) 的图形如右图所示,则曲线 y = f ( x) 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是 f (x) 不存在的点或f (x) = 0 的点处产生.所以 y = f (

3、x) 有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 f (x) 符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为 2，故选C.(3)设D = ( x, y) x2 + y2 2x, x2 + y2 2y,函数 f ( x, y) 在 D 上连续,则 f ( x, y)dxdy = ( )D 2cos 2sin(A)(A)0 d 0f (r cos , r sin )rdr +2 d04f (r cos , r sin )rdr 2sin 2cos(B)(B)0 d 0f (r cos , r sin )rdr +2 d04f (r cos , r sin )rdr1 x(

4、C)2 dx f ( x, y)dy0 1-1(D)(D)20 dxxf ( x, y)dy【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域D = 1 (r, ) 0 4 , 0 r 2sin D2 = (r, ) 4 2 , 0 r 2 cos 所以 2sin 2cos 0 0 0f (x, y)dxdy =D故选B.4 df (r cos , r sin )rdr +2 d4f (r cos , r sin )rdr ，(4)下列级数中发散的是( ) n 1 1(A)(A) n n=1(B)n=1ln(1+ n) (-1)n +1 n!(C)(C)n=2ln n(

5、D) n n=1【答案】(C)Alimn +1 3n+1= lim n +1 = 1 1 【解析】为正项级数，因为n n3nn 3n，所以根据正项级数的比值3判别法nn 收敛；B 为正项级数，因为1 ln(1+ 1 )，根据 P 级数收敛准则，知n=1 3 1 1 (-1)n +1n (-1)n 1n=1ln(1+ ) 收敛；C， n=1ln n= n=1ln n+ ，根据莱布尼茨判别法知n=1 (-1)n 1 (-1)n +1 ln n收敛， ln n 发散，所以根据级数收敛定义知，ln n发散；D 为正项级n=1n=1 (n +1)! (n +1)n+1(n +1)! nnn=1 n n

6、1数，因为limnn! nn n!= limnn! (n +1)= limn n +1 = 1，所以根据正项级数e的比值判别法 n 收敛，所以选 C.n=11 1 1 1 (5)设矩阵 A = 1 2 a , b = d .若集合= 1, 2 ，则线性方程组 Ax = b 有无穷 1 4 a2 2 多解的充分必要条件为 ( ) d (A)(A)a , d (B)a , d (C)a , d (D)a , d 【答案】(D)1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】( A, b) = 1 2a d 0 1a -1d -1 1 4 a2 d 2 0 0 (a -1)(a - 2) (d -1)(d

7、- 2) ，由 r(A) = r(A,b) 3 ，故a = 1或a = 2 ，同时d = 1或d = 2 .故选（D）(6)设二次型 f ( x1, x2, x3 ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为2 y2 + y2 - y2 ，其中P = (e1, e2 , e3 ) ，若Q = (e1, -e3, e2 ) 则 f = (x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x = Qy 下的标准形为( ) (A) 2 y2 - y2 + y2(B)2 y2 + y2 - y2(C)2 y2 - y2 - y2(D)2 y2 + y2 + y2【答案】(A)【解析】由 x = Py ，故 f 2

8、 0 0 1 2 3且 PT AP = 0 1 0 .= xT Ax = yT (PT AP) y = 2y2 + y2 - y2 . 0 0 -1 1 0 0 又因为Q = P 0 0 1 = PC 0 -1 0 2 0 0 故有QT AQ = CT (PT AP)C = 0 -1 0 所以 f 0 0 1 1 2 3= xT Ax = yT (QT AQ) y = 2y2 - y2 + y2 .选（A）(7)若 A, B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)P ( AB) P ( A) P (B)P ( A) + P (B)(B)P ( AB) P ( A) P (B)P ( A) +

9、P (B)(C)(C)P ( AB) 2(D)P ( AB) 2【答案】(C)【解析】由于 AB A, AB B ，按概率的基本性质，我们有 P(AB) P(A) 且P( A) + P(B)P(AB) P(B) ，从而 P( AB) ，选(C) .2(8)设总体 X B (m, ), X1, X2, , Xn 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均 ni=12 = ( )(A) (m -1)n (1- )(C) (m -1)(n -1) (1- )(B) m(n -1) (1- )(D) mn (1- )【答案】(B)n2 2 2【解析】根据样本方差 S= ( Xi - X )i=1的性质

10、 E(S) = D( X ) ，而nD(X ) = m (1- ) ，从而 E( Xii=1- X )2 = (n -1)E(S 2 ) = m(n -1) (1- ) ，选(B) .二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(9)lim ln(cos x) = .x0x2 【答案】- 12【解析】原极限= lim ln(1+ cos x -1) = lim cos x -1 = - 1x0 x2 x0 x2 2x2(10)设函数 f (x) 连续，(x) = xf (t)dt, 若= = 则 = 【答案】2(1) 1, (1) 5,0f (

