概率论7章总结精华版.docx

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概率论7章总结精华版

第一章（考点：

利用以下公式解题）一．重要公式

乘法公式全概率公式贝叶斯公式

．重点题型

2、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.05，第二台出现废品的概率是0.0.2，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数比为5:

4；

（1）/任意的从这些零件中取出合格品的概率；

（2）、若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪台机床生产的可能性大。

例12对以往数据分析结果表明9当机器调整得良好时，产品的合格卒为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.毎天早上机器开动时，机器调楚巨好的概率为95%,试求已知某日早上笫一件产品是合格品时，机器调整得良好的槪率是多少？

解设昇为事件“产品合格»,B为事件“机器调整良好”.

P（J|5）=0.98,P（A\B）=0.55,P（B）=0・95,P（i）=0.05所求的概丰丸卩（〃|/）・由贝叶斯公式，彳导

|—“.97.

P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）

例13设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件，

（1）求取剧的翅次品的槪率；

（2）经检验发现取到的产品为次品9求该产品是甲厂生产白勺概率・

解P（/

（1）=45%,P（X2）=35%,7>（J3）=20%,

P（BM1）=4%,P（B|£）=2%,P（B|/4,）=5%.

（1）由全概牢公式傅

3

P（Zr）=£P（Ai）P（B\Ai）=3.5%・

z=i

（2）由贝叶斯公式（或条件棋率定义）,得

例3加工某一零件共需经过四道工序/丈第■一、二、三、四逍工序的次品卒分别足2%,3%,5%,3%,假定各道工厚姥互不影响的，求加工出来的零件的次品率.

解本题应先计算合格品率，这样可以使计算简便.

设“J，九为四道工序发生次品事件，D为加工出来的爭件为次品的事件9则D为产品合格的事件，故冇

D=AtA2A3A49

P（D）=P（A{）P（A2）P（A,）P（A4）

=（1一2%）（1-3%）（1-5%）（1-3%）

=87.59779%»87.60%,

P（D）=l-P（D）

=1-87.60%=12.40%・

某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中：

（1）都不出废品的概率；

（2）至少有一天出废品的槪率；

（3）仅有一天出废品的概率；

（4）最多有一天出废品的概率；

（5）第一天出废品9其余各天不出废品的扌阮率・

第二章（考点：

连续性：

分布函数求概率密度（互求）。

离散型：

选择，填空）一．重要知识点

离散型

1.分布函数的性质：

（1）单调不减

（2）右连续（3）趋近于正无穷为0、趋近于负无穷为1

2.常见离散型随机变量的概率分布（记住公式，不是重点）

（1）0-1分布

（2）二项分布（3）泊松分布连续性

1.已知分布函数求概率密度

2.求参数（公式P49书）

3.常见连续性随机变量的概率分布

（1）均匀分布

（2）正态分布（选择填空考点）（3）指数分布

4.连续型随机变量函数的概率密度（公式P58书例2.30）

二．重点题型

例2设随机变鈕X具有槪率密度

0

其它

Ax,

y（g2号

、o,

⑴确定常数

（2）求X的分布函数F（x）;

⑶求P{l

（1）确定常数A;

rf®

解由f{x）dx=l.得

J-00

匸皿+J：

（2

n，

解得A=l/6,于是X的概率密度为

X

69

2-兰

22’

0

3

.0,

其它

完

这一题是重点！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

！

（例二）

例3设随机变•堡X的分布函数为

0,x<0

F（x）=x2,0<,v

I1,1

求

（1）概卒P{（）・3

（2）X的密度函数.

