推荐K12学年高中数学第二章推理与证明212演绎推理同步学案新人教A版选修12.docx
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推荐K12学年高中数学第二章推理与证明212演绎推理同步学案新人教A版选修12
2.1.2 演绎推理
学习目标
1.了解演绎推理的含义及其重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并进行一些简单的推理.3.利用具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的区别和联系．
知识点一 演绎推理
思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．
（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
（2）一切奇数都不能被2整除，（2100＋1）是奇数，所以（2100＋1）不能被2整除．
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．
思考2 演绎推理的结论一定正确吗？
答案 所得结论不一定正确．
梳理 演绎推理的定义特点
定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
知识点二 三段论
思考1 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？
每一段分别是什么？
答案 分为三段．
大前提：
所有的金属都能导电．
小前提：
铜是金属．
结论：
铜导电．
思考2 在用三段论证明“已知f（x）＝lg
，则f（x）是奇函数”时，大前提是什么？
答案 大前提为：
奇函数的定义，即若对于函数f（x）的定义域中任意x，都有f（－x）＝－f（x），则f（x）为奇函数．
梳理 三段论的一般模式
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况作出的判断
S是P
知识点三 演绎推理与合情推理的关系
区别
推理形式
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
部分→整体
个别→一般
特殊→特殊
一般→特殊
推理所得结论
不一定正确
不一定正确
不一定正确
联系
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理
1．演绎推理的结论一定正确．（ × ）
2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断．（ √ ）
3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．（ √ ）
类型一 演绎推理概念的理解
例1
（1）演绎推理是（ ）
A．由部分到整体、由个别到一般的推理
B．由特殊到特殊的推理
C．由一般到特殊的推理
D．由一般到一般的推理
考点 演绎推理的含义及方法
题点 演绎推理的含义
（2）《论语·子路》篇中说：
“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ）
A．类比推理B．归纳推理
C．演绎推理D．一次三段论
考点 演绎推理的含义及方法
题点 判断推理是否为演绎推理
答案
（1）C
（2）C
解析
（1）由演绎推理的定义可知．
（2）这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用了五次三段论，属于演绎推理的形式．
反思与感悟 演绎推理是从一般到特殊的推理，这是它不同于其它推理的根本区别．
跟踪训练1 给出下列说法：
①演绎推理的特征为：
前提为真时，结论一定为真；
②演绎推理的特征为：
前提为真时，结论可能为真；
③由合情推理得到的结论一定为真；
④演绎推理和合情推理都可以用于证明；
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．
其中正确说法的序号为________．
考点 演绎推理的含义及方法
题点 演绎推理的含义
答案 ②⑤
解析 结合合情推理与演绎推理的概念判断．
类型二 把演绎推理写成三段论
例2 将下列演绎推理写成三段论的形式．
（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
（2）等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；
（3）通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
考点 三段论
题点 三段论的结构
解
（1）平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
（2）等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
（3）在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2（n－1）＋3]＝2（常数），小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练2
（1）推理：
“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．
（2）函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：
________________________________________________________________________.
小前提：
________________________________________________________________________.
结论：
________________________________________________________________________.
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案
（1）②
（2）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
类型三 演绎推理的实际应用
例3
（1）“因为对数函数y＝logax（x>0）是增函数（大前提），而y＝
是对数函数（小前提），所以y＝
是增函数（结论）”．上面的推理（ ）
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
考点 三段论
题点 大前提错误导致结论错误
答案 A
解析 对数函数y＝logax（x>0）不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
（2）用三段论形式证明：
在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
考点 三段论
题点 三段论的应用
证明 如图所示，延长AB，DC交于点M.
