概率论7章总结精华版.docx
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概率论7章总结精华版
第一章(考点:
利用以下公式解题)一.重要公式
乘法公式全概率公式贝叶斯公式
.重点题型
2、两台机床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.05,第二台出现废品的概率是0.0.2,加工的零件混放在一起,若第一台车床与第二台车床加工的零件数比为5:
4;
(1)/任意的从这些零件中取出合格品的概率;
(2)、若已知取出的一个零件为合格品,那么,它是由哪台机床生产的可能性大。
例12对以往数据分析结果表明9当机器调整得良好时,产品的合格卒为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.毎天早上机器开动时,机器调楚巨好的概率为95%,试求已知某日早上笫一件产品是合格品时,机器调整得良好的槪率是多少?
解设昇为事件“产品合格»,B为事件“机器调整良好”.
P(J|5)=0.98,P(A\B)=0.55,P(B)=0・95,P(i)=0.05所求的概丰丸卩(〃|/)・由贝叶斯公式,彳导
|—“.97.
P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)
例13设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件,
(1)求取剧的翅次品的槪率;
(2)经检验发现取到的产品为次品9求该产品是甲厂生产白勺概率・
解P(/
(1)=45%,P(X2)=35%,7>(J3)=20%,
P(BM1)=4%,P(B|£)=2%,P(B|/4,)=5%.
(1)由全概牢公式傅
3
P(Zr)=£P(Ai)P(B\Ai)=3.5%・
z=i
(2)由贝叶斯公式(或条件棋率定义),得
例3加工某一零件共需经过四道工序/丈第■一、二、三、四逍工序的次品卒分别足2%,3%,5%,3%,假定各道工厚姥互不影响的,求加工出来的零件的次品率.
解本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.
设“J,九为四道工序发生次品事件,D为加工出来的爭件为次品的事件9则D为产品合格的事件,故冇
D=AtA2A3A49
P(D)=P(A{)P(A2)P(A,)P(A4)
=(1一2%)(1-3%)(1-5%)(1-3%)
=87.59779%»87.60%,
P(D)=l-P(D)
=1-87.60%=12.40%・
某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中:
(1)都不出废品的概率;
(2)至少有一天出废品的槪率;
(3)仅有一天出废品的概率;
(4)最多有一天出废品的概率;
(5)第一天出废品9其余各天不出废品的扌阮率・
第二章(考点:
连续性:
分布函数求概率密度(互求)。
离散型:
选择,填空)一.重要知识点
离散型
1.分布函数的性质:
(1)单调不减
(2)右连续(3)趋近于正无穷为0、趋近于负无穷为1
2.常见离散型随机变量的概率分布(记住公式,不是重点)
(1)0-1分布
(2)二项分布(3)泊松分布连续性
1.已知分布函数求概率密度
2.求参数(公式P49书)
3.常见连续性随机变量的概率分布
(1)均匀分布
(2)正态分布(选择填空考点)(3)指数分布
4.连续型随机变量函数的概率密度(公式P58书例2.30)
二.重点题型
例2设随机变鈕X具有槪率密度
0其它
Ax,
y(g2号
、o,
⑴确定常数
(2)求X的分布函数F(x);
⑶求P{l(1)确定常数A;
rf®
解由f{x)dx=l.得
J-00
匸皿+J:
(2
n,
解得A=l/6,于是X的概率密度为
X
69
2-兰
22’
03.0,
其它
完
这一题是重点!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(例二)
例3设随机变•堡X的分布函数为
0,x<0
F(x)=x2,0<,vI1,1求
(1)概卒P{()・3(2)X的密度函数.
解由连续型随机变量分布函数的性质,有
(1)P{0.3=0.72-0.32=0.4・
(2)X的密度函数为
0,
f(x)=F\x)=2x,
0,
例5某元件的寿命X月艮从指数分布,已知其参数2=1/1000,求3个这样的元件使用10004、时,至少已有一个损坏的极率•
解由题/i殳知,X的分布函数为
侖,x>0
I0,x<0
由此傅到
P{X>1000}=l-P{X<1000}=1-F(1000)=e-1•各元件的寿命是否趙过looo小时是独立的,用y表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则
Jb(3,l-e-l)9
所求概率为
P{Y>l}=\-P{y=O}=1-C^(l-e-|)o(^-,)3=1-e-3.
例2设随机变量X〜"(0,1),Y=ex.求丫的极率密度函数.
解设竹心),/>(/)分别为随机变量y的分布函数釈槪卒密度函数,则当/<0时,有
Fr(J)=P{Y当』>0时,因为g(x)=e•'是x的严格单调増函数,所以有
因而
{e^Fv(y)=P{Y
再由./>(/)—F|(j),傅
通常称上式中的『服从对数正态分布,它也是一种常用寿命分布.