解由连续型随机变量分布函数的性质，有

（1）P{0.3

=0.72-0.32=0.4・

（2）X的密度函数为

0,

f（x）=F\x）=2x,

0,

例5某元件的寿命X月艮从指数分布，已知其参数2=1/1000,求3个这样的元件使用10004、时，至少已有一个损坏的极率•

解由题/i殳知,X的分布函数为

侖，x>0

I0,x<0

由此傅到

P{X>1000}=l-P{X<1000}=1-F（1000）=e-1•各元件的寿命是否趙过looo小时是独立的，用y表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数，则

Jb（3,l-e-l）9

所求概率为

P{Y>l}=\-P{y=O}=1-C^（l-e-|）o（^-,）3=1-e-3.

例2设随机变量X〜"（0,1）,Y=ex.求丫的极率密度函数.

解设竹心），/>（/）分别为随机变量y的分布函数釈槪卒密度函数,则当/<0时，有

Fr（J）=P{Y

当』>0时，因为g（x）=e•'是x的严格单调増函数，所以有

因而

{e^

Fv（y）=P{Y

再由./>（/）—F|（j）,傅

通常称上式中的『服从对数正态分布，它也是一种常用寿命分布.

\x/8,0

I0,其它

求卩=2X+8的槪率密度.

解设『的分布函数为Fy（$），则

FY（y）=P{Y

=P{X<（j-8）/2}=&[（p-8"2],

于是卩的密度函数

川沪警询宁）冷，

注息到0

书牛°,且人（宁卜罟

例4设x〜/v（oj）,求y=x2的密度函数.

解记y的分布函数为Fy（x）,则

Fy（x）=P{Y

显然，当*<0时，Fr（x）=P{X2

当x'O时，

Fr（x）=P{X2

从而Y=X2的分布函数为

歼（对」巾（厶）-1,5,

[0,x<0

于是其海度函数为

丨0,x<0

注：

以上述函数为密度函数的随机变量称为服从不“I）分布，它是一类更广泛的分布/彳刃）在〃=1时的特例.关于Z2（n）分布的细节将在第五章中给出.

2.设连续型随机变呈X的分布函数为

血、"+〃宀x>0

尸（兀）=],

[0,x<0

试求：

（1）/川的值；

（2）P{—lvX<1};

⑶概率密度函数y*（x）・

4、设随机变量x在区间[2,5]上服从均匀分布，现对x进行三次独立重复观测，求至少有2次观测值大于3的概率。

第三章（考试题：

P90习题三第三题（会有延伸））一．重要知识点

离散型：

联合概率密度边缘概率密度条件分布律连续性：

联合概率密度边缘概率密度判断独立性（离散，连续）注意点：

独立性只有一种求法（见书P81）

注意点：

一定画图步骤一定规范化

二．重点题型

例8设（X,『）的概率密度是

f（x.y）=

cj（2-x）,0

0,其它

求（l）c的值；

（2）两个边缘密度.

解⑴由II:

/（*』）力妙=1确定c・

J；U；g-%W

=c^[x\2-x）/2]dx

=5c/24=lc=24/5.

⑵=jJ（2-x）4f=jx2（2-x）,0

0

例9设随机变量x和y具有联合械率密度

j'6

其它

/2）=［〔/gj'Mz

J,6

0,

其它

例5设（X,Y）的极率密庚为

x>0,y>0

■

0,

其它'

2,

0

o,

其它

（I）f（^y）=

⑵/（“）=

5

因对一切x,儿均有：

f（x.y）=fx（x）fY（y），故X,V处立.

1.设二维随机变量（X,Y）的联合分布如下

Y

X

2

5

8

0.4

0.15

0.30

0.35

0.8

0.05

0.12

0.03

（1）.求关于X和关于Y的边缘分布；

（2）、X与Y是否相互独立；E（X）.D（X）.

第四章

一．重要知识点

数学期望，

注意点，用性质4不能判断独立性

方差，（求法平方的期望减去期望的平方）

注意点，无论加减都是加协方差（考点：

选择，填空），相关系数求法：

乘积的期望减去期望的乘积

协方差的性质

1•协方差的基本性质

（1）cov（X,X）=P（X）；

（2）cov（x,y）=cov（y,X）;

（3）cov（aX,hY）=afrcov（X,F）,其中仪9〃是常数；

（4）cov（C,X）=05C为任意常数；

（5）cov（X]+X2,r）=cove%!

r）+cov（x2,r）；

（6）当*与V4b互独立,贝！

Jcov（X,F）=0.

