概率论7章总结精华版.docx

1、概率论7章总结精华版第一章 （考点：利用以下公式解题） 一重要公式乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式重点题型2、两台机床加工同样的零件， 第一台出现废品的概率是 0.05 ，第二台出现废品 的概率是 0.0.2 ，加工的零件混放在一起， 若第一台车床与第二台车床加工的零 件数比为 5:4 ；(1)/ 任意的从这些零件中取出合格品的概率；(2) 、若已知取出的一个零件为合格品， 那么，它是由哪台机床生产的可能性大。例12 对以往数据分析结果表明9当机器调整得良好时， 产品的合格卒为98%，而当机器发生某种故障时，其合 格率为55%.毎天早上机器开动时，机器调楚巨好的概 率为95%, 试求已知某日早

2、上笫一件产品是合格品时， 机器调整得良好的槪率是多少？解 设昇 为事件“产品合格, B为事件“机器调整良好”.P(J|5) = 0.98, P(AB) = 0.55, P(B)=095, P(i) = 0.05 所求的概丰丸卩(|/)由贝叶斯公式，彳导| “.97.P(A | B)P(B) + P(A | B)P(B)例13 设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占 45%, 35%, 20%,各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%,现从中任取一件，(1)求取剧的翅次品的槪率；(2)经检验发现取到的产品为次品9求该产品是甲厂生产 白勺概率解 P(/(1) = 45%, P(X2) =

3、 35%, 7(J3) = 20%,P(BM1) = 4%, P(B|) = 2%, P(B|/4,)=5%.(1)由全概牢公式傅3P(Zr)= P(Ai)P(BAi) = 3.5 % z=i (2)由贝叶斯公式(或条件棋率定义),得例3 加工某一零件共需经过四道工序/丈第一、二、三、 四逍工序的次品卒分别足2%, 3%, 5%, 3%,假定各道工 厚姥互不影响的，求加工出来的零件的次品率.解 本题应先计算合格品率，这样可以使计算简便.设“J，九为四道工序发生次品事件，D为加 工出来的爭件为次品的事件9则D为产品合格的事件， 故冇D = AtA2A3A49P(D) = P(A)P(A2)P(A

4、,)P(A4)=(1 一 2 %)(1 - 3 %)(1 - 5 %)(1 - 3 %)= 87. 59779 % 87.60%,P(D)= l-P(D)=1-87.60%=12.40 %某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中：(1)都不出废品的概率；(2)至少有一天出废品的槪率；(3)仅有一天出废品的概率；(4)最多有一天出废品的概率；(5)第一天出废品9其余各天不出废品的扌阮率第二章（考点：连续性：分布函数求概率密度（互求） 。离散型：选择，填空） 一重要知识点离散型1.分布函数的性质： （ 1）单调不减（ 2）右连续（ 3）趋近于正无穷为 0、趋近于负无穷为 12.常见离散型随机变量

5、的概率分布（记住公式，不是重点）（1） 0-1 分布（ 2）二项分布（ 3）泊松分布 连续性1.已知分布函数求概率密度2.求参数（公式 P49 书）3.常见连续性随机变量的概率分布（1）均匀分布（ 2）正态分布（选择填空考点） （ 3）指数分布4.连续型随机变量函数的概率密度（公式 P58 书 例 2.30）二重点题型例2设随机变鈕X具有槪率密度0x3其它Ax,y(g 2号、o,确定常数(2)求X的分布函数F(x);求 PlX7/2.(1)确定常数A;r f解由 fx)dx = l.得J- 00匸皿+ J：(2n，解得A = l/6,于是X的概率密度为X692-兰2 20x33x4.0,其它完

