二次项定理10大典型例题.docx

1、二次项定理10大典型例题( 1 )知识点的梳理1二项式定理：(a b)n Cn0an Cn1an 1b L Cnran rbr L Cnnbn(n N ) ，2基本概念：1二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式2二项式系数 :展开式中各项的系数 Cnr (r 0,1,2, ,n).3项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式通项 ： 展开 式中的 第 r1 项 Cnran rbr 叫 做二项 式展开 式的 通项。用Tr 1 Cnran rbr 表示。3 注意关键点：1项数：展开式中总共有(n 1)项。2顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不

2、同的。3指数：a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于 n.4系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是c0,c；,c2, C, ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4常用的结论：令 a 1,b x, (1 x)n Cn0 Cn1x Cn2x2 L Cnrxr L Cnnxn (n N )令 a 1,b x, (1 x)n Cn0 Cn1x Cn2x2 L Cnr xr L ( 1)nCnnxn(n N )5性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cnk奇数项的二项式系数和=偶数项的二项

3、式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C cn Cn C3 L ( 1)nc： (1 1)n 0，从而得到：c0 C； Cn Cnr Cn c3 L c；r 1 - 2n 2n 124奇数项的系数和与偶数项的系数和:(ax)n c；an 0xC；an1xC；an；xLn 0 nCn a x a1ax；1 na；x L anx(xa)n昨0 nxC；axn 1C；a；n ； xLc：n 0 na x anxL； 1a；x ax a令x1,则 aoa1a；asLan(a1)n令x1,则 aoa1a；asL an(a 1)n得,aoa；a4Lan(a1)n(a；1)r1-(奇数项的系数和

4、)得,a1asa5 Lan(a1)n(a；1)n(偶数项的系数和)5二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n是偶数时，则中间一项的二项式n 系数C2取得最大值。如果二项式的幕指数n是奇数时，则中间两项的二项式系n 1 n 1数Cn,C王同时取得最大值。6系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别一 Ar 1 A为Ai,A2, , An 1，设第r 1项系数最大，应有 ，从而解出r来。Ar 1 Ar 2(2 )专题总结专题一题型一：二项式定理的逆用；例：cn C2 6 Cn 62 L C 6n1 .解：(1 6)n C0 cn 6 Cn 62 c

5、3 63 L C： 6n与已知的有一些差距,1 2Cn Cn66 c3 62 Lcn 6 C； 62n n 1Cn 61 1 2 26(Cn 6 Cn 6 LC： 6n)2(7j)6；LC： 6；1)16)； 1练：cn 3cn9C3 L 3n1 ncn解:设 Sn cn3c； 9c；L 3n1cn Cn ，则3Sn1Cn3 Cn32 C；33 LC：3nc0c nC；32 2Cn 3C；33L C：3n 1 (1 3)n 1Sn(1 3)n 13题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式C ； 37）n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解: Tr1 C9(x2)9r

6、(严* Ct”，令 18 3r 9,则r 3故X9的系数为c)3 |题型三：利用通项公式求常数项;1练：求二项式(2x 2x)6的展开式中的常数项?解:Tr 1 c；(2x)6r( 1)r(丄)r ( 1)rC；26 r)rx6 2r，令 6 2r 0,得 r 3，所 2x 2以 T4 ( 1)3Ce 20练:1若(x2丄广的二项展开式中第5项为常数项，则nx解:T5 C：(x2)n 气1)4 C：x2n12，令 2n 12 0,得 n 6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式r.x 3 x)9展开式中的有理项？1 1 27 r解：TC)9r(x)r (1)rC9x，令

7、f Z，(0 r 9)得 r 3 或r 9，84x4，27 r所以当r 3时，丁 4，T4 (1)3陵当 r 9 时，专3，% ( 1)3c：x3 x3题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;令X 1,则有a。ai an 0,，令x 1,则有a。 ai a2 a? （1）% 2n,将-得：2（a1 a3 a5 ） 2 , a1 a3 a5 2 ,有题意得，2n 1 25 6 28， n 9。练：若（3X 5；2）的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。0 2 4 2r 1 3 2r 1 n 1 n 1解：Q Cn Cn Cn Cn Cn Cn L Cn 2 ， 2

8、 1024 ，解得n 11所以中间两个项分别为n 6,n 7，T5 1雳（）6（再）5 462 x 4，61T6 1 462 x题型六：最大系数，最大项；1例：已知（寸2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：QC4 C6 2C；, n2 21n 98 0,解出 n 7或 n 14，当 n 7 时，展开式1 35中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数C73（423 ，T5的系数 C；d)324 70,当n 14时，展开式中二项式系数最大的项是 T8,21T8的系数 C；4()727 3432。2练：在(a b)2n的展开

9、式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即 T2n Tm，12也就是第n 1项。练：在(X 31 )n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项 2 vx是多少？解：只有第5项的二项式最大，则n 1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七21项等于C；()2 72练：写出在(a b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解:因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,且同时取得最大值，从而有T4 C；a4b3的系数最小，T5 C；a3b4系数最大。2x)n的展开式中系数最大1若展开式前三项的二项式系数

