初一数学平方差公式专题提高训练.docx
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初一数学平方差公式专题提高训练
初一数学平方差公式专题提高训练
1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1
（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）
（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？
3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 ；
（4）运用你所得到的公式，计算：
（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．
4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．
（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 ，这个公式的名称叫 ．
（2）根据你在
（1）中得到的公式计算下列算式：
（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）…（1﹣
）（1﹣
）．
5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．
①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；
②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；
③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；
④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．
（1）求212﹣192= ．
（2）猜想：
任意两个连续奇数的平方差一定是 ，并给予证明．
6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答
（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算下题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．
（1）不用计算器，计算它的结果；
（2）求出它的末位数字．
8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：
（1）填空：
（x﹣1）（x+1）= ．（x﹣1）（x2+x+1）= ．（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ．…
（2）根据前面各式的规律，填空：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）= ．
（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．
9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：
（1）如图1所示，阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 （写成多项式相乘的形式）．
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：
．
（4）应用所得的公式计算：
2（1+
）（1+
）（1+
）（1+
）+
．
10．（2012春•阜阳期末）计算：
（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）
11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
例：
用简便方法计算195×205．
解：
195×205
=（200﹣5）（200+5）①
=2002﹣52②
=39975
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）．
（2）用简便方法计算：
9×11×101×10001．
12．（2010秋•涵江区期末）计算：
1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：
（1）1001×999+1；
（2）20102﹣2011×2009．
14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：
2006×2008﹣20072．
15．（2010春•成都校级期末）
16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求
（1）（2﹣1）（2+1）= ；
（2）（2+1）（22+1）= ；
（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；
（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．
17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）
18．（2000•内蒙古）计算：
19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．
20．计算：
（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．
21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．
22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）
23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
24．利用平方差公式计算：
（1）（3x﹣5）（3x+5）；
（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；
（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；
（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．
25．计算：
（a﹣
）（a+
）（a2﹣
a+
）（a2+
a+
）
26．计算：
（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）
（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）
27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．
28．用平方差公式速算：
30
×29
．
29．简便计算：
20132﹣2012×2014﹣9992．
30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：
32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．
初一数学平方差公式专题提高训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
【分析】
（1）首先把124分成123+1，把122分成123﹣1，然后根据平方差公式计算即可．
（2）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）的值是多少即可．
2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1
（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）
（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？
【分析】
（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）=x7﹣1；
（2）给等式乘以（2﹣1）从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．
3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 （a﹣b）（a+b） （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ；
（4）运用你所得到的公式，计算：
（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．
【分析】
（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；
（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；
（3）中的答案可以由
（1）、
（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
（4）先变式，再根据平方差公式计算．
4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．
（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ，这个公式的名称叫 平方差公式 ．
（2）根据你在
（1）中得到的公式计算下列算式：
（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）…（1﹣
）（1﹣
）．
【分析】
（1）利用面积公式：
大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式．
（2）利用平方差公式简便计算．
5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．
①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；
②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；
③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；
④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．
（1）求212﹣192= 80 ．
（2）猜想：
任意两个连续奇数的平方差一定是 这两个数和的2倍 ，并给予证明．
【分析】
（1）将212﹣192写成（21+19）（21﹣19）利用平方差公式计算即可；
（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论．
6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答
（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ．
（2）运用你所得到的公式，计算下题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【分析】
（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；
（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；
②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．
7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．
（1）不用计算器，计算它的结果；
（2）求出它的末位数字．
【分析】
（1）将2转化为（3﹣1），与（3+1）配成平方差公式，其结果为（32﹣1），与（32+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果．
（2）根据31=3，32=9，33=27，3，4=81，35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案．
8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：
（1）填空：
（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ．（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ．（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ．…
（2）根据前面各式的规律，填空：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）= xn+1﹣1 ．
（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．
【分析】
（1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；
（3）根据规律计算即可．
9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：
（1）如图1所示，阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下
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