浙江省宁波市镇海中学高届高级高三上学期期中考试数学试题及试题解析.docx

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浙江省宁波市镇海中学高届高级高三上学期期中考试数学试题及试题解析

浙江省镇海中学2018－2019学年高三上学期期中考试数学试卷

一、选择题:

（本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）

1.设全集,集合,则集合（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据补集的定义求出集合A的补集,然后和集合B进行交集运算,可求

【详解】因为A={x|x≥3},

所以={x|x＜3},

所以（）∩B═{x|0≤x＜3}．

故选:

D．

【点睛】本题的考点是集合的补集和交集运算,比较基础．

2.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的,根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积,从而得到答案．

【详解】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的,该四棱锥的底为正方体的上底,高为1,

如图所示:

所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．

故选:

D．

【点睛】本题考查三视图,考查柱体、锥体的体积计算,解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体,画三视图的要求为:

“长对正,高平齐,宽相等”．

3.记为等差数列的前项和,若,,则等于（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

由题意可得:

由等差数列的性质可得:

该数列的公差:

故.

本题选择B选项.

4.满足线性约束条件的目标函数的最大值是（）

A.1B.C.2D.3

【答案】C

【解析】

画出可行域如图阴影部分所示,易得

在处取得最大值

故选C

点睛:

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:

（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）;

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解）;（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

视频

5.已知函数,则函数的图象为（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

写出分段函数,分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数f（x）的图象的形状．

【详解】=,

当x＜0时,=．

令g（x）=2x3﹣1+ln（﹣x）,

由,得,

当x∈（﹣∞,）时,g′（x）＞0,当x∈（,0）时,g′（x）＜0．

所以g（x）有极大值为=．

又x2＞0,所以f′（x）的极大值小于0．

所以函数f（x）在（﹣∞,0）上为减函数．

当x＞0时,=．

令h（x）=2x3﹣1+lnx,．

所以h（x）在（0,+∞）上为增函数,而h

（1）=1＞0,h（）=﹣．

又x2＞0,所以函数f′（x）在（0,+∞）上有一个零点,则原函数有一个极值点．

综上函数f（x）的图象为D中的形状．

故选:

D．

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:

（1）从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;

（2）从函数的单调性,判断图象的变化趋势;（3）从函数的奇偶性,判断图象的对称性;（4）从函数的特征点,排除不合要求的图象.

6.若、是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为（）

①若直线,则在平面内一定不存在与直线平行的直线．

②若直线,则在平面内一定存在无数条直线与直线垂直．

③若直线,则在平面内不一定存在与直线垂直的直线．

④若直线,则在平面内一定存在与直线垂直的直线．

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】C

【解析】

试题分析:

对于①,若直线,如果,互相垂直,则在平面内,存在与直线平行的直线,所以①是错误的;对于②,若直线,则直线垂直于平面内的所有直线,则在平面内,一定存在无数条直线与直线垂直,所以②正确;对于③,若直线,则在平面内,一定存在与直线垂直的直线,所以③是错误的;对于④,若直线,则在平面内,一定存在与直线垂直的直线,所以④是正确的．故应选．

考点:

1、直线与平面之间的位置关系．

7.已知,那么（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

分析:

先把变形为,而,故可以利用诱导公式和二倍角公式求解.

详解:

因为,故

故选A.

点睛:

本题考查诱导公式和两角和差的余弦、正弦公式的逆用,属于基础题.解题中注意根据正弦、余弦前面的系数选择合适的辅助角变形,另外在求值过程中注意寻找已知的角和未知的角之间的联系.

8.已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设{an}的公比为q（q＞0）,由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5,求出q,代入aman=16a12化简得m,n的关系式,由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围,验证等号成立的条件,由m、n的值求出式子的最小值．

【详解】设正项等比数列{an}的公比为q,且q＞0,

由得:

q=+,

化简得,q2﹣q﹣2=0,解得q=2或q=﹣1（舍去）,

因为aman=16a12,所以=16a12,

则qm+n﹣2=16,解得m+n=6,

所以=（m+n）（）=（10+）≥=,

当且仅当时取等号,此时,解得,

因为mn取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则＞,

验证可得,当m=2、n=4时,取最小值为,

故选:

B．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式,利用“1”的代换和基本不等式求最值问题,考查化简、计算能力,注意等号的成立的条件,属于易错题．

9.已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线上一点,为双曲线渐近线上一点,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

分析:

设,根据为直角三角形可以得到,再根据得,代入双曲线方程可得到离心率.

详解:

设,,

注意到,从而,故即,

故,.

又,解得,代入双曲线方程,则有,

故选C.

点睛:

离心率的计算,关键在合理构建关于的等量关系,本题中的坐标与有关联,这种关联可以通过向量关系式转化到,最后根据在双曲线上可以得到离心率的大小.