2.随机变量和的右差与协右差的关系o（x±y）=D（x）+D（y）±2cov（x,y）,

特别地，若X与卩相互3虫立，贝!

J

D（X±Y）=D（x）+D（y）・

③可以证明：

若X,F的方差存在，则协方差cov（X,F）一定存在且满足下列不等式：

|cov（X,y）|

相关系数的性质

II>1；

证由方差的性质和协方差的定义如，对任息实数伏冇0

令b二9则

D（X）

I）（Y-bX）=D（K）-3（烹

=Z）（F）|1-2°V（X,"j（y”[2I

，丿ID（X）P（F）Vn

由于方差o（F）爰正的,故必有i-Q\；no,所以Ipjwi.

2.若x和y相互独立,贝!

jpAT=0；注息到此时cov（X,F）=0,易见结论成立.

注：

X与P相互独立#X与y不相关（参见例3-4）.

相关系数的性质

I•IPxY

2.若X相y相互3虫立,贝!

JpXY=0；

注意到此时cov（x,r）=o,易见结论成立.注：

x与y相互独立寸x与y不相关（参见例3-4）.

3.若D（X）>0,D（Y）>09贝！

J

|pYJ|=1存在常数•H0）,使P{Y=aXb}=1,

而且当时,/?

AT=1,当口<0时9pvr=-l.:

证明1注：

相关系数刻画了x才口y间“线性相关”的程度.

Iq“I的值越接近于1,y与x的线性相关程度越高；IpX}|的值延接近于o,y与x的线性相关程度越弱；IpxtI=i时，y与x冇严格线性关系；

PXY=0时，F与X无线性关系；这里注意：

当PxY=0时，只说明『与x没冇线性关系.

相关系数的性质

1・丨如卜1；

2・若X和『相互处立,贝!

J卩灯=0；

3•若z）（x）>o,z）（y）>o,则

IpXY|=1存在常数“，力（〃工oh使卩{y=ax+b\=1,

而且当“>0时，Qxyi,当“<0B才，pAT=-l.

注:

Px、=0时，卩与X无线性关系；

这里注怠：

当Qx’=0时，只说明『与X没冇线性关系.并不能说明y与x之间没有其它函数关系・从而不能推出卩与X独立・

4・e=E{\Y-（aX^h）\2},称其为用aX^b来近似F的均方误差，则有下列结论：

若D（X）>0,D（y）>0,贝!

J

g0=cov（X,y）/P（X）,60=£（F）-a0E（X）

使均方误罢•达到圮小.:

证明I

．重点题型

例8T殳（XC）的联合概率分布为：

¥

工

"T~

工

1

0

3/8

3/8

0

3

1/X

0

0

]/«

求E（X\E{Y\E（XY）.

解要求E（X）和F（r）,需先求出X和F的边缘分布.关于x和y的边缘分布为

X

13

Y

101

2

3

p

3/41/4

P

1/83/8

3/8

1/8

则冇

EW=lx|+3xl=l

E（Y）=Ox丄4-lx-+2x-+3xl=-

88882

一、a33

£（X-y）=（lxO）x（）+（lxl）x-+（lx2）x-+（lx3）xO

88

+（3x0）x-+（3xl）x0+（3x2）x0+（3x3）x

8

=9/4•

例9设随机变量X在［几兀］上服从均匀分布，求E（X）,E（sinX）,E（X?

）及E\X-E（X）\l.

