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matlab
第二章
1．用简单消去法解线性方程组。
matlab程序：
function[x]=ja211（A,b）
[m,m]=size（A）;
l（m,m）=0;
x（m,1）=0;
forj=[1:
1:
m-1],
fori=[j+1:
1:
m],
l（i,j）=A（i,j）/A（j,j）;
forh=[j:
1:
m],
A（i,h）=（A（i,h）-l（i,j）*A（j,h））;
end
b（i,1）=b（i,1）-l（i,j）*b（j,1）;
end
end
ifA（m,m）~=0,
x（m,1）=b（m,1）/A（m,m）；
fort=[m-1:
-1:
1],
s=0;
fore=[t+1:
1:
m],
s=s+A（t,e）*x（e,1）,
end
x（t,1）=（b（t,1）-s）/A（t,t）,
end
end
题解
C=[2.373.06-4.28;1.46-0.783.75;-3.695.131.06;];
>>d=[1.76;4.69;5.74;];
>>ja211（C,d）
ans=
0.933798514091890
1.541054685145016
1.207647153023721
2．用主元消去法解线性方程组。
Matlab程序：
function[x]=ja221（A,b）
[m,m]=size（A）;
D（1,m）=0;
l（m,m）=0;
x（m,1）=0;
forj=[1:
1:
m-1],
c=find（A（j:
1:
m,j）==max（A（j:
1:
m,j）））;
D=A（j,:
）;d=b（j,1）;
A（j,:
）=A（c+j-1,:
）;b（j,1）=b（c+j-1,1）;
A（c+j-1,:
）=D;b（c+j-1,1）=d;
fori=[j+1:
1:
m],
l（i,j）=A（i,j）/A（j,j）;
forh=[j:
1:
m],
A（i,h）=（A（i,h）-l（i,j）*A（j,h））;
end
b（i,1）=b（i,1）-l（i,j）*b（j,1）;
end
end
ifA（m,m）~=0,
x（m,1）=b（m,1）/A（m,m）；
fort=[m-1:
-1:
1]，
s=0;
fore=[t+1:
1:
m],
s=s+A（t,e）*x（e,1）；
end
x（t,1）=（b（t,1）-s）/A（t,t）；
end
end
题解
A=[10.83240.76750.9831;0.83240.69300.64000.8190;...
0.76750.64000.59110.7580;0.98310.81900.75800.0055;];
>>b=[8.8997;7.4144;6.8528;4.9171;];
>>ja221（A,b）
ans=
0.999999999999273
2.000000000000864
3.000000000000011
4.00000000000000
5．用LU分解法求线性方程组。
Matlab程序：
function[LUx]=ja51（A,b）
[n,n]=size（A）;
L=eye（size（A））;
U=zeros（size（A））;
U（1,:
）=A（1,:
）;
fori=[2:
1:
n],
forj=[1:
1:
n],
ifjs1=0;
fore1=[1:
1:
j-1],
s1=s1+L（i,e1）*U（e1,j）;
end
L（i,j）=（A（i,j）-s1）/U（j,j）;
elseifj>=i,
s2=0;
fore2=[1:
1:
i-1],
s2=s2+L（i,e2）*U（e2,j）;
end
U（i,j）=A（i,j）-s2;
end
end
end
y（n,1）=0;
x（n,1）=0;
forh=[1:
1:
n],
ifh==1,
y（h,1）=b（1,1）;
else
s3=0;
fore3=[1:
1:
h-1],
s3=s3+L（h,e3）*y（e3,1）;
end
y（h,1）=b（h,1）-s3;
end
end
fort=[n:
-1:
1],
ift==n,
x（t,1）=y（n,1）/U（n,n）;
else
s4=0;
fore4=[t+1:
1:
n],
s4=s4+U（t,e4）*x（e4,1）;
end
x（t,1）=（y（t,1）-s4）/U（t,t）;
end
end
题解：
（1）
>>A=[201;-34-2;17-5;];
>>b=[4;-3;6;];
>>[LUx]=ja51（A,b）
L=
1.00000000000000000
-1.5000000000000001.0000000000000000
0.5000000000000001.7500000000000001.000000000000000
U=
2.00000000000000001.000000000000000
04.000000000000000-0.500000000000000
00-4.625000000000000
x=
1.864864864864865
0.783783783783784
0.270270270270270
（2）
AA=[10.17-0.250.54;0.4710.67-0.32;...