10.如图,在三棱柱中,底面为边长为的正三角形,在底面的射影为中点且到底面的距离为,已知分别是线段与上的动点,记线段中点的轨迹为,则等于（）（注:

表示的测度,本题中若分别为曲线、平面图形、空间几何体,分别对应为其长度、面积、体积）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意画出图形,取特殊点得到M的轨迹为平行四边形区域,再建立空间坐标系求出面积即可．

【详解】当E位于B1（或A）,而F在A1C上移动时,M的轨迹为平行于A1C的一条线段,

当F位于A1（或C）,而E在AB1上移动时,M的轨迹为平行与AB1的一条线段．

其它情况下,M的轨迹构成图中平行四边形内部区域．

设异面直线AB1与CA1所成角为θ,

∴|L|=2×|AB1|•|CA1|•sinθ=|AB1|•|CA1|•sinθ．

以O为原点,OB、OC、O为x轴,y轴,z轴建立空间坐标系,

则

∴

∴,,

∴|L|=

故选:

D

【点睛】本题考查棱柱的结构特征,考查空间想象能力和思维能力,利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键,是压轴题．

二、填空题:

（本大题共7个小题,多空题每题6分,单空题每小题4分,共36分．）

11.中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题:

“某贾人擅营,月入益功疾（注:

从第2月开始,每月比前一月多入相同量的铜钱,3月入25贯,全年（按12个月计）共入510贯“,则该人每月比前一月多入_________________贯,第12月营收贯数为_________________.

【答案】

（1）.5

（2）.70

【解析】

【分析】

设每个月的收入为等差数列{an}．公差为d．可得a3=25,S12=510．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

【详解】设每个月的收入为等差数列{an}．公差为d．

则a3=25,S12=510．

∴a1+2d=25,12a1+d=510,

解得a1=15,d=5,

∴a1+11d=15+55=70

故答案为:

5,70

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．

12.的最小正周期为_________________,为了得到函数的图象,可以将函数的图象向左最小移动_______个单位

【答案】

（1）.

（2）.

【解析】

【分析】

利用正弦型周期公式得到最小周期性,先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型,再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．

【详解】的最小正周期为,

由题意y=cos2x=sin（2x+）,

函数y=sin（2x+）的图象经过向左平移,得到函数y=sin[2（x+）+]==的图象,

故答案为:

π,．

【点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减,注意x的系数的应用,以及诱导公式的应用．

13.已知直线,其中,若,则=______,若,则=__________.

【答案】

（1）.0或

（2）.2或－1

【解析】

【分析】

根据直线垂直的等价条件进行求解即可,根据直线的平行关系求出a的值.

【详解】∵l1⊥l2,∴a+a（a+2）=0,

即a（a+3）=0,解得a=0或a=﹣3,

∵l1∥l2,

∴a2﹣a﹣2=0,解得:

a=2或a=﹣1,

经检验均适合题意,

故答案为:

0或,2或－1

【点睛】两直线位置关系的判断:

和的平行和垂直的条件属于常考题型,如果只从斜率角度考虑很容易出错,属于易错题题型,应熟记结论:

垂直:

;

平行:

同时还需要保证两条直线不能重合,需要检验.

14.已知,且,则的最小值_________,此时的值为___________.

【答案】

（1）.

（2）.

【解析】

【分析】

利用均值不等式可得,即从而得到的最小值及相应的x值.

【详解】∵,∴,当且仅当2x=y时,等号成立,

又,∴,

∴,即的最小值

由,解得:

故答案为:

【点睛】本题考查基本不等式以及一元二次不等式的解法,属中档题．

15.已知两不共线的非零向量满足,,则向量与夹角的最大值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

设向量夹角为,由余弦定理求得,再利用基本不等式求得取得最小值,即可求得的最大值,得到结果.

【详解】因为两非零向量满足,,设向量夹角为,

由于非零向量以及构成一个三角形,设,

则由余弦定理可得,

解得,当且仅当时,取得最小值,

所以的最大值是,故答案是.

【点睛】该题考查的是有关向量夹角的大小问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有余弦定理,基本不等式,注意当什么情况下取得最值,再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦值最小.

16.已知数列为等差数列,其前项和为,且,给出以下结论:

①②最小③④,正确的有_________________.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

先求出a1=﹣9d,再表示出求和公式,即可判断．

【详解】设等差数列{an}的公差为d,∵2a1+3a3=S6,∴5a1+6d=6a1+15d,

化为:

a1+9d=0,即a10=0,

给出下列结论:

①a10=0,正确;

②S10=10a1+=﹣45d,可能大于0,也可能小于0,因此不正确;

③S12﹣S7=