\x/8,0I0,其它
求卩=2X+8的槪率密度.
解设『的分布函数为Fy($),则
FY(y)=P{Y=P{X<(j-8)/2}=&[(p-8"2],
于是卩的密度函数
川沪警询宁)冷,
注息到0书牛°,且人(宁卜罟
例4设x〜/v(oj),求y=x2的密度函数.
解记y的分布函数为Fy(x),则
Fy(x)=P{Y显然,当*<0时,Fr(x)=P{X2当x'O时,
Fr(x)=P{X2从而Y=X2的分布函数为
歼(对」巾(厶)-1,5,
[0,x<0
于是其海度函数为
丨0,x<0
注:
以上述函数为密度函数的随机变量称为服从不“I)分布,它是一类更广泛的分布/彳刃)在〃=1时的特例.关于Z2(n)分布的细节将在第五章中给出.
2.设连续型随机变呈X的分布函数为
血、"+〃宀x>0
尸(兀)=],
[0,x<0
试求:
(1)/川的值;
(2)P{—lvX<1};
⑶概率密度函数y*(x)・
4、设随机变量x在区间[2,5]上服从均匀分布,现对x进行三次独立重复观测,求至少有2次观测值大于3的概率。
第三章(考试题:
P90习题三第三题(会有延伸))一.重要知识点
离散型:
联合概率密度边缘概率密度条件分布律连续性:
联合概率密度边缘概率密度判断独立性(离散,连续)注意点:
独立性只有一种求法(见书P81)
注意点:
一定画图步骤一定规范化
二.重点题型
例8设(X,『)的概率密度是
f(x.y)=
cj(2-x),00,其它
求(l)c的值;
(2)两个边缘密度.
解⑴由II:
/(*』)力妙=1确定c・
J;U;g-%W
=c^[x\2-x)/2]dx
=5c/24=lc=24/5.
⑵=jJ(2-x)4f=jx2(2-x),00例9设随机变量x和y具有联合械率密度
j'6其它
/2)=[〔/gj'Mz
J,60,
其它
例5设(X,Y)的极率密庚为
x>0,y>0
■
0,
其它'
2,
0o,
其它
(I)f(^y)=
⑵/(“)=
5
因对一切x,儿均有:
f(x.y)=fx(x)fY(y),故X,V处立.
1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布如下
Y
X
2
5
8
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
(1).求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)、X与Y是否相互独立;E(X).D(X).
第四章
一.重要知识点
数学期望,
注意点,用性质4不能判断独立性
方差,(求法平方的期望减去期望的平方)
注意点,无论加减都是加协方差(考点:
选择,填空),相关系数求法:
乘积的期望减去期望的乘积
协方差的性质
1•协方差的基本性质
(1)cov(X,X)=P(X);
(2)cov(x,y)=cov(y,X);
(3)cov(aX,hY)=afrcov(X,F),其中仪9〃是常数;
(4)cov(C,X)=05C为任意常数;
(5)cov(X]+X2,r)=cove%!
r)+cov(x2,r);
(6)当*与V4b互独立,贝!
Jcov(X,F)=0.
2.随机变量和的右差与协右差的关系o(x±y)=D(x)+D(y)±2cov(x,y),
特别地,若X与卩相互3虫立,贝!
J
D(X±Y)=D(x)+D(y)・
③可以证明:
若X,F的方差存在,则协方差cov(X,F)一定存在且满足下列不等式:
|cov(X,y)|相关系数的性质
II>1;
证由方差的性质和协方差的定义如,对任息实数伏冇0令b二9则
D(X)
I)(Y-bX)=D(K)-3(烹
=Z)(F)|1-2°V(X,"j(y”[2I
,丿ID(X)P(F)Vn
由于方差o(F)爰正的,故必有i-Q\;no,所以Ipjwi.
2.若x和y相互独立,贝!
jpAT=0;注息到此时cov(X,F)=0,易见结论成立.
注:
X与P相互独立#X与y不相关(参见例3-4).
相关系数的性质
I•IPxY
2.若X相y相互3虫立,贝!
JpXY=0;
注意到此时cov(x,r)=o,易见结论成立.注:
x与y相互独立寸x与y不相关(参见例3-4).
3.若D(X)>0,D(Y)>09贝!
J
|pYJ|=1存在常数•H0),使P{Y=aXb}=1,
而且当时,/?
AT=1,当口<0时9pvr=-l.:
证明1注:
相关系数刻画了x才口y间“线性相关”的程度.
Iq“I的值越接近于1,y与x的线性相关程度越高;IpX}|的值延接近于o,y与x的线性相关程度越弱;IpxtI=i时,y与x冇严格线性关系;
PXY=0时,F与X无线性关系;这里注意:
当PxY=0时,只说明『与x没冇线性关系.
