小学奥数.docx

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小学奥数

小学奥数必须掌握的30个知识

1.和差倍问题

　　和差问题和倍问题差倍问题

　　已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数

　　公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系

公式①

（和-差）÷2=较小数[（a+b）-（a-b）]÷2=b

　　较小数+差=较大数b+（a-b）=a

和-较小数=较大数（a+b）-b=a

②（和+差）÷2=较大数[（a+b）+（a-b）]÷2=a

　　较大数-差=较小数a-（a-b）=b

　　和-较大数=较小数（a+b）-a=b

　　和÷（倍数+1）=小数（a+b）/（a/b+1）=b

　　小数×倍数=大数b*（a/b）=a

　　和-小数=大数（a+b）-b=a

　　差÷（倍数-1）=小数（a-b）/（a/b-1）=b

　　小数×倍数=大数b*（a/b）=a

小数+差=大数b+（a-b）=a

　关键点：

求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数

2.年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的;

（a+n）-（b+n）=a-b

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;

（a+n）-（b+n）=a-b

③两个人的年龄的倍数是发生变化的;

（a+n）/（b+n）不一定等于a/b

3.归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键点：

根据题目中的条件确定并求出单一量;

例如：

“一辆汽车4小时行120千米，照这样计算，行180千米要用几小时？

”先求平均1小时行多少千米，再求行180千米要几小时．

这个题的单一量就是速度=路程÷时间=120千米/4小时=30km/h

=30*1000米÷60*60秒=25/3（m/s）读作3分之25米每秒

解题算式=180÷（120÷4）=180×4÷120=6（h）

=180/（120/4）=180/30=6（h）

注意分子式的运算

4.植树问题

　　基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树

基本公式

a.棵数=段数+1

在一条长为50米的路上，每隔2米种一棵树，开始结尾都要种，总共要种多少棵树。

段数=50/2=25段

棵树=段数+1=25+1=26棵

b.棵距×段数=总长棵数=段数-1

两棵树相距50米，每隔2米种插一杆彩旗，总共要插多少彩旗。

段数=50/2=25段

杆数=25-1=24杆

c.棵距×段数=总长棵数=段数

学校运动会进行50米跑的准备，老师在起点插了一面彩旗，叫同学们每隔2米插一杆彩旗，问同学们总共要插多少彩旗。

段数=50/2=25段

杆数=段数=25杆

关键点：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

5.鸡兔同笼问题

　　基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;

　　基本思路：

　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;

　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;

　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

　　基本公式：

　　①把所有鸡假设成兔子：

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

　　②把所有兔子假设成鸡：

兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键点：

找出总量的差与单位量的差。

例：

有兔和鸡在一个笼子里，从上面数有头50个，从下面数有脚158只，问鸡兔各多少只：

鸡=（4*50-158）/（4-2）=21

兔=（158-2*50）/（4-2）=29

用方程解：

设鸡为X只，兔就是50-X只

2*X+（50-X）*4=158

2X+200-4X=158

2X=42

X=21

50-X=29

6.盈亏问题

　　基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.

　　基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量.

　　基本题型：

　　①一次有余数，另一次不足;

基本公式：

总份数=（余数+不足数）÷两次每份数的差

　　②当两次都有余数;

基本公式：

总份数=（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

　　③当两次都不足;

　　基本公式：

总份数=（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

　　基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

　　关键点：

确定对象总量和总的组数。

例：

少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。

请问，共有多少名少先队员？

共挖了多少树坑？

分析：

这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。

即：

应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。

那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。

这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个坑。

　　解答：

盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先队员有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。

设总人数为X

X*5+3=2*4+（X-2）*6

5X+3=8+6X-12

X=7X*5+3=38

7.牛吃草问题

　　基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

　　基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的;

　　关键点：

确定两个不变的量。

　　基本公式：

　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;

原草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;

例：

一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断匀速生长，27头牛6天可以把牧场上的草全部吃完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天，若21头牛来吃，几天吃完？

草每天生长量=（9*23-6*27）/（9-6）=45/3=15

原草量=（9*23）-（9*15）=72或根据：

路程差=速度差×追及时间

原草量=（27-15）*6=72或（23-15）*9=72

21天可吃天数=72/（21-15）=12天

牛吃草也是速度追及问题

草生长量是一个速度，牛吃草是一个速度，

吃多少天就是追及时间=路程差÷速度差

8.周期循环与数表规律

　　周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

　　周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

　　关键问题：

确定循环周期。

　　闰年：

一年有366天;

①年份能被4整除;

②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;

　　平年：

一年有365天。

①年份不能被4整除;

②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

例一：

有8名队员按顺时针围成一圈做传球游戏，从1号开始按顺时针传球，传球的同时开始报数，当报到76时球那在几号队员手上？

例二：

某年2月有5个星期天，问这年6月一日是星期几？

9.平均数

基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

　　总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

　　②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数

　　基本算法：

　　①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

　　②基准数法：

根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

　　10.抽屉原理

　　抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　例：

把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

　　①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

　　①k=[n/m]+1个物体：

当n不能被m整除时。

　　②k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

　　理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

　　例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

　　关键问题：

构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

　　11.定义新运算

　　基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

　　基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

　　关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

　　注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

　　②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

　　12.数列求和

　　等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

　　基本概念：

首项：

等差数列的第一个数，一般用a1表示;

　　项数：

等差数列的所有数的个数，一般用n表示;

　　公差：

数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

　　通项：

表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

　　数列的和：

这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

　　基本思路：

等差数列中涉及五个量：

a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

　　基本公式：

通项公式：

an=a1+（n-1）d;

　　通项=首项+（项数一1）×公差;

　　数列和公式：

sn,=（a1+an）×n÷2;

　　数列和=（首项+末项）×项数÷2;

　　项数公式：

n=（an+a1）÷d+1;

　　项数=（末项-首项）÷公差+1;

　　公差公式：

d=（an-a1））÷（n-1）;

　　公差=（末项-首项）÷（项数-1）;

　　关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式;

　　13.二进制及其应用

　　十进制：

用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

　　=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

　　注意：

N0=1;N1=N（其中N是任意自然数）

　　二进制：

用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

　　+……+A3×22+A2×21+A1×20

　　注意：

An不是0就是1。

　　十进制化成二进制：

　　①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次