DVD租赁.docx
《DVD租赁.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《DVD租赁.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
DVD租赁
课程设计论文
学院:
理学院
专业:
数学与应用数学
课程名称
数学建模课程设计
题目
DVD在线租赁（A17）
队号
T0907014104
学生姓名
蔚斌斌
学号
0907014125
学生姓名
白鹏
学号
0907014124
学生姓名
陈龙
学号
0907014130
学生姓名
李重光
学号
0907014134
指导教师
杨明肖亚峰
2012年6月
DVD在线租赁
摘要
本问题是一个以DVD租赁为背景包含0—1规划，带约束非线性规划、线性规划等内容的建模问题。
在问题一中，首先建立了一个简单的规划模型，计算出了在满足一定条件下的五种DVD至少应该准备的数量。
在问题二中，我们对偏爱程度进行了求倒处理使之转化成为了满意度，并在此基础上建立了0—1规划模型，求出了整体最大满意度，相应的得出了网站手上现有100种DVD的分配方案，很好的解决了这个问题。
在求解是运用了启发式算法，巧妙的把一个多变量的问题解决了。
在问题三中，结合了问题一与问题二，看似是一个双目标规划问题，但实际上无法把两个目标综合成一个整体同时来求解。
注意到本题问题一、问题二的求解我们可以看到问题一的本质求DVD的数量，问题二的本质是求满意度，所以我们按这个次序分别来求DVD数量和分配的满意度来解决问题三，即这是一个“序列决策”问题。
问题四中，考虑到对任何经营方而言，利润是一个关键的考虑因素，而利润与会员会费、网站每月租出DVD数目密切相关，因此我们建立模型来阐述利润于两者的关系。
我们在模型的评价、推广与补充中给出。
关键词：
在线租赁0—1规划满意度序列决策启发式算法
目录
摘要Ⅰ
主要符号表Ⅳ
一引言—问题重述与分析1
1.问题重述 .1
1.问题分析1
二模型假设2
三问题分析与建模
3.1
3.2
3.3
4模型求解
4.1
4.2
4.3
5 模型结果评价、推广与补充
X
参考文献
主要符号表
xDVD需要的张数
n网站会员的总数，是个常数为
p在问题一中愿意观看DVD的比例
在问题二中表示是否把第j号DVD租给第i个人，当其值为1时表示租给，
0时表示不足给他
表示第i个人对收到第j号DVD的偏好程度
表示第i个人对收到第j号DVD的满意度
表示第j号DVD现存量
在问题三中第一次分配方案
在问题三中第一次分配方案
表示设网站的利润为f元
R会员月费为R元
N平均每月DVD的总数N
U单张DVD的平均成本为U元
V平均每张DVD的邮费为V元
一 引言—问题重述与分析
1问题重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
而音像制品的在线租赁是一种新型的服务，这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
有如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1.1网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这DVD的人数。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
1.1.1假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
1.1.2如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
1.2表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员在线订单如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
1.3若DVD的现有数量全部为0，网站经营管理人员如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
2问题分析
根据以上的问题，是一个典型的优化问题模型，我们的焦点在租2次的人群中，要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用，又要尽可能少买些DVD。
如果每张DVD每个月只出租一次，但是这样谈不上优化，也不能提高DVD利用率。
所以要有二次出租。
实际情况是，每张DVD还的时间不一样，有些DVD多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。
有必要转变考虑角度。
尝试从简单的角度考虑。
如果一个会员一个月租2次的话，可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15天；租一次的会员DVD在手上停留30天。
则我们在月初第一次发出DVD后，月中利用返还的DVD再出租一次。
二模型假设
2.1每个会员每月最多租赁2次，每次获得3张DVD。
60％的会员每月租赁2次，剩下的40％的会员每月只租赁1次。
2.2每一位顾客都不会在一次之内租两张或两张以上相同的DVD，在各次租赁当中，也不会租同一张DVD。
2.3DVD光盘高质清晰且无损坏，在质量方面不影响顾客的满意度。
2.4每月的天数设定为30天。
2.5假定每月只租一次DVD的会员会在2～30天内归还光盘，每月租两次的会员会在2～15天归还。
且在月底（即30号）全部归还。
2.6题目中所给的数据是经过调查，比较科学、客观的。
三问题分析与建模
1问题一模型：
3.1为方便下面讨论，先算出愿意观看的人数比例：
如表3.1
表3.1
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数的比例（p）
20%
10%
5%
2.5%
1%
一个月内需要的DVD数量可以分为2部分,一是月初发出去的，一部分是在15号放出去的，由于同个会员只会租赁同一张碟片一次，设DVDi需要为x张，则有：
（3.1）
这有模型为：
minx
s.t.