-0.110.351-0.74;0.550.430.361;];
>>bb=[0.3;0.5;0.7;0.9;];
>>[LUx]=ja51（AA,bb）
L=
Columns1through3
1.00000000000000000
0.4700000000000001.0000000000000000
-0.1100000000000000.4007173133355071.000000000000000
0.5500000000000000.3657211172698620.318896973426907
Column4
0
0
0
1.000000000000000
U=
Columns1through3
1.0000000000000000.170000000000000-0.250000000000000
00.9201000000000000.787500000000000
000.656935115748288
000
Column4
0.540000000000000
-0.573800000000000
-0.450668405608086
.0565********
x=
0.440888550891832
-0.363030990136447
1.166********5979
0.393567223148812
6．设对称正定矩阵
能作分解
，其中
为下三角矩阵，
为
的转置矩阵，试推导
的元素
可由下列公式确定：
8．作矩阵的
分解（用五位小数计算）。
Matlab程序：
function[LD]=ja28（A,b）
[n,n]=size（A）;
L=eye（size（A））;
D=zeros（size（A））;
fori=[2:
1:
n],
A（i,1）=A（i,1）/A（1,1）;
forj=[2:
1:
n],
ifi>j;
s1=0;
fore1=[1:
1:
j-1],
s1=s1+A（e1,e1）*A（i,e1）*A（j,e1）;
end
A（i,j）=（A（i,j）-s1）/A（j,j）;
elseifi==j,
s2=0;
fore2=[1:
1:
i-1],
s2=s2+A（e2,e2）*A（i,e2）*A（i,e2）;
end
A（i,j）=A（i,j）-s2;
end
end
end
forh=[1:
1:
n],
D（h,h）=A（h,h）;
end
fork=[2:
1:
n],
fort=[1:
1:
k-1],
L（k,t）=A（k,t）;
end
end
题解：
>>A=[10.83240.76750.9831;0.83240.69300.64000.8190;...
0.76750.64000.59110.7580;0.98310.81900.75800.0055;];
>>[LD]=ja28（A,b）
L=
Columns1through3
1.00000000000000000
0.8324000000000001.0000000000000000
0.76750000000000010.2775761973946751.000000000000000
0.9831000000000006.0555152394805460.353113136417216
Column4
0
0
0
1.000000000000000
D=
Columns1through3
1.00000000000000000
00.0001102400000000
00-0.009600743831649
000
Column4
0
0
0
-0.963830923689467
9．分别用
分解法和
分解法求解线性方程组。
Matlab
求解程序:
function[LDx]=ja2911（A,b）
[n,n]=size（A）;
L=eye（size（A））;
D=zeros（size（A））;
fori=[2:
1:
n],
A（i,1）=A（i,1）/A（1,1）;
forj=[2:
1:
n],
ifi>j;
s1=0;
fore1=[1:
1:
j-1],
s1=s1+A（e1,e1）*A（i,e1）*A（j,e1）;
end
A（i,j）=（A（i,j）-s1）/A（j,j）;
elseifi==j,
s2=0;
fore2=[1:
1:
i-1],
s2=s2+A（e2,e2）*A（i,e2）*A（i,e2）;
end
A（i,j）=A（i,j）-s2;
end
end
end
forh=[1:
1:
n],
D（h,h）=A（h,h）;
end
fork=[2:
1:
n],
fort=[1:
1:
k-1],
L（k,t）=A（k,t）;
end
end
y（n,1）=0;
x（n,1）=0;
y（1,1）=b（1,1）/D（1,1）;
fora=[2:
1:
n],
s3=0;
fore3=[1:
1:
a-1],
s3=s3+L（a,e3）*D（e3,e3）*y（e3,1）;
end
y（a,1）=（b（a,1）-s3）/D（a,a）;
end
x（n,1）=y（n,1）;
forbb=[n-1:
-1:
1],
s4=0;
fore4=[bb+1:
1:
n],
s4=s4+L（e4,bb）*x（e4,1）;
end
x（bb,1）=y（bb,1）-s4;
end
题解：
（1）
A=[4-2-4;-21710;-4109;];
>>b=[10;3;-7;];
>>[LDx]=ja2911（A,b）
L=
1.00000000000000000
-0.5000000000000001.0000000000000000
-1.0000000000000000.5000000000000001.000000000000000
D=
400
0160
001
x=
2
1
-1
（2）
>>A=[10.83240.76750.9831;0.83240.69300.64000.8190;...
