中考数学专题分内讨论.docx

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中考数学专题分内讨论

中考数学专题--分类讨论问题

我们先看一个熟知的问题：

一张正方形的桌子，锯掉一个角后，还剩几个角？

不假思索者答：

4-1=3，还剩3个角。

自以为聪明者答：

反而多一个，应该是5个。

实际上，以上答案都不全面，因为“锯掉一个角”这个条件并不明确，所以应该分三种情况来进行解答：

1,一刀切1个角。

2一刀切2个角3一刀切3个角。

根据以上的锯法，所以这个问题的答案应该是：

还剩5个角，或者4个角，或者3个角。

象上面这样的问题，因为条件不明确而其解答过程和答案不唯一。

近年各地中考试题中，经常出现一些需要分类考虑的问题．本文就常见的类型举例进行介绍如下。

一、与绝对值概念有关的问题

如果∣X∣=a，则x=±a。

例：

如果∣a∣=3，∣b∣=5，则a+b=    。

解：

a=±3，b=±5，a+b的值分别为：

①a+b=2+3=5；   ②a+b=-2+3=1；

③a+b=2-3=-1；  ④a+b=-2-3=-5。

二、与偶次方根有关的分类求解

如果x2n=a，那么x=±。

如x2=9，则x=±3 。

   三、与三角形有关的分类求解

   1．角的计算．

 例1、已知等腰三角形的一个内角50°，则其它两角的度数是           ．

   分析：

50°的角有可能为底角，也有可能为顶角，故必须分类求解．

解

（1）当50°的角为底角时，则顶角为

180°一2×50°=80°

（2）当50°的角为顶角时，则底角为

（180°-50°）=65°

故应填50°、80°或65°、65°．

例2、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45。

，则这个等腰三角形的顶角的度数为             ．

   分析：

根据题意，可画出如图所示的两种图形：

A

B

C

D

B

A

D

C

45°

45°

（1）当垂足在腰上时，如图∠A=45°

（2）当垂足在腰的延长线上时，如图，得

      ∠BAC=90°+45°=135°．

   故应填45~或135。

．

 2．边的计算．

   例3、已知等腰三角形的一边等于5，一边等于6，则它的周长为          ．

   分析：

由三角形的三边不等关系，可知等于5的边既可以作腰，又可以作底，故必须分类求解．

   解：

（1）当腰长为5，底边长为6时，周长为：

   5×2+6=16．

（2）当腰长为6，底边长为5时，周长为：

5+6×2=17．  故应填16或17．

  例4、△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=         。

   分析：

使△ADE与原三角形相似，有过D作DE∥DE交AB于E或作∠ADE=∠B交AB于E两种情况，故须分类求解．

A

B

C

C

B

A

D

D

E

E

   解 

（1）如图3，当DE∥CB时，则△ADE∽△ACB．

（2）如图4，作∠ADE=∠B交AB于E，则△ADE

∽△ABC．  

故AE的长为8/3或3/2。

 二、与圆有关的分类求解

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性；有关圆的计算题，应特别注意根据其对称性进行分类求解．

   1．点和圆的位置．

   例5、若⊙0的半径为5，且点M到⊙0的最短距离为3，则点肘到⊙0的最长距离为   ．

   分析：

根据题意，本题应按点M在圆内和圆外两种情况分类求解：

   ①当点M在o0内时，点肘到圆的最长距离为5×2-3=7；②当点M在⊙0外时，点M到圆的最长距离为5×2+3=13．故应填7或13．

  2．两圆相切问题．

  例6、已知两圆的半径分别是2cm和5cm，当两圆相切时，圆心距是         ．

分析：

两圆相切可分内切和外切两种情况：

①当两圆内切时，圆心距为

5－2=3cm；

②当两圆外切时，圆心距为5+2=7cm．

故应填3cm或7cm．

  3．点在圆上的位置．

 例7、以线段AB为直径作一个半圆，圆心为0，C是半圆上的点，且OC2=AC·BC。

则∠CAB=         。

分析：

由于半圆的对称性，本题应分为点C与点A和点C与点B分别同在四分之一圆上两种情况求解．

A

C

D

A

B

B

C

D

O

O

   解：

（1）当点C和点A同在四分之一圆上时

（如图5），作CD⊥AB，垂足为D，由面积公式，得：

AC·BC=CD·AB=2CD·OC．

又AC·BC=OC2，

故2CD·OC=OC2， 

OC=2CD．故∠COD=30°，

从而∠CBA=∠COD=15°.