稱根据随机变愛函数数学期望的计算公式，有

r+x_一・・rK1Hx•—ax=——•

兀2

E（X）=\rxf（x）clx=rJ-8J0

E（sinX）=f+sinxf（x）dx=f^sinx丄厶J—8J07T

=^（-cosx）|^=-^,W）訂：

刃（W訂卜2.詁十E[X_E（X）]—E（XV

訂:

卜书M塔

1.设随机变具冇密度函数

r工，ox<1f（r）=\2-x91

I0,其它

求E（X）和D（X）.

+oc

-QC

r1r2

xf（x）dx=Ix2+x（2-x）dx

JoJ1

=j+（4-l）-j（8-l）=l,

r+o>f1f2

x1f{x）dx-xydx+

J_8JoJ1

1217

x2（2-x）dx

=43（8~1）~4（16'1）=6,

D（X）=E（X2）-（£（X））2=^-1=1

O0

2.设随机变量X的分布律为

!

12

X

-1

0

w

Pi

1/3

1/6

1/61/121/4，

试求Y——X+1及Z二

X2

的期望与方差.

解依题可得

X

-1

0

1/212

x2

1

0

1/414

X4

1

0

1/16116

Pi

1/3

1/6

1/61/121/4

E（X）=（-l）xl+0xi

+丄

x1+lx1+2x

1_

1

3

6

2

612

4

3

1

1]

11,

1

35

E（X）=Ox—+

1x

_+

+—x—+4x

9

6

3

12J

46

4

24

E（X4）=0x丄+

lx-

5—+

1x—=

425

6

12

16

64

96

陀）冷心）备等

E（F）=E（-X+1）=1-E（X）=1--=-,33

D（F）=D（-X+1）=D（X）=E（X2）-（E（X））2=|^-|=^

陀）"（XT

D（Z）=D（X2）=E（X4）-（E（X2））2=^

VO

空

-1

0

0

0.1

0.2

0

1

0.3

0.05

0」

2

0.15

0

0.1

例1已如离散型随机向量

（X,Y）的概率分布如右表，

求cov（X,Y）.

解容易求得X的槪率分布为

P{X=0}=0.3,P{X=1}=0.45,P{X=2}=0.25;y的概率分布为

P{y=-1}=0.55,P{F=0}=0.25,P{Y=2}=02,于是有E（X）=0x0.3+1x0.45+2k0.25=0.95,

E（V）=（-l）x0.55+0x0.254-2x0.2=-0」5・计算得

E（XY）=0x（-l）x0.1+0x0x02-0x2x0

+1x（-1）x0.3+1x0x0.5+1x2x0」

+2x（-1）x0.15+2x0x0+2x2x0.1

=0・

于

cov（X,F）=£（XK）-£（X）E（r）=0.95x0.15=0.1425・宪

例5己知X〜N（l,32）,卩~N（0,4）且X与卩的相关

1VV

系数p^=--・设Z=3~29求D（Z）及Pvz・

解因D（X）=3\D（K）=4\且

coy（X,Y）=J万面pxr=3x4x

所以

D（Z）=D^-^j=lD（X）+lD（r）-2cov（|,^j

=|°（X）+扫⑴-2x|x|cov（X,F）=7,

又因

COV（X,Z）=COV（X9y

牛cov

2/

cov（X,f

考点：

相关系数，协方差、D（X+Y）/D（X-Y）

第五章

考点：

切比雪夫不等式

3.某居民小区共有1000盏电灯，假设夜间每盏灯打开的概率为0.7，各盏灯打开与否彼此独立，估计开灯在650~750盏之间的概率。

第六章（考点：

选择，填空）

三个分布

考点：

（1）能辨认三个分布

（2）求自由度

第七章（考点：

两个类型选一个除答题）距估计；

求矩估计的方法

设总体X的分布函数F（x;仇）中含有k个未知

参数…，比，则

1）求总体X的前k阶矩“],・・•，““一般祁是这k个未如参数的函数，亍己为

“产幻（也，…，乞），心1,2,…异；

（1）

2）从1）中解得0=巧（“|,・・，“*）,/=1,2,…，

3）冉用（7=1,2,A）的估计罟外分别代餐上式中的“八即可侍0（/=1,2,…，斤）的矩估计量：

6j=hj（A、、…、Ak\/=1,2、…、k・

注：

求儿，…，叫，类似于上述步骤，最后用为，…9心代替

vp•••,vk,求出矩估计（J=l,2,•••,k）.