11、1) .0(x)【解析】因为 f (x) 连续，所以(x) 可导，所以 = x2f (t)dt+ 2x2 f (x2 ) ；因为(1) = 1，所以(1) = 1 f (t)dt = 10又因为(1) = 5 ，所以(1) = 1 f (t)dt + 2 f (1) = 50故 f (1) = 2(11)若函数 z = z(x, y) 由方程ex+2y+3z + xyz = 1确定，则dz = .【答案】- 1 dx - 2 dy3 3【解析】当 x = 0 ， y = 0 时带入ex+2y+3z + xyz = 1，得 z = 0 .对ex+2y+3z + xyz = 1求微分，得d(ex+

12、2y+3z + xyz) = ex+2y+3zd(x + 2y + 3z) + d(xyz)= ex+2y+3z (dx + 2dy + 3dz) + yzdx + xzdy + xydz = 0把 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 代入上式，得dx + 2dy + 3dz = 0所以dz(0,0)= - 1 dx - 2 dy3 3(12)设函数 y = y(x) 是微分方程 y + y - 2y = 0 的解，且在 x = 0 处取得极值 3，则y(x) = .【答案】 y(x) = e-2x + 2ex1 2【解析】 y + y- 2y = 0 的特征方程为2 + - 2 =

13、0 ，特征根为 = -2 ， = 1，所以该齐次微分方程的通解为 y(x) = C e-2x + C ex ，因为 y(x) 可导，所以 x = 0 为驻点，即y(0) = 3 ， y(0) = 0 ，所以C1 = 1 ， C2 = 2 ，故 y(x) = e-2 x + 2ex(13)设 3 阶矩阵 A 的特征值为2, -2,1 ， B = A2 - A + E, 其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式 B = .【答案】 21【解析】 A 的所有特征值为2, -2,1. B 的所有特征值为3, 7,1.所以| B |= 371 = 21.(14)设二维随机变量( X ,Y ) 服从正态分布

14、 N(1, 0;1,1;0) ，则PXY -Y 0 = .1【答案】2【解析】由题设知， X N(1,1),Y N(0,1) ，而且 X、Y 相互独立，从而PXY -Y 0 = P(X -1)Y 0,Y 0+ PX -1 0= P X 1P Y 0 + P X 1 1 1+ 1 .0 2 2 2 2三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数 f (x) = x + a ln(1+ x) + bx sin x, g(x) = c = kx3 .若 f (x) 与 g(x) 在 x 0 时是等

15、价无穷小，求a,b, k 的值.-1 -1【答案】a = -1, b =, k =2 3【解析】法一：x2 x3 3x3 3因为ln(1+ x) = x - + + o(x ) ， sin x = x - + o(x ) ，2 3 3!则有，1= lim f (x) = lim x + a ln(1+ x) + bx sin x = lim(1+ a)x + (b - a )x2 + a x3 + o(x3)2 3 ，x0 g(x)x0kx3x0kx31+ a = 0 a = -1 a 1可得： b - = 0 ，所以， b =- a = 1 k =- 1 3k 3法二：由已知可得得1+ a+

16、b sin x + bx cos x1 = limf (x) = lim x + a ln(1+ x) + bx sin x= lim1+ xx0 g(x)x0kx3x0 3kx2由分母lim 3kx2 = 0 ，得分子lim(1+ a+b sin x + bx cos x) = lim(1+ a) = 0 ，求得x0c；x01+ xx0于是1 = limf (x) = lim1- 1 1+ x+b sin x + bx cos xx0 g(x)x0 3kx2= lim x + b(1+ x) sin x + bx(1+ x) cos xx03kx（2 1+ x）= lim x + b(1+

17、x) s i nx + bx(1+ x) c o sxx0 3kx2= lim 1+ b sin x + b(1+ x) cos x + b(1+ x) cos x + bx cos x - bx(1+ x) sin xx0由分母lim 6kx = 0 ，得分子x06kxlim1+ bsin x + 2b(1+ x) cos x + bx cos x - bx(1+ x) sin x = lim(1+ 2b cos x) = 0 ，求x0得b = - 1 ；2x0进一步，b 值代入原式1- 1 sin x - (1+ x) cos x - 1 x cos x + 1 x(1+ x) sin x

18、1 = limf (x) = lim 2 2 2x0 g(x)x06kx-1 cos x - cos x + (1+ x) sin x - 1 cos x + 1 x sin x + 1 (1+ x) sin x + 1 x sin x + 1 x(1+ x) cos x= lim 2x02 2 2 2 26k- 1= 2 ，求得k = - 1 .6k 3(16)(本题满分 10 分)计算二重积分 x(x + y)dxdy ，其中 D =(x, y) x2 + y2 2, y x2.D【答案】 - 24 5【解析】 x(x + y)dxdy = x2dxdyD D= 02x2= 2 1 x2