6、这一题是重点！ ！（例二）例3设随机变堡X的分布函数为0, x0F(x) = x2, 0 ,vl,I 1, 1 x求(1)概卒P()3X07; (2) X的密度函数.解 由连续型随机变量分布函数的性质，有(1)P0.3 X0I 0, x1000 = l-P Xl = -P y=O = 1-C(l-e-|)o(-,)3 = 1-e-3.例2 设随机变量X(0,1), Y = ex.求丫的极率密度函数.解 设竹心)，/ (/)分别为随机变量y的分布函数釈槪卒 密度函数,则当/0时，有Fr(J) = P Yy = Pex0时，因为g(x) = e是x的严格单调増函数，所以有因而ey=Xlny9Fv(

7、y)=PYy=Pey = PX(/) F| (j),傅通常称上式中的服从对数正态分布，它也是一种常用 寿命分布. x/8, 0x4 例3设 X八()= 、I 0, 其它求卩=2X+8的槪率密度.解设的分布函数为Fy($)，则FY(y)=PYy= P2X+8R= PX(j-8)/2 = &(p-82,于是卩的密度函数川沪警询宁)冷，注息到0 x 4时，fx(x) # 0,即8 jy 16时今书牛,且人(宁卜罟例4设x/v（oj）,求y=x2的密度函数.解记y的分布函数为Fy（x）,则Fy（x） = PYx = PX2x.显然，当 *0 时，Fr（x） = PX2x = 0;当xO时，Fr （x）

8、 = PX2x=P X 、&=2少3三）一1从而Y=X2的分布函数为歼（对巾（厶）-1, 5,0, x0于是其海度函数为丨 0, x0尸（兀）= , 0, x0试求：（1） /川的值； （2） PlvX1;概率密度函数y*（x）4、设随机变量 x在区间2,5 上服从均匀分布，现对 x 进行三次独立重复观测， 求至少有 2 次观测值大于 3 的概率。第三章（考试题： P90 习题三第三题（会有延伸） ） 一重要知识点离散型：联合概率密度 边缘概率密度 条件分布律 连续性：联合概率密度 边缘概率密度 判断独立性（离散，连续）注意点：独立性只有一种求法（见书 P81）注意点：一定画图 步骤一定规范化

9、二重点题型例8设（X,）的概率密度是f(x.y) =cj（2-x）, 0 x 1, 0 yx0, 其它求（l）c的值； （2）两个边缘密度.解由I I: /(*)力妙=1确定cJ；U；g-%W= cx2-x)/2dx=5c/24 = l c = 24/5. = jJ(2-x)4f= jx2(2-x), 0xl,0Jl例9 设随机变量x和y具有联合械率密度j 6v = 6(x-x2),其它/2)= /gjMzJ, 60, y00,其它 2,0x j, 0 j 1o,其它(I) f(y) = /(“)=5因对一切x,儿均有：f(x.y)=fx(x)fY(y)，故X, V处立.1. 设二维随机变量(

10、 X,Y)的联合分布如下YX2580.40.150.300.350.80.050.120.03(1). 求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；(2) 、X与 Y 是否相互独立； E(X).D(X).第四章一重要知识点数学期望，注意点，用性质 4 不能判断独立性方差，(求法平方的期望减去期望的平方 )注意点，无论加减都是加 协方差（考点：选择，填空） ，相关系数 求法：乘积的期望减去期望的乘积协方差的性质1 协方差的基本性质(1)cov(X,X) = P(X)；(2)cov(x,y)= cov(y, X);(3)cov(aX, hY) = afrcov(X, F),其中仪9 是常数；(4)cov(

11、C,X) = 05 C为任意常数；(5)cov(X+X2, r)= cove%!, r)+ cov(x2, r)；(6)当*与 V4b互独立,贝！J cov(X, F)= 0.2.随机变量和的右差与协右差的关系 o(xy)= D(x)+D(y) 2cov(x, y),特别地，若X与卩相互3虫立，贝!JD(XY)= D(x)+ D(y)可以证明：若X, F的方差存在，则协方差cov(X, F) 一定存在且满足下列不等式：|cov(X, y)| EX-E(X) 1 Y-E(Y) 1 ；证 由方差的性质和协方差的定义如，对任息实数伏冇 0 0, D(Y)09 贝！J| p YJ | = 1 存在常数

