八年级数学三角形辅助线大全.docx

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八年级数学三角形辅助线大全

三角形作辅助性方法大全

1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.

例：

已知D为△ABC内任一点，求证：

∠BDC＞∠BAC

证法

（一）：

延长BD交AC于E，

∵∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC

同理：

∠DEC＞∠BAC

∴∠BDC＞∠BAC

证法

（二）：

连结AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角，

∴∠BDF＞∠BAD

同理∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：

∠BDC＞∠BAC

2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.

例：

已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1=∠2，∠3=∠4，

求证：

BE＋CF＞EF

证明：

在DA上截取DN=DB，连结NE、NF，则DN=DC

在△BDE和△NDE中，

DN=DB

∠1=∠2

ED=ED

∴△BDE≌△NDE

∴BE=NE

同理可证：

CF=NF

在△EFN中，EN＋FN＞EF

∴BE＋CF＞EF

3.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.

例：

已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

BE＋CF＞EF

证明：

延长ED到M，使DM=DE，连结CM、FM

△BDE和△CDM中，

BD=CD

∠1=∠5

ED=MD

∴△BDE≌△CDM

∴CM=BE

又∵∠1=∠2，∠3=∠4

∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180o

∴∠3＋∠2=90o

即∠EDF=90o

∴∠FDM=∠EDF=90o

△EDF和△MDF中

ED=MD

∠FDM=∠EDF

DF=DF

∴△EDF≌△MDF

∴EF=MF

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF

BE＋CF＞EF

（此题也可加倍FD，证法同上）

4.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.

例：

已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连结BE

∵AD为△ABC的中线

∴BD=CD

在△ACD和△EBD中

BD=CD

∠1=∠2

AD=ED

∴△ACD≌△EBD

∵△ABE中有AB＋BE＞AE

∴AB＋AC＞2AD

5.截长补短作辅助线的方法

截长法：

在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：

延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：

①a＞b

②a±b=c

③a±b=c±d

例：

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，

求证：

AB－AC＞PB－PC

证明：

⑴截长法：

在AB上截取AN=AC，连结PN

在△APN和△APC中，

AN=AC

∠1=∠2

AP=AP

∴△APN≌△APC

∴PC=PN

∵△BPN中有PB－PC＜BN

∴PB－PC＜AB－AC

⑵补短法：

延长AC至M，使AM=AB，连结PM

在△ABP和△AMP中

AB=AM

∠1=∠2

AP=AP

∴△ABP≌△AMP

∴PB=PM

又∵在△PCM中有CM＞PM－PC

∴AB－AC＞PB－PC

练习：

1.已知，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O

求证：

AC=AE＋CD

2.已知，如图，AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4.

求证：

BC=AB＋CD

6.证明两条线段相等的步骤：

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.

③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.

例:

如图，已知，BE、CD相交于F，∠B=∠C，∠1=∠2，求证：

DF=EF

证明：

∵∠ADF=∠B＋∠3

∠AEF=∠C＋∠4

又∵∠3=∠4

∠B=∠C

∴∠ADF=∠AEF

在△ADF和△AEF中

∠ADF=∠AEF

∠1=∠2

AF=AF

∴△ADF≌△AEF

∴DF=EF

7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.

例：

已知，如图Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：

DE=BD－CE

证明：

∵∠BAC=90o,BD⊥AN

∴∠1＋∠2=90o∠1＋∠3=90o

∴∠2=∠3

∵BD⊥ANCE⊥AN

∴∠BDA=∠AEC=90o

在△ABD和△CAE中，

∠BDA=∠AEC

∠2=∠3

AB=AC

∴△ABD≌△CAE

∴BD=AE且AD=CE

∴AE－AD=BD－CE

∴DE=BD－CE

8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.

例：

AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E

求证：

BE=CF

证明：

（略）

9.条件不足时延长已知边构造三角形.