19、(01-x2 )dx2 x= 2 sin t 22= 20 x2 - x2 dx - =524 2sin2 t2 cos2 tdt -0 5 2 u=2t 2 2= 2 4 sin2 2tdt - = 2 sin2 udu - = - .0 5 05 4 5(17)(本题满分 10 分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性( 0) .(I)证明定价模型为 P =MC；1- 1(II)若该商品的成本函数为C(Q) = 1600 + Q2 ，需求函数为Q = 40 - P ，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.

20、【答案】(I)略(II)P = 30 .【解析】(I)由于利润函数 L(Q) = R(Q) - C(Q) = PQ - C(Q) ,两边对Q 求导，得dL = P + Q dP - C(Q) = P + Q dP - MC .dQ dQ dQdL P dQ dP 1 P当且仅当= 0 时，利润 L(Q) 最大，又由于 = - ,所以 = - , dQ Q dPdQ Q故当 P =MC1 时，利润最大.1- (II)由于 MC = C(Q) = 2Q = 2(40 - P) ,则 = - P dQ =Q dPP40 - P代入(I)中的定价模型，得 P = 2(40 - P) ,从而解得 P =

21、 30 .1- 40 - PP(18)(本题满分 10 分)设函数 f (x) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 I ，曲线 y = f (x) 在点(x0 , f (x0 ) 处的切线与直线 x = x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且达式.f (0) 2= ，求f (x) 表【答案】 f ( x) =84 - x【解析】曲线的切线方程为 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，切线与 x 轴的交点为 f ( x0 ) x0 -f ( x0,0 故面积为： S = 1f 2 ( x) = 4 .2 f ( x0 )故 f ( x) 满足的方程为

22、f 2 ( x) = 8 f (x),此为可分离变量的微分方程,解得 f ( x) =-8x + C，又由于 f (0) = 2 ，带入可得C = -4 ，从而 f ( x) =84 - x(19)(本题满分 10 分)（I）设函数u(x), v(x) 可导，利用导数定义证明u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);（II）设函数u1 (x),u2 (x), ,un (x) 可导， f (x) = u1(x)u2 (x) un (x) ，写出 f (x) 的求导公式.【答案】 f (x) =u1(x)u2 (x)= u (x)u (x)【解析】（I）u(x)v(x) = l

23、im u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x)h0 h= lim u(x + h)v(x + h) - u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) - u(x)v(x)h0 h= lim u(x + h) v(x + h) - v(x) + lim u(x + h) - u(x) v(x)h0h h0 h= u(x)v(x) + u(x)v(x)（II）由题意得f (x) =u1(x)u2 (x)= u (x)u (x)(20)(本题满分 11 分) a 1 0 设矩阵 A= 1 a -1 ，且 A3 = O . 0 1 a (I)求a 的值；(II)若矩阵 X 满足

24、 X - XA2 - AX + AXA2 = E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X . 3 1【答案】a = 0, X = 1 1-2 -1 2 1 -1 a 1 0 0 1 0【解析】(I) A3 = O A = 0 1 a-1 = 1- a2a -1 = a3 = 0 a = 0(II)由题意知0 1 a-a 1 aX - XA2 - AX + AXA2 = E X (E - A2 ) - AX (E - A2 ) = E ( E - A) X (E - A2 ) = E X = (E - A)-1 (E - A2 )-1 = (E - A2 )(E - A)-1 X = (E -

25、A2 - A)-1 0 -1 1 E - A2 - A = -1 1 1 ， -1 -1 2 0 -1 1M1 0 0 1 -1 -1M0 -1 0 -1 1 1M0 1 0 0 -1 1 M1 0 0 -1 -1 2M0 0 1 -1 -1 2 M0 0 1 1 -1-1M0 -1 0 1 -1 -1M0-1 0 0 1 -1M-1 0 0 0 1 -1M-1 0 0 0 -2 1 M0 -1 1 0 0 -1M-2 -1 1 1 -1 0M2 0-1 1 0 0M3 1-2 0 1 0M1 1 -1 0 1 0M1 1 -1 0 0 1M2 1 -1 0 0 1M2 1 -1 3 1 X = 1 1-2 -1 2 1 -1 (21)(本题满分 11 分) 0 2-3 1 -2 0 设矩阵 A = -1 3 -3 相似于矩阵 B= 0 b 0 . 1 -2 a 0 3 1 (I)求 a, b 的值；（II）求可逆矩阵 P ，使 P-1AP 为对角矩阵. 2 -3 -1【