十字相乘法与分组分解法习题课.docx
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十字相乘法与分组分解法习题课
十字相乘法与分组分解法习题课
【知识内容】
1.十字相乘法分解因式
（1）首项系数是1的二次三项式的因式分
（2）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解
（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解
2.分组分解法分解因式
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
【典型例题】
例1分解因式：
分析：
当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。
解：
例2分解因式：
分析：
含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。
解：
例3分解因式：
分析：
首项系数为3应分解为1×3，常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数
的符号相同，用十字相乘法尝试如下：
其中符合对角两数之积的和为
的只有第三个。
解：
例4因式分解：
分析：
这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解。
另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。
解：
方法一
方法二：
小结：
方法一叫配方法。
用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。
在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。
例5分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）分析：
首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式
，分别把它们提出来，剩下的是相同因式
，可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1：
解法2：
说明：
解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：
1和2：
（-3），这也是分组中必须遵循的规律之一。
（2）分析：
若将此题按上题中法
（二）方法分组将含有a的项分在一组即
，含有b的项一组即
，那
与
再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将
一组应用平方差公式，再提出因式。
解：
（3）分析：
若将此题应用
（2）题方法分组将
一组应用平方差公式，或者将
一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。
观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：
（4）分析：
此题按照系数比为1或者为
，可以有不同的分组方法。
解法1：
解法2：
原式
说明：
分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如例5
（1）题的两种解法。
两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。
如例5的
（2）题、（4）题。
若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。
如例5中的（3）题。
例6分解因式：
分析：
多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。
解：
例7已知
，求证：
分析：
要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式。
若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零。
经过分组分解，
可知
，若
或
为零，则原多项式的值为零。
为达此目的，就要从条件入手。
证明：
因为
，所以
所以
又因为
而
所以
例8已知
能分解成两个一次因式的乘积，求m的值。
并将此多项式分解因式。
分析：
根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是三项式，而原多项式的前三项可分解为
，于是可设原多项式分解为
，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。
解：
设
对应项系数相等，所以
解得：
所以
例9已知
，求x与y的值。
分析：
在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质。
本题已有一个明显的非负数，即
，而另一个非负数可由因式分解得到。
于是问题能够解决。
解：
因为
，所以
即
所以
解这个方程组，得：
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
一.选择题
1.用分组分解法分解多项式
分组正确的是（）
A.
B.
C.
D.
2.用分组分解法分解多项式
，分组正确的是（）
A.
B.
C.
D.
3.将多项式
分解因式，其中正确的是（）
A.
B.
C.
D.
4.下列因式分解中，不正确的是（）
A.
B.
C.
D.
5.把多项式
分解因式的结果是（）
A.
B.
C.
D.
二.填空题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
____________。
7.
，则
___________，
___________。
三.分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
四.解答题
1.已知
，求整数x和y的值。
2.已知
（x为整数），求证：
A为一个完全平方数。
【参考大暗暗答案】
一.选择题
1.D2.C3.D4.D5.A
二.填空题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
，则
三.分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
四.解答题
1.解：
又∵x、y为整数
∴
都为整数
则有
或
或
或
解以上方程组得：
2.解：
∵x为整数
必为整数
∴A是一个完全平方数
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