第二章211 简单随机抽样.docx

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第二章211简单随机抽样

2．1.1　简单随机抽样

学习目标

　1.体会随机抽样的必要性和重要性；2.理解随机抽样的目的和基本要求；3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤．

知识点一　统计的基本概念

思考1　样本容量有单位吗？

答案　没有．

思考2　从高二

（2）班60名学生中，抽取8名学生，调查视力状况．其中样本为“8名学生”，对否？

答案　不对，样本应为“8名学生的视力状况”．

梳理　1.总体：

一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体．

2．个体：

构成总体的每一个元素作为个体．

3．样本：

从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本．

4．样本容量：

样本中个体的数目叫样本容量．

知识点二　简单随机抽样

思考1　从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？

为什么？

甲被抽到的机会是多少？

答案　总体内的各个个体被抽到的机会是相同的．因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9.

思考2　被抽取的样本总体的个数有限定条件吗？

答案　被抽取的样本总体的个数必须有限，便于分析．

思考3　简单随机抽样是不放回抽样，对于放回的抽样可以是简单随机抽样吗？

答案　不可以．简单随机抽样是从总体中逐个抽取的是一种不放回抽样，也就是每次从总体中取出元素后不放回总体，若放回，则一定不是简单随机抽样．

梳理　1.一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．简单随机抽样的四个特点

（1）它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．

（2）它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．

（3）它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．

（4）它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．

知识点三　抽签法和随机数法

思考1　在什么条件下使用随机数法？

答案　在总体容量不大的情况下使用．

思考2　采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在形状、大小相同的号签上，并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀？

答案　为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．

梳理　1.抽签法：

把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．

2．随机数法：

随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．

3．利用随机数法抽取个体时的注意事项

（1）定起点：

事先应确定以表中的哪个数（哪行哪列）作为起点．

（2）定方向：

读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）．

（3）读数规则：

读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．

类型一　简单随机抽样的判断

例1　下面的抽样是简单随机抽样吗？

为什么？

（1）小乐从玩具箱中的10件玩具中随意拿出一件玩，玩后放回，再拿出一件，连续拿出四件；

（2）某学校从300名学生中一次性抽取20名学生调查睡眠情况．

解　

（1）不是简单随机抽样，因为玩具被放回了，不符合“不放回抽样”这一特点．

（2）不是简单随机抽样，因为一次性抽取不符合“逐个抽取”这一特点．

反思与感悟　当抽样具有：

（1）总体中个体数是有限的，

（2）逐个抽取，（3）不放回抽取，（4）每个个体被抽到的机会等可能时，为简单随机抽样，否则不是简单随机抽样．

跟踪训练1　下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　）

A．盒子中有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里

B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔5分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人，14人，4人了解对他们学校机构改革的意见

D．从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取）

答案　D

解析　依据简单随机抽样的特点知，只有D符合．

类型二　简单随机抽样等可能性应用

例2　一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．

答案　

解析　因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为

，所以第一个空填

.因为本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为

，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为

，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为

.

反思与感悟　简单随机抽样，每次抽取时，总体中各个个体被抽到的概率相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等．

跟踪训练2　从总体容量为N的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为（　　）

A．120B．200

C．150D．100

答案　A

解析　因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为

，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为

，所以

＝0.25，从而有N＝120.故选A.

类型三　抽签法与随机数法及应用

命题角度1　抽签法

例3　某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案．

解　方案如下：

第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18.

第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．

第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．

第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号．

第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．

反思与感悟　一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．

跟踪训练3　从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．

解　第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02，…，20.

第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．

第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．

第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号．

第五步，与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象．

命题角度2　随机数法

例4　假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？

解　第一步，将800袋牛奶编号为000,001，…，799.

第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数（例如选出第8行第7列的数7）．

第三步，从选定的数7开始依次向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．

反思与感悟　抽签法和随机数法对个体的编号是不同的，抽签法可以利用个体已有的编号，如学生的学籍号、产品的记数编号等，也可以重新编号，例如总体个数为100，编号可以为1,2,3，…，100.随机数法对个体的编号要看总体的个数，总体数为100，通常为00,01，…，99.总体数大于100小于1000，从000开始编起，然后是001,002，….

跟踪训练4　某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

解　方法一　（抽签法）将100件轴编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，搅拌均匀，接着连续不放回地抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．

方法二　（随机数法）将100件轴编号为00,01，…，99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，向右选取10个为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，这10件即为所要抽取的样本．

1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（　　）

A．与第几次抽样有关，第1次的可能性要大些

B．与第几次抽样无关，每次的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后1次的可能性要大些

D．以上都不正确

答案　B

解析　在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故选B.

2．下面抽样方法是简单随机抽样的是（　　）

A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

B．可口可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查

C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动

D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）

答案　D

解析　选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．

3．一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________．

答案　

解析　因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为

.

4．某地有2000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是________．

答案　80

解析　设样本容量为n，根据简单随机抽样，得

＝0.04，解得n＝80.

5．学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学．

解　第一步，将32名男生从0到31进行编号．

第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号．

第三步，将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀，不放回地从中逐个抽出10个号签．

第四步，相应编号的男生参加合唱．

第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱．

1．简单随机抽样是一种简单、基本、不放回的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．

2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．

3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．

40分钟课时作业

一、选择题

1．为了抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在某一路口随机抽查，这种抽查是（　　）

A．简单随机抽样B．系统抽样

C．分层抽样D．有放回抽样

答案　A

解析　根据题意，知在某一路口随机抽查，符合简单随机抽样的特征，故选A.

2．对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会（　　）

A．不相等B．相等

C．不确定D．与抽样次序有关

答案　B

解析