（3.2）
化解得：
且[x]为不小于小x的正整数（3.3）
则：
[x]为所需的最小量：
带入表格3.1可以计算出各个DVD所需的数量
经计算得所需数量如表3.2，（其中），
表3.2
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
需要的数量
6250
3125
1563
782
313
3.2由假设可以知道每个月之间互不影响，设DVDi需要y张，有：
（3.4）
化解得：
且[y]为不小于小x的正整数（3.5）
则
[y]为所需的最小量：
带入表格3.1可以计算出各个DVD所需的数量
经计算得所需数量如表3.3，其中，
表3.3
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
需要的数量
3959
1980
990
495
198
2问题二模型：
要确定把哪张DVD租给哪个会员，即分配方案，对于每种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。
因此我们引入
表示第j种DVD是否租给第i个会员。
则有：
（3.6）
如果会员预定的3张DVD不全有，是否就不租？
为使全体的满意度最高，可以先租部分缓解一下。
因此，每次租赁可以少于或等于3张。
会员满意度的数字越小，则满意度越高。
注意到0最小，但是并不表示满意，因此，要对表中数据处理，使其能显示出满意的一致性（数字大表示满意），则设
（3.7）
表示满意度，其中
是表格中的数字。
令Z表示总体的满意度，则有模型为：
MAX
S.T.
（3.8）
3问题三模型
3.1由问题一的模型3.2稍做修改就可以计算出所需购买的各种DVD的数量.
其中
（3.9）
则有:
（i=1,2,3,…，1000）（3.10）
则DVD的购买量为：
（3.11）
把表2的数据带入可以求出各个DVD所需的数量。
3.2考虑到分配问题，由于要使满意度达到最大，则应该用问题二的模型3.8。
MAX
S.T.
（3.12）
四模型求解
1.对于问题一的模型求解，在上面已经给出，见表3.2和表3.3。
2.下面求解问题二
根据表2给出的数据，本文利用lingo软件甚至无法找到模型
（1）可行解。
本文认为在该模型中没有可行解存在。
但经过统计本文知道所有DVD的总量为3007，而1000个会员总共需要3000张DVD,所以本文得到的满意解肯定能够满足约束
而且这个约束是必须满足的。
所以本文寻找尽量满足下面约束
的同时，使会员的满意度最大的分配方案。
于是本文提出了一种启发式方法。
首先不考虑各种DVD总数的限制，为每一位会员预安排偏爱程度为1，2，3的光碟，然后统计预安排的每种DVD的总量，与表2中给出的每种DVD的数目做比较。
这样必然有一些种类的DVD要少于预安排数目，有一些种类的DVD要多于预安排数目。
调整那些预安排数目大于题中限值的DVD直到满足总数上的限制。
调整过程中从调整前后偏爱程度相差最小的会员开始同时满足各种DVD总数上的限制，依次增加偏爱程度的差值。
4.2.1启发式算法
Step1：
给每位会员优先分配满意度最大的三种DVD，即偏爱程度为1，2，3的DVD，并统计每种DVD的总量。
Step2：
与题目给出的每种DVD的数目作比较，超出限制的DVD种类的集合记为
，其元素总数计为
。
Step3：
在
中取第
种DVD，找到所有希望订借该种DVD的会员，会员集合记为
；
Step4：
在集合
中按偏爱程度由大到小的顺序，先找到偏爱度为最大的那些会员，然后按照偏爱程度相差
=1的方法，把多出的DVD调出去，调进其相差为
=1的DVD。
若找到，则执行step5;
若找不到，则
则重新执行step4,
若
=10时执step6；
Step5：
验证当前这位会员调整后所选的某种DVD数目是否超过限值，若超过限值，则重复执step4：
否则,从
中去掉当前会员，判断
中元素的个数是否大于表2中给出的第
种DVD的限值，若大于，则重复执step4;否则r=r-1，转step6。
Step6:
判断r的值是否为0，若不为0，则执行step3；否则计算结束；
根据启发式算法，本文求得的分配方案，下面的表4.1仅中给出了前30位会员分到的DVD的种类
表4.1
会员编号
DVD编号
会员编号
DVD编号
C0001
8
41
98
C0016
55
66
97
C0002
6
14
44
C0017
47
51
67
C0003
14
50
80
C0018
41
60
78
C0004
7
18
41
C0019
66
78
86
C0005
11
66
68
C0020
45
61
89
C0006
19
53
66
C0021
2
45
53
C0007
8
26
81