 在Rt△ABC中，∠CAB=90°一15°=75°．

（2）当点C和点B同在四分之一圆上时（如图6），同

（1）的解法得∠COD=30°，

此时∠CAB=15°．

 综合

（1）、

（2）所述，∠CAB=75°或15°．

  4．弦所对的圆周角问题．

例8、在⊙0中，圆心角∠AOB的度数是100°，则弦AB所对的圆周角的是        ．

   分析：

弦（除直径外）所对的圆周角有两种情况：

①当弦所对圆周角的顶点在优弧上时，由

∠AOB=100°，知其圆周角为50°；

②当弦所对圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为130°．

故应填50°或130°．

5．公共弦问题．

 例9、⊙01与⊙02相交于A、B两点，它们的半径AOl=20，A02=15，公共弦AB=24，则△A0102的周长等于         ．

   分析：

由于圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆圆心之间，也可在两圆圆心同旁．

解：

（1）当两圆的公共弦AB在两圆圆心之间时，如图7．在Rt△AO1C中，       O1C=16．

在Rt△A02C中，

02C==9．

故0102=01C+02C=16+9=25．

   所以：

所求周长=20+15+25=60．

（2）当两圆的公共弦在两圆圆心同旁时，如图8，如

（1）的解法，得01C=16，02C=9．

 此时0102=01C－02C=7．

故所求周长=20+15+7=42．

B

B

A

A

C

C

O2

O1

O2

O1

   所以应填60或42．

  6．平行弦与圆心的位置．

   例10、⊙0的半径为5cm，两条平行弦的长分别为6cm和8cm，这两条平行弦间的距离为          ．

   分析：

圆内两平行弦与圆心的关系有两种情况：

①当两平行弦在圆心的同旁时，则其距离为1；

②当两平行弦在圆心的两旁时，则其距离为=7．

故应填1cm或7cm．

三、练习题

（一）、填空题

1．化简（m≠n）

 =       。

2．等腰三角形的两条边长是4和5，则它的周长是         。

3．已知点P到⊙0的最近距离为3cm，最远距离为9cm，则⊙0的半径为          ．

   4．已知实数a，b满足条件a2—7a+2=0，b2—7b+2=0，则    ．

5．已知⊙0l的半径是8cm，⊙02的半径是5cm，若两圆相切，则圆心距是        ．     

6．当m=     时，函数Y=（m+3）x2m+1+4x-5

（x≠0）是一个一次函数．   

   7．在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长是8cm，另一条弦长是6cm，则这两条弦之间的距离是      。

8．设k=，

则k的值为            ．   

9．PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=50°，则

∠ABC=          ．

   10．在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=          ．       

二、单项选择题

   11．在平面上任意画四个点，那么这四个点可以确定的直线有（  ）．

A。

1条        B．4条

C．6条        D．1条或4条或6条   

   12．等腰三角形一腰上的高与腰长的比为1∶2，则等腰三角形顶角为（   ）．

   A．30°       B．60°

   C．150°      D．30°或150°

   13．在⊙0中，半径R=1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC的度数为（  ）．

A．75°         B．15°

C．75°或15°   D．90°或60°

   14．若关于x的方程Kx2一4x+3=0有实数根，则k的非负整数值为（   ）．

   A．0、1        B．0、l、2

   C．1           D．1、2、3   

   15．已知两圆内切，一个圆的半径为3，圆心距是2，那么另一圆的半径是（   ）．

A．1           B．5

C．2或3        D．1或5    

   16．在半径等于5cm的圆内有长为5cm的弦，则弦所对的圆周角为（   ）．

   A．60°或120°  B．30°或120°

C．60°         D．120°

   17．相交两圆的公共弦为6，两圆的半径分别为3、5，则两圆的圆心距为（   ）．

A．7或1        B．4或3

C．7           D．1

   18．如果两圆半径分别为R和r，外公切线长为R+r，那么这两圆的位置关系为（  ）．

A．相交         B．外切 

C．外离         D．外切或外离

   三、解答题

   19．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．

20．已知三角形的两边长为3、4，要这个三角形为直角三角形，求第三边的长．   

21．已知抛物线Y=x2一（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，求a的值．

22．当m为何值时，无实数根．

23．已知△ABC的AB=2，AC=2，BC边上的高AD=，求BC的长．

24．已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两根，另一条边c=4，求k的值．

25．当k取何值时，方程x2+kx－3=0和方程x2+x一3k=0有公共根?

求出公共根．   

26．已知抛物线Y=mx2-（3m+）x+4与x轴相交于两点A、B，与Y轴相交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式．

参考答案

一、填空题：

1．±1 2．13或143．3cm或6cm   4．2或22.5，5．3cm或13cm，

 6．一3或一0.5或0   7．1cm或7cm

8．一2或1，   9．65°或115°，10.

二、选择题

11．D 12．D 13．C 14．A 

15．D 16．A 17．A 18．D

三、解答题

19.5cm或llcm 

20．5或 

21．－2或－8或4   

22．当m=2时，方程有增根x=0或x=1；当m<时，化为整式的方程无实根．

23．当△ABC是锐角三角形时，BC=4；当△ABC是钝角三角形时，BC=2.

24．当c为底时，k=4√3；当c为腰时，k=7

25．当k=2时，有公共根一3；当k=1时，有公共根.

26．当AC=BC时，y=-+4；

A

当AC=AB时，Y=+4或Y=x2++4；

当AB=BC时，Y=+4．

B

C

D

45°