二次项定理10大典型例题.docx

1、二次项定理10大典型例题(1)知识点的梳理1.二项式定理：(a b)n Can C：an 1b L C；an rbr L C：bn(n N ),2.根本概念：1二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式.2二项式系数：展开式中各项的系数C； (r 0,1,2, ,n).3项数：共(r 1)项,是关于a与b的齐次多项式4通项：展开式中的第r 1项Cnran rbr叫做二项式展开式的通项.用Tr 1 Cab表小.3.注意关键点：1项数：展开式中总共有(n 1)项.2顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改.(a b)n与(b a)n是不同的.3指数：a的指数从n逐项减到0,是降籍排列.

2、b的指数从0逐项减到n ,是升籍排列.各项的次数和等于n.4系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是C：,Cn,C：, ,C：, ,C：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数).2):二项式系数和：令a b1,那么二项式系数的和C0 C1Cn C nCn LCrCnL况2n,变形式Cn Cnl CnL况2n1.为3奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：布珈式宗押中 今 a 1 b 1 |T1| p0 p1 p2 3 | / incn nI ) a 1,b I )人 J Cn Cn Cn Cn L ( I) Cn (I I)11 |-A-t 4旦车11 . c 0 c 2

3、 c 4 c 2 r c 1 c 3 I c 2 r 1 1 cn cn1叩彳寸王-Cn Cn Cn C n C n Cn L C n 2 224奇数项的系数和与偶数项的系数和：(anX)C0anX0C：an1XC2an2 2XLc n 0 nCna xa1a1x2 a?xnL anX(Xn a)C0a0XnC：aXn 1C%2n 2XLc n n 0Cna xn anXL2 a?x1ax a令X1,那么 a. a1a2a3Lan(a1)n令 x 1,那么 a0 a1 a2 a3 L an (a 1)n 得,a0 a2 a4L an 直卫(奇数项的系数和)2得,a1 a3 a5L an (a

4、(a (偶数项的系数和)25二项式系数的最大项：如果二项式的籍指数n是偶数时,那么中间一项的二项式n系数cn2取得最大值.如果二项式的籍指数n是奇数时,那么中间两项的二项式系数n 1 n 1cncF同时取得最大值.6系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别Ar 1 A , _ ,为Ai,A2, ,Ani,设第r 1项系数取大,网有 ,从而解出r来.Ari Ar 2 (2)专题总结/ a 厂 n c 0 c 1 厂 c 2 厂2 c 3 厂 3 c n 厂 n r_- -( /rn 冬Ar / r 口 匚角牛：(1 6) cn cn 6 cn 6

5、 6 L cn 6与的有一些差距,八1 八2 3 2 n n 1 1 /八1 2 2 n n、cn cn 6 cn 6 L cn 6 (cn 6 cn 6 L cn 6 )61(c0 c： 6 c： 62 L 况 6n 1) 1(1 6)n 1 ：(7n 1)6 6 6练：cn 3c： 9c3 L 3n 1cnn .布忍 -t/J- o c 1 OC 2 cC3 On 1 八 n t用牛：以 Sn cn 3cn 9 L 3题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式 yx2n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X3的项的 系数？解：由条件知C： 2 45,即C： 45, n2 n 90

6、0,解得n 9舍去或n 10 ,由12 10 r 2Tr i C；0x 410 rx3r C；0x3,由题意-r 3,解得 r 6, 4 3那么含有x3的项是第7项T6 - CiV3 210x3,系数为210.练：求(x2 )9展开式中x9的系数？2xr,2、9r, 1 . r r182r, 1 . r r r , 1 . r 18 3r解：Tr 1 C9(x ) ( 一) C9x ( -) x C9( 一)x ,令 18 3r 9,那么2x 2 2r 3故x9的系数为C；( 1)3 芝.2 2题型三：利用通项公式求常数项;1例：求二项式x2 十10的展开式中的常数项?2.x5 ,一 一,r

