《公式法》教案.docx
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《公式法》教案
21．2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
教学内容
一元二次方程根的判别式，即Δ＝b2－4ac.
教学目标
1．熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况；
2．会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围．
教学重难点
1．运用判别式求出符合题意的字母的取值范围；
2．运用判别式判别一元二次方程根的情况．
教学过程
一、教师导学
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，我们知道Δ＝b2－4ac.当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根，此结论反之也成立．
如果说方程有实数根，切记此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．
二、合作探究
了解了上述判别规律，我们来进行以下探究：
探究一：
不解一元二次方程，判断根的情况
【例1】不解方程，判断x2－2x＋3＝0的根的情况．
解：
Δ＝b2－4ac＝4－4×1×3＝－8<0，
∴原方程无实数根．
说明：
解此类题时，一般先要把方程化为一般形式求出Δ，然后对Δ进行计算，使Δ的符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论．
探究二：
根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围
【例2】已知一元二次方程kx2＋（2k－1）x＋k＋2＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：
a＝k，b＝2k－1，c＝k＋2，
Δ＝b2－4ac＝（2k－1）2－4k（k＋2）＝－12k＋1
∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac>0，即－12k＋1>0，k<
.
∴k<
且k≠0.
说明：
当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围．
探究三：
证明字母系数方程有无实数根
【例3】求证方程x2－（m＋2）x＋2m－1＝0有两个不相等的实数根．
证明：
Δ＝[－（m＋2）]2－4（2m－1）＝m2－4m＋8＝（m－2）2＋4
无论m取何值都有（m－2）2＋4>0，即Δ>0.
所以无论m取何值，方程有两个不相等的实数根．
说明：
此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出Δ，如果不能直接判断Δ情况，就利有配方法把Δ配成含有完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断Δ的情况，从而证明出方程根的情况．
三、巩固练习
1．不解方程，判别方程
x2－4x＋8＝0的根的情况；
2．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1＝0，其根的判别式为1，求m的值及该方程的根；
3．已知m为非负整数，且关于x的方程（m－2）x2－（2m－3）x＋m＋2＝0有两个实数根，求m的值．
四、总结提升
本节课应掌握：
一元二次方程根的判别式的定义及其运用，为后面学习用公式法解一元二次方程打好基础．
五、布置作业
教材P17习题21.2 4、12、13
第2课时 公式法
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
1．知识与技能：
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2．过程与方法：
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
教学重难点
重点：
求根公式的推导和公式法的应用．
难点：
一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、教师导学
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2－7x＋1＝0
（2）4x2－3x＝52
老师点评：
（1）移项，得：
6x2－7x＝－1；
二次项系数化为1，得：
x2－
x＝－
；
配方，得：
x2－
x＋（
）2＝－
＋（
）2；
（x－
）2＝
；
x－
＝±
；
x1＝
＋
＝
＝1；
x2＝－
＋
＝
＝
.
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x＋m）2＝n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、合作与探究
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：
已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）且b2－4ac≥0，
试推导它的两个根
x1＝
，x2＝
分析：
因为前面系数是具体数字方程已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：
移项，得：
ax2＋bx＝－c
二次项系数化为1，得x2＋
x＝－
；
配方，得：
x2＋
x＋（
）2＝－
＋（
）2；
即（x＋
）2＝
；
∵b2－4ac≥0且4a2>0；
∴
≥0；
直接开平方，得：
x＋
＝±
；
即x＝
；
∴x1＝
，x2＝
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子x＝
就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
【例】用公式法解下列方程．
（x－2）（3x－5）＝1
分析：
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：
将方程化为一般形式
3x2－11x＋9＝0；
a＝3，b＝－11，c＝9；
b2－4ac＝（－11）2－4×3×9＝13>0；
∴x＝
＝
；
∴x1＝
，x2＝
三、巩固练习
教材P12 练习1.
（1）、（3）、（5）
四、能力展示
某数学兴趣小组对关于x的方程（m＋1）xm2＋2＋（m－2）x－1＝0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？
若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程，m是否存在？
若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
五、总结提升
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
教材P17 习题21.2 5.
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