12、 H 0),使 P Y = aXb = 1,而且当时,/?AT = 1,当口o,z)(y)o,则IpXY| = 1 存在常数“，力(工 oh 使卩 y = ax+b = 1,而且当 “0 时，Qxyi,当 “0, D(y)0,贝!Jg0=cov(X,y)/P(X), 60=(F)-a0E(X)使均方误罢达到圮小.:证明I重点题型例8 T殳(XC)的联合概率分布为：工T工103/83/8031/X00/求 E(X EY E(X Y).解 要求E(X)和F(r),需先求出X和F的边缘分布. 关于x和y的边缘分布为X1 3Y1 0 123p3/4 1/4P1/8 3/83/81/8则冇EW = lx

13、| + 3xl = lE(Y)= Ox 丄 4-lx-+2x- + 3xl = -8 8 8 8 2一、 a 3 3(X-y)= (lxO)x() + (lxl)x- + (lx2)x- + (lx3)xO8 8+ (3x0)x- + (3xl)x0 + (3x2)x0 + (3x3 )x8=9/4 例9设随机变量 X在几兀上服从均匀分布，求E(X), E(sinX), E(X?)及 EX-E(X)l.稱根据随机变愛函数数学期望的计算公式，有 r+x _一 rK 1 H x ax=兀 2E(X) = rxf(x)clx=r J-8 J 0E(sinX) = f+ sinxf(x)dx = f

14、sinx 丄厶 J 8 J 0 7T= (-cosx)| = -, W)訂：刃(W 訂卜2 .詁十 EX_E(X)E(X V訂:卜书M塔1.设随机变具冇密度函数r 工， o x 1 f( r) = 2-x9 1 f 1 f 2x1 fx)dx - xydx +J_8 J o J11 2 1 7x2(2-x)dx=4 3(81)4(161)=6,D(X) = E(X2)-(X)2 = -1 = 1O 02.设随机变量X的分布律为! 1 2X-10wPi1/31/61/6 1/12 1/4，试求Y X + 1及Z二X2的期望与方差.解依题可得X-101/2 1 2x2101/4 1 4X4101/

15、16 1 16Pi1/31/61/6 1/12 1/4E(X) = (-l)xl+0xi+丄x1+lx 1 +2x1 _13626 124311 1 1 ,135E(X ) = Ox +1 x_ +x+4x96312 J4 6424E(X4)=0x 丄 +lx-5 +1 x=425612166 496陀）冷心）备等E(F) = E(-X + 1)=1-E(X) = 1- = -, 3 3D(F)=D(-X+1)=D(X) = E(X2)-(E(X)2 = |-|=陀)(XTD(Z) = D(X2)=E(X4)-(E(X2)2 = VO空-1000.10.2010.30.05020.1500.1

16、例1已如离散型随机向量(X, Y)的概率分布如右表，求 cov(X, Y).解 容易求得X的槪率分布为PX = 0=0.3, PX = 1 = 0.45, PX=2 = 0.25; y的概率分布为Py = -1 = 0.55, PF=0=0.25, PY=2 = 02 , 于是有 E(X) = 0 x 0.3 +1 x 0.45 + 2 k 0.25 = 0.95,E(V) = (-l)x 0.55 + 0 x 0.25 4-2 x 0.2 =-05 计算得E(XY) = 0x(-l)x 0.1+ 0x0x02- 0x2x0+1 x (-1) x 0.3 +1 x 0 x 0.5 +1 x 2

17、 x 0+2 x (-1) x 0.15 + 2x0x0 + 2x2x0.1=0于cov(X,F) = (XK)-(X)E(r)= 0.95x0.15 =0.1425 宪例5 己知XN(l,32),卩 N(0,4)且 X与卩的相关1 V V系数p=-设Z=329求D(Z)及Pvz解 因 D(X) = 3 D(K)=4 且coy(X, Y) = J万面pxr = 3x4x所以D(Z) = D-j = lD(X)+lD(r)-2cov(|,j=| (X) +扫-2 x|x| cov(X,F) = 7,又因COV (X, Z) = COV(X9 y牛cov2 /cov(X, f考点：相关系数，协方差