7、0,得r 8,所以2 452566的展开式中的常数项?2xr 6 r r , 1 . r r r6r,1、r6 2r角牛：Tr 1 C6 (2 x) ( 1) ( ) ( 1) C6 2 () x ,令 6 2r 0,侍 r 3,所2x 2以 T4 ( 1)3C3 20练：假设(x2 1)n的二项展开式中第5项为常数项,那么n .4 2、n4,1、4 4 2n 12解：T5 Cn (x ) () Cnx ,令 2n 12 0,得 n 6.x题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项；例：求二项式 5 孜)9展开式中的有理项？1 1 27 r解：Tr 1 C；(x2)9r( x3)r ( 1)r

8、C；x,令 2 Z,(0 r 9)得 r 3 或 r 9,所以当 r 3时,4 , T4 ( 1)3C93x4 84x4 ,6当 r 9 时 27 r 3 t ( 1)3C9x3 x3o-=1 r ., ., 110 ( l)V/gx x o6题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和；例：假设(J7 品)n展开式中偶数项系数和为 256,求n. x令x 1,那么有a.a1 an 0,令x 1,那么有a. a1 a2 a3 ( 1)nan 2n,将-得：2(a1 a3 a5 ) 2, a1 a3 a5 2 ,有题意得,2n 1 256 28, n 9.练：假设( )n的展开式中,所有

9、的奇数项的系数和为1024,求它的中间项.0 2 4 2r 1 3 2r 1 Qn 1 on 1用牛 Q Cn Cn Cn Cn Cn Cn L Cn 2 , 2 1024 ,解得n 11所以中间两个项分别为n 6,n 7 , T5 1席(；巳)6(5)5 462 x 4,1 x , x61T6 1 462 x 17题型六：最大系数,最大项；一 , 1 一 一 一. 一 一 一例：1 2xn,假设展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数 列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：QC： C6 2C；, n2 21n 98 0,解出 n 7或n 14,当 n 7时,展开式中二项式

10、系数最大的项是T4和T5 T4的系数 c3-423 35,2 2, 1 OT5的系数 C7 2 70,当n 14时,展开式中二项式系数最大的项是 丁8,1 7 7T8的系数 C74727 3432.2练：在a b2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的籍指数是偶数2n,那么中间一项的二项式系数最大,即 T2n E1,12也就是第n 1项.练：在兰 二n的展开式中,只有第5项的二项式最大,那么展开式中的常数项 2 3 x是多少？解：只有第5项的二项式最大,那么n 1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七2项等丁 C；2 7练：写出在a b7的展开式中,系数最大的项？系数最小的项？

11、解：由于二项式的籍指数7是奇数,所以中间两项第4,5项的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有T4 C3a4b3的系数最小,T5 C；a3b4系数最大.练：假设展开式前三项的二项式系数和等丁 79,求1 2xn的展开式中系数最大2的项？1 1解：由 C： cn Cn 79,解出 n 12,假设 T1 项最大,Q 1 2x 0 1 4xAr 1 Ar C124 C12 4 ,化简得到 9.4 r 10.4, 乂Q0 r 12,Ar 1 Ar 2 CUr Ci；11 _ _ _ _ _r 10,展开式中系数最大的项为Tn,有 (；)12C*410x10 16896x10练：在(1 2x)10的展

12、开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr 1项最大,QTr 1 C1r0 2rxr题型七：含有三项变两项； 例：求当(x2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数？、,r 9 K 9 K r 9 R r r 解法：(x 3x 2) (x 2) 3x , Tr 1 Cs(x 2) (3x),当且仅当 r 1时,Tr1的展开式中才有x的一次项,此时Tr 1 T2 C5(x2 2)43x ,所以x得一次项为C；C：243x它的系数为C5C44243 240.解法：25 5 5 _05_14 _5_05_14 _55x 3x 2) (x 1) (x 2) (C5 x C5x C5)(C5x C5x 2

13、C5 2 )故展开式中含x的项为C；xC525 C；x24 240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子(x 1 2)3的常数项?解：(x| 2)3 (J, /=p6,设第r 1项为常数项,那么_ r r 6 r 1 r 6_r 6 2rTr 1 C6( 1) |x (口)( 1) C6 x ,得 6 2r 0,r 3,xT31 ( 1)3C3 20.题型八：两个二项式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解：Q(1 2x)3的展开式的通项是 C3 (2x)m CT 2m xm,练：求(1次)6(1二)10展开式中的常数项x其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2