平行线分线段成比例（大前提），
在△AMD中，AD∥BC（小前提），
＝
（结论）．
等量代换（大前提），
AB＝CD（小前提），
MB＝MC（结论）．
在三角形中，等边对等角（大前提），
MB＝MC（小前提），
∠1＝∠2（结论）．
等量代换（大前提），
∠ABC＝π－∠1，∠DCB＝π－∠2（小前提），
∠ABC＝∠DCB（结论）．
反思与感悟 在进行演绎推理时，小前提往往是我们进行推理的条件，大前提是推理的依据，然后由条件依据大前提得出结论．三段论推理是演绎推理的一般模式，同时也是一种最常用的推理．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，有时把一个三段论的结论作为另一个三段论的前提．三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用．
跟踪训练3 用三段论形式写出求解下列题目的主要解答过程．
已知不等式|ax＋2|<6的解集为（－1,2），求实数a的值．
考点 三段论
题点 三段论的应用
解 推理的第一个关键环节：
大前提：
若不等式f（x）<0的解集为（m，n），
且f（m），f（n）有意义，
则m，n是方程f（x）＝0的实数根．
小前提：
不等式|ax＋2|<6的解集为（－1,2），
且x＝－1与x＝2都使|ax＋2|－6有意义．
结论：
－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根，
所以|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：
如果|x|＝a，a>0，那么x＝±a.
小前提：
|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6.
结论：
－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
故可得出结论a＝－4.
1．指数函数y＝ax（a>1）是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理（ ）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．正确
考点 “三段论”及其应用
题点 小前提或推理形式错误导致结论错误
答案 B
解析 此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是（ ）
A．①B．②
C．③D．①和②
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 B
解析 大前提为①，小前提为②，结论为③.
3．用演绎推理证明y＝x2，x∈（－∞，0）是减函数时，大前提是________．
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 减函数的定义
4．求函数y＝
的定义域时，第一步推理中大前提是
有意义，a≥0，小前提是
有意义，结论是________．
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 log2x－2≥0
解析 由三段论形式得，结论应为log2x－2≥0.
5．“因为指数函数y＝ax是增函数（大前提），而y＝
x是指数函数（小前提），所以y＝
x是增函数（结论）”．上面的推理中错误的是________．
考点 三段论
题点 大前提错误导致结论错误
答案 大前提
解析 大前提应为指数函数y＝ax（a>1）为增函数．
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是明显的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1．推理过程“大前提：
________，小前提：
四边形ABCD是矩形．结论：
四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是（ ）
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
考点 “三段论”及其应用
题点 三段论的结构
答案 B
解析 由三段论的一般模式知选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”以上三段论是（ ）
A．大前提错B．小前提错
C．结论错D．正确的
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理的正误判断
答案 D
解析 前提正确，推理形式及结论正确，故选D.
3．“平行于同一直线的两条直线平行，∵a∥b，b∥c，∴a∥c.”这个推理称为（ ）
A．合情推理B．归纳推理
C．类比推理D．演绎推理
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 D
解析 符合三段论推理形式．
4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”关于上述推理，下列说法中正确的是（ ）
A．小前提错B．结论错
C．推理完全正确D．大前提错
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理的正误判断
答案 C
解析 该推理完全正确．
5．“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理（ ）
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理的正误判断
答案 A
解析 该三段论的推理是正确的．
6．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
（n＝1,2,3），由此归纳出{an}的通项公式
D．三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数
考点 演绎推理的含义及方法
题点 判断推理是否为演绎推理
答案 D
解析 A选项，某校高三共有8个班，1班51人，2班53人，由此推测各班都超过50人，属于归纳推理；
B选项，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，属于类比推理；
C选项，由an＋1＝
（n＝1,2,3）归纳出{an}的通项公式，属于归纳推理；
D选项，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．
7．在证明f（x）＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四种说法：
①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f（x）＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f（x）＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中说法正确的是（ ）
A．①④B．②④
C．①③D．②③
考点 三段论
题点 三段论的结构
答案 A
解析 根据三段论的特点，过程应为：
大前提是增函数的定义；小前提是f（x）＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f（x）＝2x＋1为增函数．故①④正确．
8．定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝－f（x＋4），且f（x）在（2，＋∞）上为增函数．已知x1＋x2<4且（x1－2）·（x2－2）<0，则f（x1）＋f（x2）的值（ ）
A．恒小于0B．恒大于0
C．可能等于0D．可正也可负
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 A
解析 不妨设x1－2<0，x2－2>0，
则x1<2，x2>2，∴2∴f（x2）－f（4－x1），
从而－f（x2）>－f（4－x1）＝f（x1），
∴f（x1）＋f（x2）<0.