例1设总体X的概卒密度为

[（a+l）xa,0vx<1/（x）=,

I0,其它

其中a>-\是耒知参数，X],*2,…，X”是取自X的样本，

坎多数a的*巨估计.

瑶数学期望足一阶原点矩

“[=£（x）=「x（a+i）x"厶

其样本矩为乂=纟也,而&=2U即为a的矩估计.a+21-X例2设总体X在[“，b]上月艮从均匀分布，“，b未如・X|,X2,…，X”崔来自X的样本，试求a,〃的矩估计量.解“产E（X）=（a+b）/2,

“2=E（X2）=D（X）+（E（X）]2=（*-a）2/12+（a+A）2/4,即a+力=2“],b_a=J12（“2_“f）,

解得“=“]-p'3（“2一“；）,"“|+沪仃-一“；）・

注意剧丄fx,2-x2=-Z（x,-x）2,

n/=1w/=1

以/],力2代替讶到4,〃的矩估计"S•分别为

a=41-v3（z42-/lJ）=X-J|z（X.-X）2,

b=合+、；3“2一4：

）=无+、丄£g-乂亍.

«ni=\完

例3设总体X的均值“及方差CT2都存在，且^Tcf2>0,但“，"2均为未知,又设X],*2,…，X”足来自X的样本，试求“，cH的矩估计量.

懈“]=E（X）=“，

“2=E（X2）=Z>（X）+[E（X）]2=，+“f,得到“=“1，

以合,上2代瞽“1,“2,傅“和"2的矩估计量分别为

力=已=壬，沪==—乂厂壬）2・

j=l"I=1

注：

本例农明,总体均值与方差的矩估计受•的表达式不因不同的总体分布而异・

如9X~?

V（“,“，0*2未如，则“9"2的矩估计旨为

最大似然估计

求最大似然估计的一般方法

主要步骤：

（1）写出似然函数E（0）=<（□，x2,心，0）;

（2）令"<（&）=°或

dOdO

注：

因函数In工是乙的单调増加函数，且函数lnZ（0）与函数L（0）右相同的极值点，故常转化为求函数\nL（O）的最大值点较方便.

（3）判断并求出垠大值点，在最夫值点的表达式中，用样本值代入即得参数的最人似然估计值.

注：

①当似然函数关于未知参数不可微时，只能按最大似然估计法的基本思想求出最大值点.

②上述方法易推广至多个耒如参数的情形.

例5设X~/>（1,p）,X],X2，・・・，X”J^^自总体X的一个样本，试求参数p的最大似然估计.

解设心，*2,…，心是X|,X2，・・・，X”的一个样本值，X的分布讦为

P{X=x}=px（l-p）l-\x=O,l,

故似然函数为

n.n

l（p）=

Z=1

而ln£（p）=（£xjlnp+（w-f>jln（l-p）,

解得p的最大似然估计值

注：

这一估计量与矩估计量是相同的.

例6设总体X服从[0,〃]上的均匀分布，0未如.X],…,X”为X的样本，心,…，心为样本值,试求0的瑕大似然估计・

-T7.,0

解似然函数<（&）={0

0,其它

因L（0）不可导，可按最大似然法的基本思想确定0•欲使£（°）最大，0应尽黃4、但又不能太小，它必须同时满足0>Xi（f=1,•••,w）,即

0»耐心],・・・，£）,

否则£（0）=0,而0不可能是1（0）的最大值.因此,当〃=max{X[,…,X”}时9£（〃）可达最大.

所以〃的最大似然估计值与最大似然估计量分别为

A