相关系数的性质
1・丨如卜1;
2・若X和『相互处立,贝!
J卩灯=0;
3•若z)(x)>o,z)(y)>o,则
IpXY|=1存在常数“,力(〃工oh使卩{y=ax+b\=1,
而且当“>0时,Qxyi,当“<0B才,pAT=-l.
注:
Px、=0时,卩与X无线性关系;
这里注怠:
当Qx’=0时,只说明『与X没冇线性关系.并不能说明y与x之间没有其它函数关系・从而不能推出卩与X独立・
4・e=E{\Y-(aX^h)\2},称其为用aX^b来近似F的均方误差,则有下列结论:
若D(X)>0,D(y)>0,贝!
J
g0=cov(X,y)/P(X),60=£(F)-a0E(X)
使均方误罢•达到圮小.:
证明I
.重点题型
例8T殳(XC)的联合概率分布为:
¥
工
"T~
工
1
0
3/8
3/8
0
3
1/X
0
0
]/«
求E(X\E{Y\E(XY).
解要求E(X)和F(r),需先求出X和F的边缘分布.关于x和y的边缘分布为
X
13
Y
101
2
3
p
3/41/4
P
1/83/8
3/8
1/8
则冇
EW=lx|+3xl=l
E(Y)=Ox丄4-lx-+2x-+3xl=-
88882
一、a33
£(X-y)=(lxO)x()+(lxl)x-+(lx2)x-+(lx3)xO
88
+(3x0)x-+(3xl)x0+(3x2)x0+(3x3)x
8
=9/4•
例9设随机变量X在[几兀]上服从均匀分布,求E(X),E(sinX),E(X?
)及E\X-E(X)\l.
稱根据随机变愛函数数学期望的计算公式,有
r+x_一・・rK1Hx•—ax=——•
兀2
E(X)=\rxf(x)clx=rJ-8J0
E(sinX)=f+sinxf(x)dx=f^sinx丄厶J—8J07T
=^(-cosx)|^=-^,W)訂:
刃(W訂卜2.詁十E[X_E(X)]—E(XV
訂:
卜书M塔
1.设随机变具冇密度函数
r工,ox<1f(r)=\2-x91I0,其它
求E(X)和D(X).
+oc
-QC
r1r2
xf(x)dx=Ix2+x(2-x)dx
JoJ1
=j+(4-l)-j(8-l)=l,
r+o>f1f2
x1f{x)dx-xydx+
J_8JoJ1
1217
x2(2-x)dx
=43(8~1)~4(16'1)=6,
D(X)=E(X2)-(£(X))2=^-1=1
O0
2.设随机变量X的分布律为
!
12
X
-1
0
w
Pi
1/3
1/6
1/61/121/4,
试求Y——X+1及Z二
X2
的期望与方差.
解依题可得
X
-1
0
1/212
x2
1
0
1/414
X4
1
0
1/16116
Pi
1/3
1/6
1/61/121/4
E(X)=(-l)xl+0xi
+丄
x1+lx1+2x
1_
1
3
6
2
612
4
3
1
1]
11,
1
35
E(X)=Ox—+
1x
_+
+—x—+4x
9
6
3
12J
46
4
24
E(X4)=0x丄+
lx-
5—+
1x—=
425
6
12
16
64
96
陀)冷心)备等
E(F)=E(-X+1)=1-E(X)=1--=-,33
D(F)=D(-X+1)=D(X)=E(X2)-(E(X))2=|^-|=^
陀)"(XT
D(Z)=D(X2)=E(X4)-(E(X2))2=^
VO
空
-1
0
0
0.1
0.2
0
1
0.3
0.05
0」
2
0.15
0
0.1
例1已如离散型随机向量
(X,Y)的概率分布如右表,
求cov(X,Y).