0.76750.64000.59110.7580;0.98310.81900.75800.0055;];
>>b=[8.8997;7.4144;6.8528;4.9171;];
>>[LDx]=ja2911（A,b）
L=
Columns1through3
1.00000000000000000
0.8324000000000001.0000000000000000
0.76750000000000010.2775761973946751.000000000000000
0.9831000000000006.0555152394805460.353113136417216
Column4
0
0
0
1.000000000000000
D=
Columns1through3
1.00000000000000000
00.0001102400000000
00-0.009600743831649
000
Column4
0
0
0
-0.963830923689467
x=
0.999999999999501
2.000000000000462
3.000000000000151
3.999999999999999
用
编程求解程序：
function[Lx]=ll（A,b）
[n,m]=size（A）;
L=zeros（size（A））;
L（1,1）=（A（1,1））^（1/2）;
fori=[2:
1:
n],
forj=[1:
1:
i],
ifjs1=0;
fore1=[1:
1:
j-1],
s1=s1+L（i,e1）*L（j,e1）;
end
L（i,j）=（A（i,j）-s1）/L（j,j）;
elsej>=i,
s2=0;
fore2=[1:
1:
i-1],
s2=s2+L（i,e2）*L（i,e2）;
end
L（i,j）=（A（i,i）-s2）^（1/2）;
end
end
end
y（n,1）=0;
x（n,1）=0;
fork=[1:
1:
n],
s3=0;
fore3=[1:
1:
k-1],
s3=s3+L（k,e3）*y（e3,1）;
end
y（k,1）=（b（k,1）-s3）/L（k,k）;
end
x（n,1）=y（n,1）;
forh=[n-1:
-1:
1],
s4=0;
fore4=[h+1:
1:
n],
s4=s4+L（e4,h）*x（e4,1）;
end
x（h,1）=（y（h,1）-s4）/L（h,h）;
end
题解：
（1）
A=[4-2-4;-21710;-4109;];
b=[10;3;-7;];
[Lx]=ll（A,b）
L=
200
-140
-221
x=
2
1
-1
（2）
A=[10.83240.76750.9831;0.83240.69300.64000.8190;...
0.76750.64000.59110.7580;0.98310.81900.75800.0055;];
>>b=[8.8997;7.4144;6.8528;4.9171;];
>>[Lx]=ll（A,b）
L=
Column1
1.000000000000000
0.832400000000000
0.767500000000000
0.983100000000000
Column2
0
0.010499523798722
0.107909655877723
0.063580026370449
Column3
0
0
0.000000000000000+0.097983385487789i
-0.000000000000000+0.034599220566370i
Column4
0
0
0
0.000000000000000+0.981748910714683i
x=
-4.230492466831677+5.135030281812863i
11.705472294606809-9.528336853201315i
4.412452545669016-1.386673748146589i
-0.000000000000000+3.926995642858731i
10．用简单迭代法解下列线性方程组。
（按三位小数进行计算）
Matlab程序：
functionx1=jacobi（A,b,x0,N,E）
[m,n]=size（A）;
x（m,2）=0;
x（:
2）=x0;
fori=[1:
1:
N],
ifmax（abs（x（:
1）-x（:
2）））break;
else
x（:
1）=x（:
2）;
forj=[1:
1:
n],
s1=0;
fore1=[1:
1:
n],
s1=s1+A（j,e1）*x（e1,1）;
end
x（j,2）=（b（j,1）-s1+A（j,j）*x（j,1））/A（j,j）;
end
end
end
x1=x（:
2）;
题解：
（1）
AA=[276-1;6152;11-2;];
>>bb=[85;72;110;];
>>x0=[1;1;1;];
>>jacobi（AA,bb,x0,100,0.0001）
ans=
-1.351465849800266
11.966245114666920
-49.692619548641581
（2）
>>A=[81-2;3101;5-220;];
>>b=[9;19;72;];
>>x0=[1;1;1;];
>>jacobi（A,b,x0,100,0.0001）
ans=
1.808733564833984
1.032266759707031
3.251038359500000
13．用简单迭代法、塞德尔迭代法解线性方程组（个迭代五次）。
并与精确解
比较。
Matlab程序：
functionx1=GS（A,b,x0,N,E）
[m,n]=size（A）;
x（m,2）=0;
x（:
2）=x0;
fori=[1:
1:
N],
ifmax（abs（x（:
1）-x（:
2）））break;
else
x（:
1）=x（:
2）;
forj=[1:
1:
n],
ifj==1,
s1=0;
fore1=[2:
1:
m],
s1=s1+A（1,e1）*x（e1,1）;
end
x（j,2）=（b（1,1）-s1）/A（1,1）;
elseifj==m,
s2=0;
fore2=[1:
1:
m-1],
s2=s2+A（m,e2）*x（e2,2）;
end
x（j,2）=（b（m,1）-s2）/A（m,m）;
else
s3=0;
fore3=[1:
1:
j-1],
s3=s3+A（j,e3）*x（e3,2）;
end
fore4=[j+1:
1:
m],
s3=s3+A（j,e4）*x（e4,1）;
end
x（j,2）=（b（j,1）-s3）/A（j,j）;
end
end
end
end
x1=x（:
2）;
题解：
A=[5-1-1-1;-110-1-1;-1-15-1;-1-1-110;];
b=[-4;12;8;34;];
>>x0=[1;1;1;1];
>>jacobi（A,b,x0,5,0.000001）
ans=
0.968000000000000
1.981270000000000
2.968640000000000
3.981290000000000
>>GS（A,b,x0,5,0.000001）
ans=
0.996552514803221
1.998599188612620
2.998420412137192
3.999357211555304
与真实值比较最大误差是0.004
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