高中数学立体几何.docx

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高中数学立体几何

高中数学立体几何

一．解答题（共30小题）

1．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，

（Ⅰ）求证：

BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

2．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．

（1）求证：

EG∥平面ADF；

（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；

（3）设H为线段AF上的点，且AH=

HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．

（Ⅰ）证明：

A1D⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

4．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．

（1）证明：

BC∥平面PDA；

（2）证明：

BC⊥PD；

（3）求点C到平面PDA的距离．

5．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（1）求证：

GF∥平面ADE；

（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=

．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=

，CE=2EB=2．

（Ⅰ）证明：

DE⊥平面PCD

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=

，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．

（Ⅰ）证明：

CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

8．如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．

（1）证明：

PE⊥FG；

（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；

（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

9．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=

，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

（Ⅰ）求证：

MN∥平面ABCD

（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为

，求线段A1E的长．

10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=

，PA=AD=2，AB=BC=1．

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：

BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

12．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2

，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．

（1）证明：

BC⊥AB1；

（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．

（Ⅰ）求证：

直线AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．

14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F

（Ⅰ）求证：

平面ABD⊥平面DEF

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．

15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．

（Ⅰ）求证：

EF⊥平面PAC；

（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：

ME∥平面PAB；

（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求

的值．

16．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=

，∠BAD=60°，G为BC的中点．

（1）求证：

FG∥平面BED；

（2）求证：

平面BED⊥平面AED；

（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

18．如图，已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=120°，AC与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3

．

（1）若M是BC的中点，求证：

在三棱锥D﹣ABC中，直线OM与平面ABD平行；

（2）求二面角A﹣BD﹣O的余弦值；

（3）在三棱锥D﹣ABC中，设点N是BD上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4

．

19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．

（1）求证：

AF∥平面BCE；

（2）求证：

平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

20．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．

（Ⅰ）求证：

BE∥平面ACF；

（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．

（Ⅰ）求证：

DE⊥平面PBC；

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．

22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）证明：

AE⊥平面PAD；

（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．

（Ⅰ）求证：

平面ABB1A1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值．

24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．

（1）若PA=PD，求证：

平面PQB⊥平面PAD；

（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

25．（理）在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．

求：

（1）顶点D'到平面B'AC的距离；

（2）二面角B﹣AC﹣B'的大小．（结果用反三角函数值表示）

26．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．

（1）证明：

AC1⊥A1B；

（2）设二面角A1﹣AB﹣C的正切值为

．求直线AA1与平面BCC1B1的距离．

27．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是

，D是AC的中点．

（1）求证：

B1C∥平面A1BD；

（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大小；

（3）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．

28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的

中点．

（Ⅰ）若PA=PD，求证：

平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试

确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出

的值．

29．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．

（1）求证：

平面PBC⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AB=2，BC=

，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？

若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

30．如图，四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，侧棱AA′⊥ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA′=AB=2，E为棱AA′的中点．

（1）求证：

B′C′⊥CE；

（2）求二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值；

（3）设点M在线段C′E上，且直线AM与平面ADD′A′所成角的正弦值为

，求线段AM的长．

2016年07月04日1338322的高中数学组卷

参考答案

一．解答题（共30小题）

1．　　　；2．　　　；3．　　　；4．　　　；5．　　　；6．　　　；7．　　　；8．　　　；9．　　　；10．　　　；11．　　　；12．　　　；13．　　　；14．　　　；15．　　　；16．　　　；17．　　　；18．　　　；19．　　　；20．　　　；21．　　　；22．　　　；23．　　　；24．　　　；25．　　　；26．　　　；27．　　　；28．　　　；29．　　　；30．　　　；