18、、 D(X+Y)/D(X-Y)第五章考点：切比雪夫不等式3.某居民小区共有 1000盏电灯， 假设夜间每盏灯打开的概 率为 0.7 ，各盏灯打开与否彼此独立，估计开灯在 650750 盏之间的概率。第六章（考点：选择，填空）三个分布考点：（ 1）能辨认三个分布（ 2）求自由度第七章（考点：两个类型选一个除答题） 距估计；求矩估计的方法设总体 X 的分布函数 F（x; 仇）中含有k个未知参数，比，则1） 求总体 X的前k阶矩“,，“ 一般祁是这k个未如 参数的函数，亍己为“产幻（也，乞），心1,2,异； （1）2） 从1）中解得 0 =巧（“|,，“*）, / = 1,2,，3） 冉用（7=1,

19、2, A）的估计罟外分别代餐上式中的 “八 即可侍 0（/ = 1, 2,，斤）的矩估计量：6j= hj（A、Ak / = 1,2、k注：求儿，叫，类似于上述步骤，最后用 为，9心代替vp , vk,求出矩估计 （ J = l, 2, , k）.例1设总体X 的概卒密度为（a + l）xa, 0vx-是耒知参数，X, *2,，X”是取自X的样本，坎多数a的*巨估计.瑶数学期望足一阶原点矩 “=（x）=x（a+i）x厶其样本矩为 乂 =纟也,而&= 2 U 即为a的矩估计. a + 2 1-X 例2 设总体X在“，b上月艮从均匀分布，“，b未如 X|,X2,，X”崔来自X的样本，试求a,的矩估计

20、量. 解 “产E(X) = (a + b)/2,“2 = E(X 2) = D(X)+(E(X)2 = (*-a)2/12 + (a+A)2/4, 即 a +力= 2“, b_a = J12(“2_“f),解得 “=“ -p3(“2一“；), “| + 沪仃-一“；)注意剧 丄 f x,2-x2=-Z(x,-x)2,n /=1 w/=1以/,力2代替讶到4, 的矩估计S分别为a = 41-v3(z42-/lJ)=X-J|z(X.-X)2,b =合 +、； 3“2一 4：)=无 +、丄 g -乂亍. n i = 完例3设总体X的均值“及方差CT 2都存在，且Tcf20, 但“，2均为未知,又设

21、X, *2,，X”足来自X的 样本，试求 “，cH 的矩估计量.懈 “ = E(X)=“，“2 = E(X2)=Z(X) + E(X)2 =，+“f, 得到 “ =“1，r2 = “2_“f.以合,上2代瞽“1, “2,傅“和2的矩估计量分别为力=已=壬，沪= = 乂 厂壬)2 j=l I =1注：本例农明,总体均值与方差的矩估计受的表达式 不因不同的总体分布而异如9 X?V(“, “，0*2未如，则“9 2的矩估计旨为最大似然估计求最大似然估计的一般方法主要步骤：(1)写出似然函数 E(0)= (，x2,心，0);(2)令(&)= 或(1,p), X,X2，X”J自总体 X的一 个样本，试求

22、参数 p的最大似然估计.解 设心，*2,，心 是 X|,X2，X”的一个样本值， X的分布讦为PX=x=px(l-p)l- x=O,l,故似然函数为n . nl(p)=Z = 1而 ln(p) = ( xjlnp+ (w- fjln(l-p),解得p的最大似然估计值注：这一估计量与矩估计量是相同的.例6 设总体X服从0,上的均匀分布，0未如.X, ,X”为 X的样本，心,，心为样本值,试求0的瑕 大似然估计-T7., 0 x., . xn6解似然函数 Xi (f = 1, , w),即0耐心,，),否则(0) = 0,而0不可能是1(0)的最大值.因此,当 = maxX,X”时9 ()可达最大.所以的最大似然估计值与最大似然估计量分别为A