第2章数列复习教案.docx

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第2章数列复习教案

第2章数列复习教案

教学设计

整体设计

教学分析　　　　　

本章知识网络

本章复习建议

本章教材的呈现方式决定了本章的复习方法，一方面让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用．

数列可以看成是定义域为正整数集N*（或它的有限子集）的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们各有五个基本量：

首项a1、公差d或公比q、项数n、通项an、前n项和Sn；两个基本公式——通项公式和前n项和公式将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线．本章的重点是等差和等比数列的基本性质及其应用，难点是等差和等比数列的基本性质的综合应用．因此注意等差、等比数列与相应函数的关系也就成了复习的重点．

数列在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一．由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性．这就要求我们在数列复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握等差与等比数列的基本性质，帮助学生自我架构数列知识框架，提高综合运用数列知识和方法的能力．

数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心，应弄清通项公式的意义——项数n的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值，及对数列进行一般性的研究．数列的递推式是数列的另一种表达形式，常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论．在处理这类问题的时候要注意项数．

数列一章是高中多个数学知识点的交汇，也是多个数学思想方法的聚会，因此本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓展．本章小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题，在设计的例题中有所涉及．但仍不够，可再适当增加些．如三角形的三内角成等差数列等问题的探究．本章复习将分为两课时，第1课时重点是系统化本章知识结构，优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力；第2课时重点是灵活运用数列知识解决与数列有关的问题．为更好地理解教学内容，可借助信息技术复习本章内容．通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容．

本章《新课程标准》要求是：

1.数列的概念和简单表示法．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.2.等差数列、等比数列．

（1）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；

（2）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；（3）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．

三维目标

1．通过本章复习，使学生理清本章知识网络，归纳整合知识系统，突出知识间内在联系，能用函数观点进一步认识数列．

2．提高学生综合运用知识的能力，分析问题、解决问题的能力；培养学生自主复习及归纳的意识，激励学生思维创新．

3．认识事物间的内在联系和相互转化，培养探索、创新精神．

重点难点

教学重点：

等差数列、等比数列的概念、通项、前n项和，及它们之间的内在联系；灵活应用数列知识解决问题．

教学难点：

用函数的观点认识数列并用数列知识灵活解决实际问题．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.让学生阅读课本的小结内容．根据教材内容的呈现方式回答有关问题，同时也给学生以数列整体知识结构的记忆．由此展开新课．

（幻灯片）

思路2.本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的研究，然后让学生根据本章学习的进程，回忆本章学习了哪些主要内容？

用到了哪些思想方法？

本章知识流程图留给学生自己操作．相比之下，这种引入对学生的思维要求较高，难度大，但却更能训练学生的创造性思维．教师可结合学生的活动出示相关多媒体课件．

推进新课　　　　　

新知探究

提出问题

1怎样理解函数与数列的关系？

2回忆等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质各是什么？

3回忆“叠加法”“累乘法”“倒序相加法”“错位相减法”的含义是什么？

4对任意数列{an}，若前n项和为Sn，则an与Sn具有怎样的关系？

怎样理解这个关系式？

它有哪些应用？

活动：

教师引导学生充分探究，自行总结，不要将归纳总结变成课堂上的独角戏，辅助课件可制成如下表格形式：

数列等差数列等比数列

定义

通项公式

递推公式

性质

前n项和公式

点拨学生注意，重新复习数列全章更应从函数角度来认识数列，这是学好数列、居高临下地把握数列的锦囊妙计．深刻认识数列中数的有序性是数列定义的灵魂．数列可以看成是定义域为正整数集N*（或它的有限子集）的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时，对应的一列函数值．而数列的通项公式则是相应的函数解析式．反映到图象上，由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数，复习本章应突出数列的这一函数背景．对两类特殊数列——等差数列与等比数列的函数理解则是：

等差数列是一次型函数，是最简单的递推数列；等比数列是指数型函数．它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题．

关于等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导方法以及“叠加法”“累乘法”等，可由学生回忆并进一步理解，这里不再一一列出．

教师应特别引导学生关注an与Sn的关系．对于任何数列{an}，若前n项和为Sn，则an＝S1，Sn－Sn－1，　n＝1，n≥2，常因忽略对n＝1的讨论或忽略n≥2这一条件而出错．这个关系式要深刻理解并灵活运用．用此关系式求an时，若S1满足Sn－Sn－1的形式，则用统一的形式表示通项公式an.若S1不满足Sn－Sn－1的形式，则分段表示通项公式an.因此这个关系式的应用有两个方面：

