第十一章第4讲 随机事件的概率.docx

第十一章第4讲 随机事件的概率.docx

《第十一章第4讲 随机事件的概率.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章第4讲 随机事件的概率.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第十一章第4讲随机事件的概率

第4讲　随机事件的概率

基础知识整合

1．概率

（1）在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有

稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的

概率，记作

P（A）．

（2）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而

概率是一个确定的值，因此，人们用

概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用

频率作为随机事件概率的估计值．

（3）概率的几个基本性质

①概率的取值范围：

0≤P（A）≤1.

②必然事件的概率：

P（A）＝

1.

③不可能事件的概率：

P（A）＝

0.

④概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝

P（A）＋P（B）．

⑤对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P（A∪B）＝

1，P（A）＝

1－P（B）．

2．事件的关系与运算

1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件

（1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．

（2）事件A的对立事件

所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

2．概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（　　）

A．互斥事件但非对立事件

B．对立事件但非互斥事件

C．互斥事件也是对立事件

D．以上都不对

答案　A

解析　由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.

2．（2019·宁夏检测）抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为（　　）

A．至多有2件次品B．至多有1件次品

C．至多有2件正品D．至少有2件正品

答案　B

解析　∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．

3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”（　　）

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件，也不是对立事件

答案　C

4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品（甲级品）的概率为（　　）

A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08

答案　C

解析　记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P（A）＝1－P（B）－P（C）＝1－0.05－0.03＝0.92.

5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：

这一地区男婴出生的概率约是________（保留四位小数）．

答案　0.5173

解析　男婴出生的频率依次约是：

0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.

6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为

，则这班参加聚会的同学的人数为________．

答案　18

解析　设女同学有x人，则该班到会的共有（2x－6）人，所以

＝

，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人．

核心考向突破

考向一　事件的概念

例1　从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．

（1）“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；

（2）“至少有1件次品”和“全是次品”；

（3）“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．

解　从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：

①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．

（1）“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．

（2）“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．

（3）“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．

触类旁通

事件间关系的判断方法

对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．

即时训练　1.（2019·湖北十市联考）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

答案　D

解析　A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．

考向二　随机事件的概率与频率

例2　（2018·北京高考）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：

一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？

（只需写出结论）

解　

（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，

故所求概率为

＝0.025.

（2）设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B.

没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628（部）．

由古典概型概率公式得P（B）＝

＝0.814.

（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．

触类旁通

概率和频率的关系

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

即时训练　2.（2017·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

解　

（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为

＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25），则Y＝6×300＋2（450－300）－4×450＝300；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（450－200）－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值为900,300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为

＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

考向三　互斥、对立事件的概率

角度1　　互斥事件的概率

例3　（2019·唐山模拟）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．

解　

（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得

P（A）＝

＝0.15，P（B）＝

＝0.12.

由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，

所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.

（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．

由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100（辆），

而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆），

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为

＝0.24，

由频率估计概率得P（C）＝0.24.

角度2　　对立事件的概率

例4　（2019·扬州模拟）某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）．

解　

（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，

所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

＝1.9（分钟）．

（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P（A1）＝

＝

，P（A2）＝

＝

.

P（A）＝1－P（A1）－P（A2）＝1－

－

＝

.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为

.

触类旁通

求复杂的互斥事件的概率的一般方法

（1）直接法：

将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．

（2）间接法：

先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－

，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便.

即时训练　3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）；

（2）1张奖券的中奖概率；

（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

解　

（1）P（A）＝

，P（B）＝

＝

，P（C）＝

＝

.

（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．

设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.

∵A，B，C两两互斥，

∴P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝

＋

＋

＝

.

故1张奖券的中奖概率为

.

（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P（N）＝1－P（A∪B）＝1－

＝

.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为

.