高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布114随机事件的概率学案理.docx

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高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布114随机事件的概率学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-4随机事件的概率学案理

考纲展示►　

1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．

2．了解两个互斥事件的概率加法公式．

考点1　随机事件的关系

1.事件的分类

答案：

一定会　一定不会　可能发生也可能不

2．频率和概率

（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的________nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．

（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的________稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率．

答案：

（1）次数　

（2）频率fn（A）

3．事件的关系与运算

定义

符号表示

包含

关系

如果事件A发生，则事件B________，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）

________

（或A⊆B）

相等

关系

若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等

A＝B

并事件

（和事件）

若某事件发生当且仅当__________________，称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）

A∪B

（或A＋B）

交事件

（积事件）

若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）

________

（或AB）

续表

定义

符号表示

互斥

事件

若A∩B为________事件，那么称事件A与事件B互斥

A∩B＝∅

对立

事件

若A∩B为________事件，A∪B为________事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

A∩B＝∅

且A∪B

＝U

答案：

一定发生　B⊇A　事件A发生或事件B发生　事件A发生且事件B发生　A∩B　

不可能　不可能　必然

[教材习题改编]从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件：

①3人都是男生；②至少有1名男生；③3人都是女生；④至少有1名女生．其中是必然事件的序号有__________．

答案：

②

解析：

因为只有2名女生，所以任选3人，至少有1人是男生.

概率的基本概念：

事件的概念；频率与概率的关系．

（1）抛掷骰子一次，出现的点数可能是1,2,3,4,5,6，设事件A表示出现的点数是偶数或不小于5，则A＝__________.

答案：

{2,4,5,6}

解析：

出现偶数有2,4,6，不小于5有5,6，所以事件A＝{2,4,5,6}．

（2）某射手在同一条件下进行射击，结果如下：

射击次数

100

200

500

击中靶心次数

178

455

这个射手射击一次，击中靶心的概率约是__________．

答案：

0.90

解析：

击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91，易知击中靶心的频率在0.90附近摆动，故P（A）≈0.90.

[典题1]　

（1）[2017·湖北十市联考]从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

[答案]　D

[解析]　A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．

（2）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（　　）

A．A与B是互斥而非对立事件

B．A与B是对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件

D．B与C是对立事件

[答案]　D

[解析]　根据互斥事件与对立事件的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω（Ω为必然事件），故事件B，C是对立事件．

[点石成金]　判别互斥事件与对立事件的两种方法

（1）定义法

判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

（2）集合法

①由各个事件所含的结果组成的集合，彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

考点2　随机事件的概率

概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围：

________.

（2）必然事件的概率P（E）＝________.

（3）不可能事件的概率P（F）＝________.

（4）概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝________.

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝________，P（A）＝________.

答案：

（1）[0,1]　

（2）1　（3）0　

（4）P（A）＋P（B）　1　1－P（B）

（1）[2017·贵州贵阳一中适应性考试]某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案：

解析：

甲，乙两名同学分班有以下情况：

（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为＝，故选A.

（2）[教材习题改编]记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．

答案：

解析：

根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：

10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为.

[典题2]　某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.

　　　　　商品

顾客人数　　　　　

甲

乙

丙

丁

100

√

217

√

200

√

300

√

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

[解]　

（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.

（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为

＝0.3.

（3）与

（1）同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.

所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．

[题点发散1]　在本例条件下，估计顾客购买乙或丙的概率．

解：

解法一：

顾客购买乙而不购买丙的概率为＝0.315，

顾客购买丙而不购买乙的概率为＝0.4，

顾客既购买乙又购买丙的概率为＝0.2.

故顾客购买乙或丙的概率为0.315＋0.4＋0.2＝0.915.

解法二：

顾客既不购买乙也不购买丙的概率为＝0.085.

故顾客购买乙或丙的概率为1－0.085＝0.915.

[题点发散2]　在本例条件下，估计顾客至少购买两件商品的概率是多少？

解：

顾客只购买一件商品的概率为＝0.183.

故顾客至少购买两件商品的概率是1－0.183＝0.817.

[点石成金]　1.概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

随机抽取一个年份，对××市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

日期

天气

晴

雨

阴

雨

阴

晴

日期

天气

阴

晴

阴

雨

阴

日期

天气

晴

阴

晴

阴

晴

雨

（1）在4月份任取一天，估计××市在该天不下雨的概率；

（2）某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

解：

（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，××市不下雨的概率为＝.