解容易求得X的槪率分布为
P{X=0}=0.3,P{X=1}=0.45,P{X=2}=0.25;y的概率分布为
P{y=-1}=0.55,P{F=0}=0.25,P{Y=2}=02,于是有E(X)=0x0.3+1x0.45+2k0.25=0.95,
E(V)=(-l)x0.55+0x0.254-2x0.2=-0」5・计算得
E(XY)=0x(-l)x0.1+0x0x02-0x2x0
+1x(-1)x0.3+1x0x0.5+1x2x0」
+2x(-1)x0.15+2x0x0+2x2x0.1
=0・
于
cov(X,F)=£(XK)-£(X)E(r)=0.95x0.15=0.1425・宪
例5己知X〜N(l,32),卩~N(0,4)且X与卩的相关
1VV
系数p^=--・设Z=3~29求D(Z)及Pvz・
解因D(X)=3\D(K)=4\且
coy(X,Y)=J万面pxr=3x4x
所以
D(Z)=D^-^j=lD(X)+lD(r)-2cov(|,^j
=|°(X)+扫⑴-2x|x|cov(X,F)=7,
又因
COV(X,Z)=COV(X9y
牛cov
2/
cov(X,f
考点:
相关系数,协方差、D(X+Y)/D(X-Y)
第五章
考点:
切比雪夫不等式
3.某居民小区共有1000盏电灯,假设夜间每盏灯打开的概率为0.7,各盏灯打开与否彼此独立,估计开灯在650~750盏之间的概率。
第六章(考点:
选择,填空)
三个分布
考点:
(1)能辨认三个分布
(2)求自由度
第七章(考点:
两个类型选一个除答题)距估计;
求矩估计的方法
设总体X的分布函数F(x;仇)中含有k个未知
参数…,比,则
1)求总体X的前k阶矩“],・・•,““一般祁是这k个未如参数的函数,亍己为
“产幻(也,…,乞),心1,2,…异;
(1)
2)从1)中解得0=巧(“|,・・,“*),/=1,2,…,
3)冉用(7=1,2,A)的估计罟外分别代餐上式中的“八即可侍0(/=1,2,…,斤)的矩估计量:
6j=hj(A、、…、Ak\/=1,2、…、k・
注:
求儿,…,叫,类似于上述步骤,最后用为,…9心代替
vp•••,vk,求出矩估计(J=l,2,•••,k).
例1设总体X的概卒密度为
[(a+l)xa,0vx<1/(x)=,
I0,其它
其中a>-\是耒知参数,X],*2,…,X”是取自X的样本,
坎多数a的*巨估计.
瑶数学期望足一阶原点矩
“[=£(x)=「x(a+i)x"厶
其样本矩为乂=纟也,而&=2U即为a的矩估计.a+21-X例2设总体X在[“,b]上月艮从均匀分布,“,b未如・X|,X2,…,X”崔来自X的样本,试求a,〃的矩估计量.解“产E(X)=(a+b)/2,
“2=E(X2)=D(X)+(E(X)]2=(*-a)2/12+(a+A)2/4,即a+力=2“],b_a=J12(“2_“f),
解得“=“]-p'3(“2一“;),"“|+沪仃-一“;)・
注意剧丄fx,2-x2=-Z(x,-x)2,
n/=1w/=1
以/],力2代替讶到4,〃的矩估计"S•分别为
a=41-v3(z42-/lJ)=X-J|z(X.-X)2,
b=合+、;3“2一4:
)=无+、丄£g-乂亍.
«ni=\完
例3设总体X的均值“及方差CT2都存在,且^Tcf2>0,但“,"2均为未知,又设X],*2,…,X”足来自X的样本,试求“,cH的矩估计量.
懈“]=E(X)=“,
“2=E(X2)=Z>(X)+[E(X)]2=,+“f,得到“=“1,以合,上2代瞽“1,“2,傅“和"2的矩估计量分别为
力=已=壬,沪==—乂厂壬)2・
j=l"I=1
注:
本例农明,总体均值与方差的矩估计受•的表达式不因不同的总体分布而异・
如9X~?
V(“,“,0*2未如,则“9"2的矩估计旨为
最大似然估计
求最大似然估计的一般方法
主要步骤:
(1)写出似然函数E(0)=<(□,x2,心,0);
(2)令"<(&)=°或讥(&)=0,求出驻点;
dOdO
注:
因函数In工是乙的单调増加函数,且函数lnZ(0)与函数L(0)右相同的极值点,故常转化为求函数\nL(O)的最大值点较方便.
(3)判断并求出垠大值点,在最夫值点的表达式中,用样本值代入即得参数的最人似然估计值.
注:
①当似然函数关于未知参数不可微时,只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点.
②上述方法易推广至多个耒如参数的情形.
例5设X~/>(1,p),X],X2,・・・,X”J^^自总体X的一个样本,试求参数p的最大似然估计.
解设心,*2,…,心是X|,X2,・・・,X”的一个样本值,X的分布讦为
P{X=x}=px(l-p)l-\x=O,l,
故似然函数为
n.n
l(p)=
Z=1
而ln£(p)=(£xjlnp+(w-f>jln(l-p),
解得p的最大似然估计值
注:
这一估计量与矩估计量是相同的.
例6设总体X服从[0,〃]上的均匀分布,0未如.X],…,X”为X的样本,心,…,心为样本值,试求0的瑕大似然估计・
-T7.,0解似然函数<(&)={0
0,其它
因L(0)不可导,可按最大似然法的基本思想确定0•欲使£(°)最大,0应尽黃4、但又不能太小,它必须同时满足0>Xi(f=1,•••,w),即
0»耐心],・・・,£),
否则£(0)=0,而0不可能是1(0)的最大值.因此,当〃=max{X[,…,X”}时9£(〃)可达最大.
所以〃的最大似然估计值与最大似然估计量分别为
A