既可用此式求通项公式an，又可将an转化为Sn－Sn－1的形式解决问题．

应让学生明确用本章知识主要解决的问题是：

①对数列概念（包括通项、递推等）理解的题目；

②等差数列和等比数列中五个基本量a1，an，d（q），n，Sn知三求二的方程问题；

③数列知识在生产实际和社会生活中的应用问题．

讨论结果：

（1）～（4）略．

应用示例

例1设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，求q的值．

活动：

这是一道关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的题，起点比较低，入手的路子宽．让学生独立思考，列式、求解，组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法．

解法一：

利用定义，∵{Sn}是等差数列，

∴an＝Sn－Sn－1＝…＝S2－S1＝a2.

∴a1qn－1＝a1q.∵a1≠0，∴qn－2＝1.∴q＝1.

解法二：

利用性质，∵{Sn}是等差数列，∴an＝Sn－Sn－1＝Sn－1－Sn－2＝an－1，

a1qn－1＝a1qn－2.∵a1≠0，q≠0，∴q＝1.

解法三：

利用性质，∵2S2＝S1＋S3，∴2（a1＋a2）＝a1＋a1＋a2＋a3，

即a2＝a3.∴q＝1.

点评：

还可以用求和公式、反证法等．

变式训练

设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于（　　）

A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3

答案：

A

解析：

方法一：

设等比数列的公比为q，则S10＝S5＋S5q5，S15＝S5＋S5q5＋S5q10，

由S10∶S5＝1∶2，得1＋q5＝12，q5＝－12，

∴S15∶S5＝1＋q5＋q10＝12＋14＝方法二：

∵S10∶S5＝1∶2，∴S10＝12∵（S10－S5）2＝（S15－S10）S5，

∴（－12S5）2＝（S15－12S5）∴S15S5＝34.

例2设数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋4（n∈N*）．

（1）写出这个数列的前三项；

（2）证明数列除去首项后所成的数列a2，a3，…，an，…是等差数列．

活动：

学生很容易解决第

（1）题，第

（2）题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”．

（1）解：

a1＝S1＝7，a2＝S2－S1＝22＋2×2＋4－7＝5，

a3＝S3－S2＝32＋2×3＋4－（7＋5）＝7，即a1＝7，a2＝5，a3＝7.

（2）证明：

∵an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n＞1，

∴当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n＋4－[（n－1）2＋2（n－1）＋4]＝2n＋1.

an＋1－an＝2（定值），

即数列{an}除去首项后所成的数列是等差数列．

点评：

注意书写步骤的规范，理解第

（2）题中n＞1时的讨论，准确表达推理过程，理解重要关系式an＝S1，Sn－Sn－1，　n＝1，n≥2的应用．

例3设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0，

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．

活动：

这是一道经典考题，很有训练价值．教师引导学生观察题目条件及结论，寻找解题的切入点，鼓励学生多角度思考．

对于第

（1）个问题，目标是关于d的范围的问题，故应当考虑到合理地选用等差数列的前n项和的哪一个公式．其次，条件a3＝12可以得出a1与d的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少未知量的作用．在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d的不等式．

对第

（2）个问题的思考，可以有较多的角度，让学生合作探究，充分挖掘题目中的条件，寻找更好的思路．积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法．教师收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程．

解：

（1）依题意有S12＝12a1＋12×12×11d＞0，S13＝13a1＋12×13×12d＜0，

即2a1＋11d＞0，①

a1＋6d＜0.②

由a3＝12，得a1＝12－2d，③

将③式分别代入①②式，得24＋7d＞0且3＋d＜0，

∴－247＜d＜－3为所求．

（2）方法一：

由

（1）知d＜0，∴a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．

由于S12＝12a1＋12×12×11d＝6（2a1＋11d）＝6（a6＋a7）＞0，S13＝13a1＋12×13×12d＝13（a1＋6d）＝13a7＜0，

∴a6＞0，a7＜0.故在S1，S2，…，S12中，S6最大．

方法二：

Sn＝na1＋12n（n－1）d

＝n（12－2d）＋12（n2－n）d

＝d2（n－5－24d2）2－d5－24d28.

∵d＜0，∴（n－5－24d2）2最小时，Sn最大．

而当－247＜d＜－3时，有