高中数学第一章空间几何体中心投影与平行投影空间几何体的三视图学案新人教A版必修.docx

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高中数学第一章空间几何体中心投影与平行投影空间几何体的三视图学案新人教A版必修

1.2.1　中心投影与平行投影

1.2.2　空间几何体的三视图

目标定位　1.了解中心投影和平行投影的意义.2.理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的空间几何体.

自主预习

1.投影

（1）投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.

（2）投影的分类

（3）当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.

2.三视图

（1）定义：

光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影.

（2）基本特征：

一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.

即时自测

1.判断题

（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度.（√）

（2）一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样.（×）

提示　

（2）一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.

2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）

A.球B.三棱锥

C.正方体D.圆柱

解析　不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.

答案　D

3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

A.①②B.①③C.①④D.②④

解析　①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同.故选D.

答案　D

4.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________（填序号）.

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体.

解析　线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点.

答案　②⑤

类型一　中心投影与平行投影

例1下列说法中：

①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确说法的个数为（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确.

答案　B

规律方法　判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.

训练1下列命题中，正确的是（　　）

A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.两条相交直线的投影可能平行

D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

解析　平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确.两条相交直线的投影不可能平行，即C错.根据平行投影的性质，知D正确.故选D.

答案　D

类型二　画空间几何体的三视图（互动探究）

例2画出图中正四棱锥和圆台的三视图.（尺寸不作严格要求）

[思路探究]

探究点一　画三视图时，三视图的排列方法如何？

提示　画三视图时，一般地，以正视图为准，侧视图在正视图的正右方，俯视图在正视图的正下方.

探究点二　三视图的画法规则是什么？

提示　三视图的画法规则如下：

（1）正、俯视图都反映物体的长度长对正；

（2）正、侧视图都反映物体的高度高平齐；

（3）俯、侧视图都反映物体的宽度宽相等.

解　正四棱锥的三视图如图所示：

圆台的三视图如图所示：

规律方法　画三视图应遵循的原则和注意事项：

（1）务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.

（2）三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方.

（3）在三视图中，要注意实、虚线的画法.

（4）画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性.

训练2如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.

解　物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图.

类型三　由三视图还原空间几何体

例3根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状.

解　图

（1）对应的几何体是一个六棱锥，图

（2）对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：

规律方法　由三视图还原空间几何体的步骤：

训练3若将本例3

（1）中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.

解　由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如右图：

[课堂小结]

1.理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处.另外应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况.

2.空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力.

1.下列说法正确的是（　　）

A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关

B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关

C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形

解析　对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.

答案　C

2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱

解析　如图，几何体为三棱柱.

答案　B

3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为________.

解析　由正视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为2

，所以侧视图的面积为4×2

＝8

.

答案　8

4.画出如图所示空间图形的三视图（阴影部分为正面）.

解　如图所示.

基础过关

1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A.棱柱B.棱台

C.圆柱D.圆台

解析　先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.

由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.

答案　D

2.已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（　　）

A.上部是一个圆锥，下部是一个圆柱

B.上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱

C.上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱

D.上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱

解析　由几何体的三视图可知，该组合体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱.

答案　A

3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）

解析　由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.

答案　D

4.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高（两底面之间的距离）和底面边长分别是________和________.

解析　三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.

答案　2　4

5.图①为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由______块木块堆成；图②中的三视图表示的实物为______.

解析　①中下层有3块木块，上层有一块木块，共4块木块.

答案　4　圆锥

6.如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图.

解　三视图如图所示.

7.已知一个几何体的三视图如图，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图.

解　由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的下底面圆相切于长方体的上底面正方形，由此可画出实物草图如图.

能力提升

8.用□表示1个立方体，用

表示2个立方体叠加，用

表示3个立方体叠加，那么如图所示，由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是图中的（　　）

答案　B

9.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）

解析　正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.

答案　C

10.如果一个几何体的三视图如图所示，

其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为________.

解析　此几何体为一个正六棱锥，其顶点在底面上的正投影是底面的中心，由于正视图中△ABC是边长为2的正三角形，其高为

＝

，故侧视图中三角形的高为

.又俯视图中各三角形均为正三角形，其边长为

BC＝1，故底面中心到边的距离为

.故侧视图中三角形的底边长为

，故侧视图的面积S＝

×

×

＝

.

答案　

11.如图所示是一些立体图形的视图，但观察的方向不同，试说明其可能是哪一种几何体的视图，并画出立体图形的草图.

解　从柱、锥、台、球和三视图各方面综合考虑.

（1）是一个圆，可能为球的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的俯视图，其直观图如下图中①所示.

（2）是一个三角形，可能是棱锥、圆锥的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的俯视图，其直观图如下图中②所示.

（3）是一个矩形，可能为四棱柱的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的正视图、俯视图，其直观图如下图中③所示.

探究创新

12.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：

（1）该物体有多少层？

（2）该物体的最高部分位于哪里？

（3）该物体一共由几个小正方体构成？

解　

（1）该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来.

（2）该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.

（3）从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.