10、和等于79，求 (1的项?在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr 1项最大，QTr 1 C；0 2rxrAr 1Ar 1r r r 1 r 1Ar C102 C10 2解得2(11 r) r ，化简得到Ar 2 C1r0 2r C102r 1, r 1 2(10 r)6.3 k7.3，又Q0 r 10， r 7 ,展开式中系数最大的项为T8 Ci7o27x7 15360X7.题型七：含有三项变两项；例：求当(X2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数?解法：(x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5，1 C/(2)5(3x)，当且仅当 r 1时，Tr 1的展开式中才有X的

11、一次项，此时Tr 1 T2 c5(x2 2)43x， 所以x得一次项为c5c：243x它的系数为C；C：243 240。解法：(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C；x5 C；x4 chcfx5 C；x42 C；25)故展开式中含x的项为C；xC；25 C；x24 240x，故展开式中x的系数为 240.2)3的常数项?r rTr 1 C6( 1)x6 r 1 r 6 r(门)(1)C6x6 2r 小，得 6 2r 0,r 3,x 2)3(Jx| )6，设第r 1项为常数项，则x|3 3T31 ( 1) C6 20.题型八：两个二项式相乘;解:Q(1 2x)3的展开式的通项是 c

12、m (2x)m cm 2m Xm练:求(1 3X)6(1 41)10展开式中的常数项.Jx时得展开式中的常数项为 Cb C；0 C； C10 C6 C10 4246.练：已知(1 x x2)(x A)n的展开式中没有常数项，n N*且2 n 8,则n .X解：(x A)n展开式的通项为Cn Xn r X3r Cn Xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得Xn 4r 且 n 4r 1且 n 4r 2,即 n 4,8 且 n 3,7 且 n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和 ；例：2006a2006x在(x J2)2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为 S,当x 7

13、2时,S 解: 设(x 2)2006=a0 a/1 a2x2 a3x3 L2006a2006x 得2x a3X3 asX5 L a2oo5X2005) (x 2) 2006 (x x 2) 2006(x 、,2 ) 2006展开式的奇次幕项之和为 S(x)丄(x X 2 ) 2006 (x 2 ) 200623 2006当x 迈时，s(、2)丸迈 一2)2006(、,2、2)2006 23008 题型十：赋值法;例：设二项式(33 x )n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为xs,若p s 272 ,则n等于多少？解：若(3Vx a。 a2X a*x，有 P a。 a1 an，xS

14、 C C 2n，令 x 1 得 P 4n，又 p s 272 ,即 4n 2n 272 (2n 17)(2n 16) 0解得2n 16或2n 17(舍去)，n 4.n 1练：若3、.x 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？练:题型十一：整除性;由于各项均能被64整除32n 2 8n 9(n N1、(x - 1)11展开式中x的偶次项系数之和是 10241、设f(x)=(x-1) 11，偶次项系数之和是ff( ( 2)11/222、 cn 3C1n 32c2 3ncn 2、2、 4n13、 (3 5 )20的展开式中的有理项是展开式的第 项+V53、 3,9,15,214、 (

15、2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和, 故令x=1 ，则所求和为35+5、求(1+x+x 2)(1-x) 10展开式中x4的系数.5、 (1 x x2)(1 x)10 (1 x3)(1 x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项C；( x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x) 9展开式中的项C9( x)作积，故x4的系数是C9 C； 1356、 求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展开式中x3的系数10 116、 (1 x) (1 x)2 (1 x)10 (1

16、 x)1 (1 生0= 区4，原式中1 (1 x) xx3实为这分子中的x4，则所求系数为7、 若f(x) (1 x)m (1 x)n(m n N)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？7、由条件得m+n=21 , x2的项为C：x2 C：x2，则C； C2 (n彳)2更9.因2 4n N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11 和n=10 ，或m=10和n=11时，x2的系数最小.8、自然数n为偶数时，求证:11 2CnC2 2C3 C： 2cn 1 Cn 3 2n 18、原式=(C01 2 n1n 1 3 5 n 1 nn1 n 1Cn Cn Cn Cn 丿

17、(Cn Cn Cn Cn 丿 2 2 329、求8011被9除的余数.9、 8011 (81 1)11 C18111 Cn8110 畀81 1 81k 1(k Z),k Z, /9k-1 Z ,A8111 被 9 除余 8.10、 在(x2+3x+2) 5的展开式中，求x的系数-2 5 5 510、(x 3x 2) (x 1) (x 2)在(x+1) 5展开式中，常数项为1，含x的项为C； 5x ,在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32，含x的项为C；24x 80x展开式中含x的项为1 (80x) 5x(32) 240x，此展开式中x的系数为240 +Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有11、求(2x+1) 12展开式中系数最大的项C；212 r睥212 rr 1 13 r r r 1C12 2 12 12CJ1211 r 2C；2 C12131 r341, r 4311、设Tr+1的系数最大，则展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：2X4 7920x410，展开式中系数最大的项为m有Tn (严1041.10 16896x10