一元二次方程应用题题型分类练习.docx

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一元二次方程应用题题型分类练习

一元二次方程的应用

（一）二次三项式的因式分解

（1）　形如ax2＋bx＋c（a≠0）的多项式叫做x的二次三项式．

（2）二次三项式因式分解的公式ax2＋bx＋c=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

　　说明：

（a）在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．

　　（b）任何二次三项式，当对应的一元二次方程△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时,不能分解因式．当△=0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式．

　　（c）对于二次三项式的因式分解,能用前面学过的方法分解的,用前面学过的方法较简便．借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式．

（3）因式分解二次三项式的步骤

　　（a）求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．

　　（b）将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a（x－x1）（x－x2）．

　（4）难点/混淆点:

（a）在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．

　　（b）要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．

　　（c）把x1、x2的值代入公式后,能化简整理的可以化简整理．

（5）常见例题-4y2＋8y－1．

解：

对应的方程为－4y2＋8y－1=0

根的判别式：

△=8*8—4＊（-4）*（—1）=48〉0

所以它有两个不等的实根。

它的两根是：

　　启示：

（a）解方程时，如果二次项系数是负数,一般可将其化为正数再解,这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；

　　（b）把4分解为2×2,两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化．

（6）拓展：

形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解这样的多项式叫做关于x，y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式.

（7）综合题：

二次三项式3x2－4x＋2k,当k取何值时，（a）在实数范围内能分解;（b）不能分解;（c）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？

　　　解：

△=（－4）2－4×3×2k=16－24k

　　（a）当△≥0时,即16－24k≥0，

时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；

　　（b）当△＜0时，即16－24k＜0，

时,3x2－4x＋2k不能分解因式；

　　（c）当△=0时，即16－24k=0，

时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．

　　当

时，

（二）列一元二次方程解应用题

（1）解应用题步骤即:

1．审题；

2．设未知数,包括直接设未知数和间接设未知数两种；

3．找等量关系列方程；

4．解方程；

5．判断解是否符合题意；

6．写出正确的解．

（2）常见类型

类型一、数字问题

例1.两个连续奇数的积是323，求这两个数．

举一反三:

【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数．

【变式2】已知两个数的和是12,积为35，求这两个数．

例2。

有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．

举一反三:

【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．

类型二、传播问题

例1。

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

举一反三：

【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？

【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?

若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

类型三、平均增长率问题

列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系。

如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次。

（1）增长率问题：

平均增长率公式为a（1+x）n=b（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量。

）

（2）降低率问题：

平均降低率公式为a（1-x）n=b（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）

例1。

某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3。

31万台,求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

【变式2】青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

例2。

某种商品，原价50元,受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64。

8元，求2、3月份价格的平均增长率。

举一反三：

【变式1】恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20％，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

【变式2】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率.

类型四、储蓄问题

　利息=本金×利率×期数

　　利息税=利息×税率（税率是20%）本金×（1+利率×期数）=本息和

　　本金×[1+利率×期数×（1—20％）］=本息和（收利息税时）

例1.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率

举一反三：

【变式1】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行"，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90％，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

类型五、商品销售问题

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价—进价（成本）

总利润=每件的利润×总件数

　例1.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0。

1元,那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元？

举一反三：

【变式1】某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件,假设超市为使这种商品每天赚得8000元的利润,商品的售价应定为每件多少元?

【变式2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元？

【变式3】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系:

（1）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量减少的数量（件）之间的关系．

（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？

例2。

某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价X（元）满足关系:

P=100—2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元？

每天要售出这种商品多少件？

举一反三：

【变式1】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20％,商店计划要盈利400元，需要进货多少件？

每件商品应定价多少？

例3。

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?

举一反三:

【变式1】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。

为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。

要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元？

【变式2】西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜,以３元／千克的价格出售，每天可售出２００千克.为了促销，该经营户决定降价销售。

经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共２４元。

该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

类型六、面积问题

　例1.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

举一反三：

　　【变式1】一间会议室,它的地板长为20m，宽为15m,现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半,那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？

【变式2】某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

例2。

如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％,求所截去的小正方形的边长。

举一反三：

【变式1】如图,在宽为20m，长为30m，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡.则道路的宽为?

【变式2】一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少?

例3。

如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

①鸡场的面积能达到150m2吗？

②鸡场的面积能达到180m2吗？

如果能，请你给出设计方案;如果不能，请说明理由。

（3）若墙长为

m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度

m对题目的解起着怎样的作用？

举一反三:

【变式1】要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成,如果篱笆的长为35m

（1）求鸡场的