（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等）．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.

以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.

考点3　互斥事件与对立事件的概率

（1）[教材习题改编]若A，B为互斥事件，P（A）＝0.4，P（A∪B）＝0.7，则P（B）＝__________.

答案：

0.3

解析：

∵A，B为互斥事件，

∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

＝0.4＋P（B）＝0.7，

∴P（B）＝0.7－0.4＝0.3.

（2）[教材习题改编]经统计，在夏日超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下：

排队人数

5人及以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.1

0.04

则至少有2人排队的概率为__________．

答案：

0.74

解析：

依题意，“至少有2人排队”记为事件A，则其对立事件为至多有1人排队，

所以P（A）＝1－（0.1＋0.16）＝0.74.

互斥事件：

不同时发生；加法公式．

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，设A＝{恰有1名男生}，B＝{恰有2名男生}，C＝{至少有1名男生}，D＝{至少有1名女生}，其中彼此互斥的事件是__________，互为对立事件的是__________．

答案：

A与B，B与D　B与D

解析：

设I为从3名男生和2名女生中，任选2名同学去参加演讲比赛所发生的所有情况．

因为A∩B＝∅，B∩D＝∅，

所以A与B，B与D为互斥事件．

因为B∩D＝∅，B∪D＝I，

所以B与D互为对立事件．

[典题3]　[2017·河南洛阳模拟]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：

排队人数

5人及5人以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.1

0.04

求：

（1）至多2人排队等候的概率是多少？

（2）至少3人排队等候的概率是多少？

[解]　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．

（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则

G＝A∪B∪C，

所以P（G）＝P（A∪B∪C）

＝P（A）＋P（B）＋P（C）

＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

（2）解法一：

记“至少3人排队等候”为事件H，则

H＝D∪E∪F，

所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

解法二：

记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.

[点石成金]　求复杂互斥事件概率的两种方法

（1）直接法：

将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

（2）间接法：

先求此事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P（）求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．

[提醒]　应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和（或差）.

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）；

（2）1张奖券的中奖概率；

（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

解：

（1）P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝.

故事件A，B，C的概率分别为，，.

（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．

设“1张奖券中奖”这个事件为M，

则M＝A∪B∪C.

∵A，B，C两两互斥，

∴P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＝.故1张奖券的中奖概率为.

（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P（N）＝1－P（A∪B）

＝1－＝.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

[方法技巧]　1.从集合角度理解互斥事件和对立事件

从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

2．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

真题演练集训

1．[2014·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案：

解析：

4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16（种），其中仅在周六（周日）参加的各有1种，

∴所求概率为1－＝.

2．[2015·江苏卷]袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

答案：

解析：

由古典概型概率公式，得

所求事件的概率为P＝＝.

3．[2016·北京卷]A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：

小时）：

A班

6　6.5　7　7.5　8

B班

6　7　8　9　10　11　12

C班

3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5

（1）试估计C班的学生人数；

（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（3）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25（单位：

小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）

解：

（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×＝40.

（2）设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.

由题意可知，P（Ai）＝，i＝1,2，…，5；

P（Cj）＝，j＝1,2，…，8.

P（AiCj）＝P（Ai）P（Cj）＝×＝，i＝1,2，…，5，j＝1，2，…，8.

设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，

E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.

因此P（E）＝P（A1C1）＋P（A1C2）＋P（A2C1）＋P（A2C2）＋P（A2C3）＋P（A3C1）＋P（A3C2）＋P（A3C3）＋P（A4C1）＋P（A4C2）＋P（A4C3）＋P（A5C1）＋P（A5C2）＋P（A5C3）＋P（A5C4）

＝15×＝.

（3）μ1<μ0.

课外拓展阅读

方程思想在概率问题中的运用探讨

[典例]　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

[思路分析]　本题可利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解，也可逐个求各色球的个数再求其概率．

[解]　解法一：

从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，

则有P（A）＝，

P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝，

P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝，

P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－＝，

联立解得P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝，

因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.

解法二：

设红球有n个，则＝，

所以n＝4，即红球有4个．

又得到黑球或黄球的概率是，

所以黑球和黄球共5个．

又总球数是12，

所以绿球有12－4－5＝3（个）．

又得到黄球或绿球的概率也是，

所以黄球和绿球共5个，

而绿球有3个，

所以黄球有5－3＝2（个）．

所以黑球有12－4－3－2＝3（个）．

因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是＝，＝，＝.

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