14、, ,10,当且仅当 4mm 0,* m 3,* m 63n,即 成 或n 0, n 4, n 8,时得展开式中的常数项为 C； cS C3勇 C； C180 4246.练：C 1 c(1 x x )(x )的展开式中没有吊数项,n N且2 n 8,那么n . x解：(x y展开式的通项为cn xnr x3r cn xn4r,通项分别与前面的三项相乘可得xr n 4r r n 4r 1 r n 4r 2 -Cn x ,Cn x ,Cn x ,Q展开式中不含吊效项,2 n 8n 4r且 n 4r 1 且 n 4r 2,即 n 4,8且 n 3,7且n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶

15、数项的系数和 ；例：在(x J2) 2006的二项展开式中,含x的奇次蓦的项之和为 S,当x J2时,S 2006 a2006x角牟： 设(x 拒)2006=a0 a1x1 a2x2 a3x3 L得2(ax agx3 a5x5 L a2005x2005) (x V2) 2006 (x 2) 2006(x 回2006展开式的奇次籍项之和为S(x) 1(x V2) 2006 (x V2) 200632006当 x 、.2时,S(.、2) -C,2 .2)2006 C.2 .2)2006 230082 2题型十：赋值法；例：设二项式3衣 -n的展开式的各项系数的和为 p ,所有二项式系数的和为 xs

16、,假设p s 272 ,那么n等丁多少？解：假设3坂 -n a0 a1x a2x2 anxn,有 P a a an ,xS C0 C： 2n,令 x 1 得 P 4n , 乂 p s 272 ,即 4n 2n 272 2n 172n 16 0 解得2n 16或2n 17舍去, n 4.n练：假设3、反 & 的展开式中各项系数之和为64,那么展开式的常数项为多少？xn孚的展开式中各项系数之和为那么展开式的常数项为C：(3、x)3 ( -L)3 540.、- x练：井(1 2 2021 1 2 3 I 2021 R 鱼 鱼 a2021有(I 2x) a. ax &x a3x l a2021x (x

17、 r),火1j ? ?2 22021 目Ji且力布及.1 巾/曰 c % & a2021 a1 a2 a2021 角牛令x 2,可侍a0 歹 声 0, y ? 产 a0a1 a2 a2021任W x 0可侍a0 1,因叩2歹 普9 1.5 5 4 3 2 1练： 有(x 2) a5x a4x a3x a?x ax a,那么 a a? a3 a4 a5 .a a? 83 84 a 31.由丁各项均能被64整除32n 2 8n 9(n N*)能被64整除1、(x 1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、 设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 f(1) f( 1)( 2)11/2 102

18、420 1 2 2 n n2、 Cn 3Cn 3 Cn 3 Cn 2、2、 4n3、 (农 二)20的展开式中的有理项是展开式的第 项.、53、 3,9,15,214、 (2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令 x=1,那么所求和为35 5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数.K (A y Y2V1 Y、10 Y3V1 y9 曹彳旦到今 Y4的I而 心领第一个因A中的 15、 (I x x )(I x) (I x )(i x),女1 寸工1j x 目 jw., 久、小牛 I mu J 目J

19、 I与(1-x)9展开式中的项C4( x)4作积,第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项C；( x)作积,故x4的系数是C； C9 135,6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数._ 26、(1 x) (1 x)210(1 x)10 11(1 x)1 (1 x) =(x 1) (x 1),原式中1 (1 x)x3实为这分子中的x4,那么所求系数为C17,.k 乙9k-1 Z, 8111 被 9 除余 &10、在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数.10、 (x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为C5 5x,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为C；24x 80x展开式中含x的项为1 (80x) 5x(32) 240x,此展开式中x的系数为24011、 求(2x+1)12展开式中系数最大的项.11、设Tr+1的系数最大,那么Tr+1的系数不小丁Tr与Tr+2的系数,即有r q12 r r 1 子3 rC12 2 C12 2r 912 r r 1 11C12 2 C12 12rC；2 2C；212E C,1c1 13 r 4 , r 43 3展开式中系数最大项为第5 项,T5=16C：2x4 47920x