C0022
38
55
57
C0008
14
37
66
C0023
29
81
95
C0009
53
78
100
C0024
37
41
76
C0010
55
60
85
C0025
9
69
81
C0011
19
59
63
C0026
22
68
95
C0012
2
7
31
C0027
22
50
58
C0013
21
78
96
C0028
8
14
34
C0014
23
52
89
C0029
30
44
55
C0015
13
66
85
C0030
37
62
98
由所得的分配方案可知，给到所有的会员手中订单上没有的DVD是180种，占会员看到的DVD的总量的6%，其中有159人得到了他们不想看的DVD，占到总会员人数的15.9%，但是基本上是得到了2张他们要看的DVD。
满意度为1634.712，而个人满意度最大为1+1/2+1/3。
则归一化后为：
（4.1）
3.下面求解问题三
带入可求的个品种DVD的需要量，如表4.2（1-8，9-16，…，96-100）
表4.2
41
45
42
48
38
42
42
49
45
44
46
47
41
50
41
46
50
44
49
56
47
49
53
45
43
49
42
40
47
47
49
42
44
40
53
47
44
46
42
42
58
51
45
44
52
46
46
43
44
46
52
44
48
45
47
48
53
37
41
50
46
50
51
53
58
51
44
47
51
49
46
52
41
40
44
42
43
48
40
48
48
37
35
41
44
38
46
36
46
48
52
46
45
44
50
38
46
49
39
42
总和为4570。
将表4.2中求出的DVD购买量代入到模型中应用启发式算法可求出具体分配方案。
下给出前30位会员的分配方案,如表4.3
表4.3
会员编号
DVD编号
会员编号
DVD编号
C0001
8
44
98
C0016
55
10
97
C0002
6
62
44
C0017
47
51
67
C0003
32
50
80
C0018
41
60
78
C0004
7
18
41
C0019
66
84
86
C0005
11
66
68
C0020
45
61
89
C0006
19
53
66
C0021
50
45
53
C0007
8
26
81
C0022
38
55
57
C0008
31
35
71
C0023
29
81
95
C0009
53
78
100
C0024
37
41
76
C0010
55
60
85
C0025
9
69
81
C0011
59
66
63
C0026
22
68
95
C0012
2
41
31
C0027
78
50
58
C0013
21
78
96
C0028
8
26
34
C0014
23
52
89
C0029
26
30
55
C0015
13
66
85
C0030
37
62
98
五模型结果评价、推广与补充
1利润、月费、每月DVD数目的关系
对任何经营方而言，利润是一个关键的考虑因素，显然在前面三个问题中我们没有考虑网站经营的成本利润问题，下面我们对这个问题进行分析。
网站的利润与会员所缴纳的月费密切相关，我们将建立模型来阐
和利润的关系。
设网站的利润为f元，会员月费为R元，平均每月DVD的总数N，单张DVD的平均成本为U元，平均每张DVD的邮费为V元。
①网站月收入为：
MR（M为会员总人数）
②成本分析：
DVD片资金占用费
（5.1）
DVD片资金占用费
（5.2）
总邮费
（5.3）
固定经营费E（为常数）
得成本为：
（5.4）
③网站利润模型：
利润
（5.5）
这个利润模型阐述了利润
与R、N的关系，弄清楚这个关系有利于网站的基因管理。
适当增加会员飞R或降低平均每月DVD的总数N可以增大利润。
2模型的评价与推广
①考虑问题比较全面，解问题运用了简易和复杂模型相结合的方式解不同的问题，对于过于复杂的问题，我们把他分成了几步来进行。
②采用较为成熟的数学理论建立模型，可信度较高。
③建立的模型紧密联系实际，结合实际情况实现了会员整体的最大满意度，贴近现实，通用性，推广性较强。
六参考文献
[1]朱德通,《最优化模型与实验》,同济大学出版社,2003版
[2]施光燕,《最优化方法》,高等教育出版社
[3]甘应爱等,运城学,北京,清华大学出版社,2004
[4]施锡铨,《决策与模型》,上海财经大学出版社
[5]朱求长,《运筹学极其运用》，武汉大学出版社
[6]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：
高等教育出版社，2003
升级会员 