第一章 131 第2课时函数的最大小值.docx

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第一章131第2课时函数的最大小值

第2课时　函数的最大（小）值

学习目标　1.了解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.

知识点一　函数的最大（小）值及几何意义

最值

条件

几何意义

最大值

对于任意x∈I，都有f（x）≤M，存在x0∈I，使得f（x0）＝M

函数y＝f（x）图象上最高点的纵坐标

最小值

对于任意x∈I，都有f（x）≥M，存在x0∈I，使得f（x0）＝M

函数y＝f（x）图象上最低点的纵坐标

思考　函数f（x）＝x2＋1≥－1总成立，f（x）的最小值是－1吗？

知识点二　求函数最值的常用方法

1.图象法：

作出y＝f（x）的图象，观察最高点与最低点，最高（低）点的纵坐标即为函数的最大（小）值.

2.运用已学函数的值域.

3.运用函数的单调性：

（1）若y＝f（x）在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f（b），ymin＝f（a）.

（2）若y＝f（x）在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f（a），ymin＝f（b）.

4.分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大（小）的那个.

1.任何函数f（x）都有最大值和最小值.（　　）

2.若存在实数M，使f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值.（　　）

3.函数f（x）取最大值时，对应的x可能有无限多个.（　　）

4.如果f（x）的最大值、最小值分别为M，m，则f（x）的值域为[m，M].（　　）

题型一　图象法求函数的最值

例1　

（1）函数f（x）在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　）

A.－2，f

（2）B.2，f

（2）

C.－2，f（5）D.2，f（5）

（2）已知函数f（x）＝

①画出函数的图象并写出函数的单调区间；

②根据函数的图象求出函数的最小值.

反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤

跟踪训练1　已知函数f（x）＝

则f（x）的最大值为________.

题型二　利用函数的单调性求最值

例2　已知函数f（x）＝

，x∈[3,5].

（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；

（2）求函数f（x）的最大值和最小值.

反思感悟　

（1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，则f（x）的最大值为f（b），最小值为f（a）.

（2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，则f（x）的最大值为f（a），最小值为f（b）.

（3）若函数y＝f（x）有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.

（4）如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.

跟踪训练2　已知函数f（x）＝

（x∈[2,6]），求函数的最大值和最小值.

题型三　求二次函数的最值

例3　已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值.

延伸探究

1.本例函数不变，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最小值.

2.本例改为：

已知函数f（x）＝x2－2ax－3，若x∈[0,2].求函数的最小值.

反思感悟　

（1）二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.

（2）图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.

跟踪训练3　

（1）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；

（2）求函数f（x）＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值.

函数最值的实际应用

典例　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R（x）＝

其中x是仪器的月产量.

（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？

最大利润为多少元？

（总收益＝总成本＋利润）

[素养评析]　

（1）求解实际问题的四个步骤

①读题：

分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）.

②建模：

把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题.

③求解：

选择合适的数学方法求解函数.

④评价：

对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测.

（2）数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养，是数学核心素养的重要内容.

1.函数y＝－x＋1在区间

上的最大值是（　　）

A.－

B.－1C.

D.3

2.函数f（x）＝

在[1，＋∞）上（　　）

A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值

3.函数f（x）＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为（　　）

A.4,1B.4,0

C.1,0D.以上都不对

4.已知函数f（x）＝

则f（x）的最大值、最小值分别为（　　）

A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对

5.已知函数f（x）＝

求函数f（x）的最大值、最小值.

求函数最大（小）值的常用方法有：

（1）观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；

（2）配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；

（3）图象法，对于图象较容易画出来的函数，可借助图象直观地求出最值；

（4）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，依据单调性确定函数最值.

一、选择题

1.函数f（x）的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别为（　　）

A.－1,3B.0,2

C.－1,2D.3,2

2.函数y＝x－

在[1,2]上的最大值为（　　）

A.0B.

C.2D.3

3.函数y＝

的最大值是（　　）

A.3B.4C.5D.6

4.函数f（x）＝

的值域是（　　）

A.RB.[－1,1]

C.{－1,1}D.{－1,0,1}

5.函数g（x）＝x2－4x＋3在区间（1,4]上的值域是（　　）

A.[－1，＋∞）B.[0,3]

C.（－1,3]D.[－1,3]

6.若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　）

A.2B.－2C.2或－2D.0

7.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（　　）

A.－1B.0C.1D.2

8.已知函数f（x）＝4x2－kx－8在区间（5,20）上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是（　　）

A.[160，＋∞）

B.（－∞，40]

C.（－∞，40]∪[160，＋∞）

D.（－∞，20]∪[80，＋∞）

二、填空题

9.若函数y＝ax＋1（a＞0）在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.

10.已知函数f（x）＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是________.

11.函数y＝

的最小值为________，最大值为________.

三、解答题

12.已知函数f（x）＝|x|（x＋1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题.

（1）写出函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间

上的最大值.

13.江西景德镇某商品在最近的30天内价格f（t）与时间t（单位：

天）的函数关系是f（t）＝t＋10（0

最大值为多少？

14.已知f（x）＝5－2|x|，g（x）＝x2－2x，F（x）＝

则F（x）的最值情况是（　　）

A.最大值为3，最小值为5－2

B.最大值为5＋2

，无最小值

C.最大值为3，无最小值

D.既无最大值，又无最小值

15.已知函数f（x），对任意的a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，并且当x>0时，f（x）>1.

（1）求证：

f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）＝5，解不等式f（3m2－m－2）<3.