9．在R上定义运算⊗：
x⊗y＝x（1－y）．若不等式（x－a）⊗（x＋a）<1对任意实数x都成立，则（ ）
A．－1C．－
D．－
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 C
解析 由题意知，（x－a）⊗（x＋a）＝（x－a）[1－（x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1.
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
则Δ＝1－4（－a2＋a＋1）<0，
∴4a2－4a－3<0，解得－
.
二、填空题
10．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为∅，则实数a的取值范围为__________．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 [0,2]
解析 ∵不等式ax2＋2ax＋2<0无解，
则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R.
∴当a＝0时，2≥0，显然成立，
当a≠0时，
解得0∴a的取值范围为[0,2]．
11.如图所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：
∠ACD>∠BCD.
证明：
在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面的证明过程中错误的是________．（填序号）
考点 三段论
题点 小前提或推理形式错误导致结论错误
答案 ③
解析 由AD>BD得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
三、解答题
12．用三段论证明：
已知平面α∥平面β，直线l⊥平面α，l∩α＝A，求证：
l⊥β.
考点 三段论
题点 三段论的应用
证明 如图所示，在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.
①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提
所以a∥b.结论
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提
l⊥α，且a⊂α，小前提
所以l⊥a.结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提
a∥b，且l⊥a，小前提
所以l⊥b.结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提
所以l⊥β.结论
13.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝
.等边三角形ADB以AB为轴旋转．
（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？
证明你的结论．
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其它方面中的应用
解
（1）取AB的中点E，连接CE，DE，CD.
因为AC＝BC＝
，AB＝2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，
所以DE⊥平面ABC，
又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知得DE＝
AB＝
，CE＝1.
所以在Rt△CDE中，CD＝
＝2.
（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，
所以C，D都在AB的垂直平分线上，
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时，由
（1）知AB⊥DE，AB⊥CE，
又DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面CDE，
所以AB⊥平面CDE.
又CD⊂平面CDE，
所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
四、探究与拓展
14．若log2[log3（log4x）]＝log3[log4（log2y）]＝log4[log2（log3z）]＝0，则x＋y＋z等于（ ）
A．123B．105
C．89D．58
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 C
解析 log2[log3（log4x）]＝0⇒log3（log4x）＝1⇒log4x＝3⇒x＝43＝64；
log3[log4（log2y）]＝0⇒log4（log2y）＝1⇒log2y＝4⇒y＝24＝16；
log4[log2（log3z）]＝0⇒log2（log3z）＝1⇒log3z＝2⇒z＝32＝9.
故x＋y＋z＝89.
15.如图所示，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，M，N分别为腰AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分．
（1）AM＋AN是否为定值？
请说明理由．
（2）如何设计才能使四边形BMNC的面积最小？
考点 演绎推理的应用
题点 演绎推理在其它方面的应用
解
（1）AM＋AN是定值，理由如下：
△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，
所以AB＝AC＝
.
因为M，N分别为AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分，
所以AM＋AN＋MN＝MB＋BC＋NC＋MN.
所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC，
又（AM＋AN）＋（MB＋BC＋NC）＝AM＋MB＋BC＋AN＋NC＝AB＋BC＋AC＝2＋2
，
所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC＝
＋1，
所以AM＋AN为定值．
（2）当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小．
由
（1）知，AM＋AN＝
＋1.
令AM＝x，则AN＝
＋1－x，
故S△AMN＝
AM·AN＝
x（
＋1－x）＝－
[x2－（
＋1）x]，
当x＝
时，S△AMN有最大值，四边形BMNC的面积最小，
即当AM＝AN＝
时，四边形BMNC的面积最小．
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