例：

已知AC=BD，AD⊥AC于A，BCBD于B

求证：

AD=BC

证明：

分别延长DA、CB交于点E

∵AD⊥ACBC⊥BD

∴∠CAE=∠DBE=90o

在△DBE和△CAE中

∠DBE=∠CAE

BD=AC

∠E=∠E

∴△DBE≌△CAE

∴ED=EC，EB=EA

∴ED－EA=EC－EB

∴AD=BC

10.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.

例：

已知，如图，AB∥CD，AD∥BC

求证：

AB=CD

证明：

连结AC（或BD）

∵AB∥CD，AD∥BC

∴∠1=∠2

在△ABC和△CDA中，

∠1=∠2

AC=CA

∠3=∠4

∴△ABC≌△CDA

∴AB=CD

练习：

已知，如图，AB=DC，AD=BC，DE=BF，

求证：

BE=DF

11.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

可归结为“角分垂等腰归”.

例：

已知，如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E

求证：

BD=2CE

证明：

分别延长BA、CE交于F

∵BE⊥CF

∴∠BEF=∠BEC=90o

在△BEF和△BEC中

∠1=∠2

BE=BE

∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC

∴CE=FE=

CF

∵∠BAC=90o,BE⊥CF

∴∠BAC=∠CAF=90o

∠1＋∠BDA=90o

∠1＋∠BFC=90o

∠BDA=∠BFC

在△ABD和△ACF中

∠BAC=∠CAF

∠BDA=∠BFC

AB=AC

∴△ABD≌△ACF

∴BD=CF

∴BD=2CE

练习：

已知，如图，∠ACB=3∠B，∠1=∠2,CD⊥AD于D，

求证：

AB－AC=2CD

12.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.

例：

已知，如图，AC、BD相交于O，且AB=DC，AC=BD，

求证：

∠A=∠D

证明：

（连结BC，过程略）

13.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.

例：

已知，如图，AB=DC，∠A=∠D

求证：

∠ABC=∠DCB

证明：

分别取AD、BC中点N、M，

连结NB、NM、NC（过程略）

14.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.

例：

已知，如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，

求证：

∠BAP＋∠BCP=180o

证明：

过P作PE⊥BA于E

∵PD⊥BC，∠1=∠2

∴PE=PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中

BP=BP

PE=PD

∴Rt△BPE≌Rt△BPD

∴BE=BD

∵AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE

∴AE=CD

∵PE⊥BE，PD⊥BC

∠PEB=∠PDC=90o

在△PEA和△PDC中

PE=PD

∠PEB=∠PDC

AE=CD

∴△PEA≌△PDC

∴∠PCB=∠EAP

∵∠BAP＋∠EAP=180o

∴∠BAP＋∠BCP=180o

练习：

1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，

PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：

BP为∠MBN的平分线

2.已知，如图，在△ABC中，∠ABC=100o，∠ACB=20o，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD=20o，求∠CED的度数。

15.有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

例：

已知，如图，AB=AC，BD⊥AC于D，

求证：

∠BAC=2∠DBC

证明：

（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1=∠2=

∠BAC

又∵AB=AC

∴AE⊥BC

∴∠2＋∠ACB=90o

∵BD⊥AC

∴∠DBC＋∠ACB=90o

∴∠2=∠DBC

∴∠BAC=2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）

（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：

DE=DF

证明：

连结AD.

∵D为BC中点，

∴BD=CD

又∵AB=AC

∴AD平分∠BAC

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：

已知，如图，△ABC中，AB=AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE=AF，求证：

EF⊥BC

证明：

延长BE到N，使AN=AB,连结CN,则AB=AN=AC

∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC

∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC=180o

∴2∠BCA＋2∠ACN=180o

∴∠BCA＋∠ACN=90o

即∠BCN=90o

∴NC⊥BC

∵AE=AF

∴∠AEF=∠AFE

又∵∠BAC=∠AEF＋∠AFE

∠BAC=∠ACN＋∠ANC

∴∠BAC=2∠AEF=2∠ANC

∴∠AEF=∠ANC

∴EF∥NC

∴EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：

已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F

求证：

DF=EF

证明：

（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB=∠ACB，∠NDE=∠E，

∵A